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1、第第5讲讲 MATLAB数据分析与多项式计算数据分析与多项式计算5.1 数据统计处理数据统计处理5.2 数据插值数据插值5.3 曲线拟合曲线拟合5.4 离散傅立叶变换离散傅立叶变换5.5 多项式计算多项式计算5.1 数据统计处理数据统计处理5.1.1 最大值和最小值最大值和最小值MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为数分别为max和和min，两个函数的调用格式和操，两个函数的调用格式和操作过程类似。作过程类似。1求向量的最大值和最小值求向量的最大值和最小值求一个向量求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式，分的最大值的函数有两种调用格式，分
2、别是：别是：(1) y=max(X)：返回向量：返回向量X的最大值存入的最大值存入y，如果，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。中包含复数元素，则按模取最大值。(2) y,I=max(X)：返回向量：返回向量X的最大值存入的最大值存入y，最，最大值的序号存入大值的序号存入I，如果，如果X中包含复数元素，则按中包含复数元素，则按模取最大值。模取最大值。求向量求向量X的最小值的函数是的最小值的函数是min(X)，用法和，用法和max(X)完全相同。完全相同。例例5-1 求向量求向量x的最大值。的最大值。命令如下：命令如下：x=-43,72,9,16,23,47;y=max(x) %求向量求向量x
3、中的最大值中的最大值y,l=max(x) %求向量求向量x中的最大值及其该元素中的最大值及其该元素的位置的位置2求矩阵的最大值和最小值求矩阵的最大值和最小值求矩阵求矩阵A的最大值的函数有的最大值的函数有3种调用格式，分种调用格式，分别是：别是：(1) max(A)：返回一个行向量，向量的第：返回一个行向量，向量的第i个个元素是矩阵元素是矩阵A的第的第i列上的最大值。列上的最大值。(2) Y,U=max(A)：返回行向量：返回行向量Y和和U，Y向向量记录量记录A的每列的最大值，的每列的最大值，U向量记录每列向量记录每列最大值的行号。最大值的行号。(3) max(A,dim)：dim取取1或或2。
4、dim取取1时，时，该函数和该函数和max(A)完全相同；完全相同；dim取取2时，该时，该函数返回一个列向量，其第函数返回一个列向量，其第i个元素是个元素是A矩矩阵的第阵的第i行上的最大值。行上的最大值。求最小值的函数是求最小值的函数是min，其用法和，其用法和max完全相完全相同。同。例例5-2 分别求分别求34矩阵矩阵x中各列和各行元素中中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。值。3两个向量或矩阵对应元素的比较两个向量或矩阵对应元素的比较函数函数max和和min还能对两个同型的向量或矩阵进行还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式
5、为：比较，调用格式为：(1) U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，是两个同型的向量或矩阵，结果结果U是与是与A,B同型的向量或矩阵，同型的向量或矩阵，U的每个元素的每个元素等于等于A,B对应元素的较大者。对应元素的较大者。(2) U=max(A,n)：n是一个标量，结果是一个标量，结果U是与是与A同型同型的向量或矩阵，的向量或矩阵，U的每个元素等于的每个元素等于A对应元素和对应元素和n中的较大者。中的较大者。min函数的用法和函数的用法和max完全相同。完全相同。例例5-3 求两个求两个23矩阵矩阵x, y所有同一位置上的较大元所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵素构成的新矩阵
6、p。5.1.2 求和与求积求和与求积数据序列求和与求积的函数是数据序列求和与求积的函数是sum和和prod，其使用方法类似。设其使用方法类似。设X是一个向量，是一个向量，A是一是一个矩阵，函数的调用格式为：个矩阵，函数的调用格式为：sum(X)：返回向量：返回向量X各元素的和。各元素的和。prod(X)：返回向量：返回向量X各元素的乘积。各元素的乘积。sum(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列的元素和。列的元素和。prod(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列的元素乘积。列的元素乘积。sum(A,dim)
7、：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于sum(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，时，返回一个列向量，其第其第i个元素是个元素是A的第的第i行的各元素之和。行的各元素之和。prod(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于prod(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，时，返回一个列向量，其第其第i个元素是个元素是A的第的第i行的各元素乘积。行的各元素乘积。例例5-4 求矩阵求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的每行元素的乘积和全部元素的乘积。的乘积。5.1.3 平均值和中值平均值和中值求数据序列平均值的函数是求数据序列平均值的函数是mean，
8、求数据序列中值的函数是，求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式为：。两个函数的调用格式为：mean(X)：返回向量：返回向量X的算术平均值。的算术平均值。median(X)：返回向量：返回向量X的中值。的中值。mean(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列的算术列的算术平均值。平均值。median(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列的中列的中值。值。mean(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于mean(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，其第时，返回一
9、个列向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i行的算术行的算术平均值。平均值。median(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于median(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，其第时，返回一个列向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i行的行的中值。中值。例例5-5 分别求向量分别求向量x与与y的平均值和中值。的平均值和中值。5.1.4 累加和与累乘积累加和与累乘积在在MATLAB中，使用中，使用cumsum和和cumprod函数能方便地求得函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：
10、为：cumsum(X)：返回向量：返回向量X累加和向量。累加和向量。cumprod(X)：返回向量：返回向量X累乘积向量。累乘积向量。cumsum(A)：返回一个矩阵，其第：返回一个矩阵，其第i列是列是A的第的第i列的累加和向列的累加和向量。量。cumprod(A)：返回一个矩阵，其第：返回一个矩阵，其第i列是列是A的第的第i列的累乘积列的累乘积向量。向量。cumsum(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于cumsum(A)；当当dim为为2时，返回一个矩阵，其第时，返回一个矩阵，其第i行是行是A的第的第i行的累加行的累加和向量。和向量。cumprod(A,dim)
11、：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于cumprod(A)；当；当dim为为2时，返回一个向量，其第时，返回一个向量，其第i行是行是A的第的第i行的累行的累乘积向量。乘积向量。例例5-6 求求s的值。的值。5.1.5 标准方差与相关系数标准方差与相关系数1求标准方差求标准方差在在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。对于向量对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或各列或各行的标准方差。各行的标
12、准方差。std函数的一般调用格式为：函数的一般调用格式为：Y=std(A,flag,dim)其中其中dim取取1或或2。当。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当时，求各列元素的标准方差；当dim=2时，则求各行元素的标准方差。时，则求各行元素的标准方差。flag取取0或或1，当，当flag=0时，按时，按1所列公式计算标准方差，当所列公式计算标准方差，当flag=1时，按时，按2所列公式计算标准方差。缺省所列公式计算标准方差。缺省flag=0，dim=1。例例5-7 对二维矩阵对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。，从不同维方向求出其标准方差。2相关系数相关系数MATLAB提供了提供了
13、corrcoef函数，可以求出数函数，可以求出数据的相关系数矩阵。据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格函数的调用格式为：式为：corrcoef(X)：返回从矩阵：返回从矩阵X形成的一个相关形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵一样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。后求它们的相关系数。corrcoef(X,Y)：在这里，：在这里，X,Y是向量，它们与是向量，它们与corrcoef(X,Y)的作用一样。的作用一样。例例5-8 生成满足正态分布的生成满足正态分布的100005随机矩阵，
14、随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求然后求各列元素的均值和标准方差，再求这这5列随机数据的相关系数矩阵。列随机数据的相关系数矩阵。命令如下：命令如下：X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X)5.1.6 排序排序MATLAB中对向量中对向量X是排序函数是是排序函数是sort(X)，函数返，函数返回一个对回一个对X中的元素按升序排列的新向量。中的元素按升序排列的新向量。sort函数也可以对矩阵函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其的各列或各行重新排序，其调用格式为：调用格式为：Y,I=sort(A,dim)其中其中dim指明对指明
15、对A的列还是行进行排序。若的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若则按列排；若dim=2，则按行排。，则按行排。Y是排序后的是排序后的矩阵，而矩阵，而I记录记录Y中的元素在中的元素在A中位置。中位置。例例5-9 对二维矩阵做各种排序。对二维矩阵做各种排序。5.2 数据插值数据插值5.2.1 一维数据插值一维数据插值在在MATLAB中，实现这些插值的函数是中，实现这些插值的函数是interp1，其，其调用格式为：调用格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,method)函数根据函数根据X,Y的值，计算函数在的值，计算函数在X1处的值。处的值。X,Y是是两个等长的已知向量，分别描述采样点
16、和样本值，两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一是一个与个与X1等长的插值结果。等长的插值结果。method是插值方法，允是插值方法，允许的取值有许的取值有linear、nearest、cubic、spline。注意：注意：X1的取值范围不能超出的取值范围不能超出X的给定范围，的给定范围，否则，会给出否则，会给出“NaN”错误。错误。例例5-10 用不同的插值方法计算在用不同的插值方法计算在/2点的值。点的值。MATLAB中有一个专门的中有一个专门的3次样条插值函数次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X
17、1)，其功能及使用方法与，其功能及使用方法与函数函数Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。完全相同。例例5-11 某观测站测得某日某观测站测得某日6:00时至时至18:00时之间每隔时之间每隔2小时的小时的室内外温度室内外温度()，用，用3次样条插值分别求得该日室内外次样条插值分别求得该日室内外6:30至至17:30时之间每隔时之间每隔2小时各点的近似温度小时各点的近似温度()。设时间变量设时间变量h为一行向量，温度变量为一行向量，温度变量t为一个两列矩阵，其中为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命
18、令如下：h =6:2:18;t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;YI=interp1(h,t,XI,spline) %用用3次样条插值计算次样条插值计算5.2.2 二维数据插值二维数据插值在在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数中，提供了解决二维插值问题的函数interp2，其调用格式为：，其调用格式为：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)其中其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值，是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向是两个向
19、量或标量，描述欲插值的点。量或标量，描述欲插值的点。Z1是根据相应的插是根据相应的插值方法得到的插值结果。值方法得到的插值结果。 method的取值与一维的取值与一维插值函数相同。插值函数相同。X,Y,Z也可以是矩阵形式。也可以是矩阵形式。同样，同样，X1,Y1的取值范围不能超出的取值范围不能超出X,Y的给定范围，的给定范围，否则，会给出否则，会给出“NaN”错误。错误。例例5-12 设设z=x2+y2，对，对z函数在函数在0,10,2区域内进行插区域内进行插值。值。例例5-13 某实验对一根长某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测米的钢轨进行热源的温度传播测试。用试。用x表示测量点表
20、示测量点0:2.5:10(米米)，用，用h表示测量时间表示测量时间0:30:60(秒秒)，用，用T表示测试所得各点的温度表示测试所得各点的温度()。试用线。试用线性插值求出在一分钟内每隔性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔秒、钢轨每隔1米处的温度米处的温度TI。命令如下：命令如下：x=0:2.5:10;h=0:30:60;T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41;xi=0:10;hi=0:20:60;TI=interp2(x,h,T,xi,hi)5.3 曲线拟合曲线拟合在在MATLAB中，用中，用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的函数来
21、求得最小二乘拟合多项式的系数，再用系数，再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。上的函数近似值。polyfit函数的调用格式为：函数的调用格式为：P,S=polyfit(X,Y,m)函数根据采样点函数根据采样点X和采样点函数值和采样点函数值Y，产生一个，产生一个m次多项式次多项式P及其在采样点的误差向量及其在采样点的误差向量S。其中。其中X,Y是两个等长的向量，是两个等长的向量，P是一个长度为是一个长度为m+1的向量，的向量，P的元素为多项式系数。的元素为多项式系数。polyval函数的功能是按多项式的系数计算函数的功能是按多项式的系数
22、计算x点多项式的值，点多项式的值，将在节中详细介绍。将在节中详细介绍。例例5-14 已知数据表已知数据表t,y，试求，试求2次拟合多项式次拟合多项式p(t)，然后求，然后求ti=1,1.5,2,2.5,9.5,10各点的函数近似值。各点的函数近似值。5.4 离散傅立叶变换离散傅立叶变换5.4.1 离散傅立叶变换算法简要离散傅立叶变换算法简要5.4.2 离散傅立叶变换的实现离散傅立叶变换的实现一维离散傅立叶变换函数，其调用格式与功一维离散傅立叶变换函数，其调用格式与功能为：能为：(1) fft(X)：返回向量：返回向量X的离散傅立叶变换。的离散傅立叶变换。设设X的长度的长度(即元素个数即元素个数
23、)为为N，若，若N为为2的幂的幂次，则为以次，则为以2为基数的快速傅立叶变换，否为基数的快速傅立叶变换，否则为运算速度很慢的非则为运算速度很慢的非2幂次的算法。对于幂次的算法。对于矩阵矩阵X，fft(X)应用于矩阵的每一列。应用于矩阵的每一列。(2) fft(X,N)：计算：计算N点离散傅立叶变换。它点离散傅立叶变换。它限定向量的长度为限定向量的长度为N，若，若X的长度小于的长度小于N，则不足部分补上零；若大于则不足部分补上零；若大于N，则删去超出，则删去超出N的那些元素。对于矩阵的那些元素。对于矩阵X，它同样应用于，它同样应用于矩阵的每一列，只是限定了向量的长度为矩阵的每一列，只是限定了向量
24、的长度为N。(3) fft(X,dim)或或fft(X,N,dim)：这是对于矩：这是对于矩阵而言的函数调用格式，前者的功能与阵而言的函数调用格式，前者的功能与FFT(X)基本相同，而后者则与基本相同，而后者则与FFT(X,N)基基本相同。只是当参数本相同。只是当参数dim=1时，该函数作用时，该函数作用于于X的每一列；当的每一列；当dim=2时，则作用于时，则作用于X的的每一行。每一行。值得一提的是，当已知给出的样本数值得一提的是，当已知给出的样本数N0不是不是2的幂次时，可以取一个的幂次时，可以取一个N使它大于使它大于N0且是且是2的幂次，然后利用函数格式的幂次，然后利用函数格式fft(X
25、,N)或或fft(X,N,dim)便可进行快速傅立叶变换。这便可进行快速傅立叶变换。这样，计算速度将大大加快。样，计算速度将大大加快。相应地，一维离散傅立叶逆变换函数是相应地，一维离散傅立叶逆变换函数是ifft。ifft(F)返回返回F的一维离散傅立叶逆变换；的一维离散傅立叶逆变换；ifft(F,N)为为N点逆变换；点逆变换；ifft(F,dim)或或ifft(F,N,dim)则由则由N或或dim确定逆变换的点数确定逆变换的点数或操作方向。或操作方向。例例5-15 给定数学函数给定数学函数x(t)=12sin(210t+/4)+5cos(240t)取取N=128，试对，试对t从从01秒采样，用
26、秒采样，用fft作快速作快速傅立叶变换，绘制相应的振幅傅立叶变换，绘制相应的振幅-频率图。频率图。在在01秒时间范围内采样秒时间范围内采样128点，从而可以确点，从而可以确定采样周期和采样频率。由于离散傅立叶定采样周期和采样频率。由于离散傅立叶变换时的下标应是从变换时的下标应是从0到到N-1，故在实际应，故在实际应用时下标应该前移用时下标应该前移1。又考虑到对离散傅立。又考虑到对离散傅立叶变换来说，其振幅叶变换来说，其振幅| F(k)|是关于是关于N/2对称对称的，故只须使的，故只须使k从从0到到N/2即可。即可。程序如下：程序如下：N=128; % 采样点数采样点数T=1; % 采样时间终点
27、采样时间终点t=linspace(0,T,N); % 给出给出N个采样时间个采样时间ti(I=1:N)x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t); % 求各采样点求各采样点样本值样本值xdt=t(2)-t(1); % 采样周期采样周期f=1/dt; % 采样频率采样频率(Hz)X=fft(x); % 计算计算x的快速傅立叶变换的快速傅立叶变换XF=X(1:N/2+1); % F(k)=X(k)(k=1:N/2+1)f=f*(0:N/2)/N; % 使频率轴使频率轴f从零开始从零开始plot(f,abs(F),-*) % 绘制振幅绘制振幅-频率图频率图xl
28、abel(Frequency);ylabel(|F(k)|)5.5 多项式计算多项式计算5.5.1 多项式的四则运算多项式的四则运算1多项式的加减运算多项式的加减运算2多项式乘法运算多项式乘法运算函数函数conv(P1,P2)用于求多项式用于求多项式P1和和P2的乘积。的乘积。这里，这里，P1、P2是两个多项式系数向量。是两个多项式系数向量。例例5-16 求多项式求多项式x4+8x3-10与多项式与多项式2x2-x+3的乘积的乘积。3多项式除法多项式除法函数函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式用于对多项式P1和和P2作作除法运算。其中除法运算。其中Q返回多项式返回多项式P1除以除
29、以P2的商式，的商式，r返回返回P1除以除以P2的余式。这里，的余式。这里，Q和和r仍是多项式系仍是多项式系数向量。数向量。deconv是是conv的逆函数，即有的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。例例5-17 求多项式求多项式x4+8x3-10除以多项式除以多项式2x2-x+3的结的结果。果。5.5.2 多项式的导函数多项式的导函数对多项式求导数的函数是：对多项式求导数的函数是：p=polyder(P)：求多项式：求多项式P的导函数的导函数p=polyder(P,Q)：求：求PQ的导函数的导函数p,q=polyder(P,Q)：求：求P/Q的导函数，导函数的的导函数，导函数的分子存
30、入分子存入p，分母存入，分母存入q。上述函数中，参数上述函数中，参数P,Q是多项式的向量表示，结果是多项式的向量表示，结果p,q也是多项式的向量表示。也是多项式的向量表示。例例5-18 求有理分式的导数。求有理分式的导数。命令如下：命令如下：P=1;Q=1,0,5;p,q=polyder(P,Q)5.5.3 多项式的求值多项式的求值MATLAB提供了两种求多项式值的函数：提供了两种求多项式值的函数：polyval与与polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量，它们的输入参数均为多项式系数向量P和自变量和自变量x。两者的区别在于前者是代数多项式。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者
31、是矩阵多项式求值。求值，而后者是矩阵多项式求值。1代数多项式求值代数多项式求值polyval函数用来求代数多项式的值，其调用函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：格式为：Y=polyval(P,x)若若x为一数值，则求多项式在该点的值；若为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。元素求其多项式的值。例例5-19 已知多项式已知多项式x4+8x3-10，分别取和一，分别取和一个个23矩阵为自变量计算该多项式的值。矩阵为自变量计算该多项式的值。2矩阵多项式求值矩阵多项式求值polyvalm函数用来求矩阵多项式的
32、值，其调用格式函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与与polyval相同，但含义不同。相同，但含义不同。polyvalm函数要求函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设A为方阵，为方阵，P代表多项式代表多项式x3-5x2+8，那么，那么polyvalm(P,A)的含义是：的含义是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)而而polyval(P,A)的含义是：的含义是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A)例例5-20 仍以多项式仍以多项式x4+8x3-10为例，取一个为例，取一个22矩阵矩阵为自变量分别用为自变量分
33、别用polyval和和polyvalm计算该多项式计算该多项式的值。的值。5.5.4 多项式求根多项式求根n次多项式具有次多项式具有n个根，当然这些根可能是实个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。根，也可能含有若干对共轭复根。MATLAB提供的提供的roots函数用于求多项式的函数用于求多项式的全部根，其调用格式为：全部根，其调用格式为：x=roots(P)其中其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向为多项式的系数向量，求得的根赋给向量量x，即，即x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的分别代表多项式的n个根。个根。例例5-21 求多项式求多项式x4+8x3-10的根。的根
34、。命令如下：命令如下：A=1,8,0,0,-10;x=roots(A)若已知多项式的全部根，则可以用若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起函数建立起该多项式，其调用格式为：该多项式，其调用格式为：P=poly(x)若若x为具有为具有n个元素的向量，则个元素的向量，则poly(x)建立以建立以x为其为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。例例5-22 已知已知 f(x)(1) 计算计算f(x)=0 的全部根。的全部根。(2) 由方程由方程f(x)=0的根构造一个多项式的根构造一个多项式g(x)，并与并与f(x)进行对比。进行对比。命令如下：命令如下：P=3,0,4,-5,-7.2,5;X=roots(P) %求方程求方程f(x)=0的根的根G=poly(X) %求多项式求多项式g(x)
