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1、洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用常用的的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容21 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理32 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理有限增量公式有限增量公式.43 3、柯西中值定理、柯西中值定理推论推论54 4、洛必达法则、洛必达法则定义定义 这种在一定条件下通过分子
2、分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.65 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理7 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式86 6、导数的应用、导数的应用定理定理(1) 函数单调性的判定法函数单调性的判定法9定义定义(2) 函数的极值及其求法函数的极值及其求法10定理定理( (必要条件必要条件) )定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大
3、值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .11定理定理( (第一充分条件第一充分条件) )定理定理( (第二充分条件第二充分条件) )12求极值的步骤求极值的步骤: :13步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那
4、个那个小那个就是最小值就是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3) 最大值、最小值问题最大值、最小值问题14实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;(4) 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义1516定理定理1 117方法方法1:1:方法方法2:2:18利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步(5) 函数图形的描绘函数图形的描绘19第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其确定函数
5、图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势他变化趋势;第五步第五步20(6) 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 曲率的计算公式曲率的计算公式21定义定义221 1解解二、典型例题23这就验证了命题的正确性这就验证了命题的正确性.24252627(4)(4)解解28解解2930极大值极大值拐点拐点极小值极小值31 4、判断方程 有几个实根。 解：令 得唯一驻点 单调增加； 单调减少 若 ，方程无实根。 若 ， 所以原方程仅有两个实根。 若 方程有唯一实根。 32(1)利用微分中值定理。 所以最大值点一定是驻点， 33(2).利用函数单调性 34(3).利用函数的极值与最值 设 ,且0 1 ，证明
6、证明：作函数 令 , 得 ; 当 时 ，；当 时， ； 35 故 在 处 取 得 极 大 值 ;因为在区间上只有一个极大值，而无极小值， 故极大值就是最大值， 因此当 时， (4).利用函数的凹凸性. 例4 设 为正实数，试证证明：只要证明 36作函数 是凹函数, 所以对任意 有 , 37（5）利用泰勒公式 设 , 且 ,证明 . 证明：由条件知 由泰勒公式在 与 之间 386、设函数397 设实数满足下述等式证明方程在 ( 0 , 1) 内至少有一个实根 .证证: 令则可设由罗尔定理可知存在一点在 ( 0 , 1)内至少有一个实根 .40证证: : 问题转化为证因此设辅助函数在 0 , 1 上满足罗尔定理条件,故至少存在一点419 9证证42则有则有43测测 验验 题题4445464748495051测验题答案测验题答案52
