第三章 时间序列分析方法——博克斯－詹尼斯预测法 n概述 n分析时间序列特性的方法工具 n时间序列特性分析 nＡＲＭＡ模型及其改进 n随机时序模型的建立 n时序模型预测 n预测实例 2021/8/141 第一节 概述 博克斯－詹尼斯法，常常称Ｂ－Ｊ方法，实际是一大族模型的总称，可以分为三种基本的模式：自回归(Autoregressive)模型，简称ＡＲ模型；移动平均(Moving Average)模型，简称ＭＡ模型；自回归—移动平均(Autoregressive Moving Average)模型，简称ARMA模型 博克斯－詹尼斯法，目前在国外被誉称为时间序列预测方法中最复杂最高级的模型这种方法实际上在20世纪30年代由尤尔(G.U.Yule)和瓦尔德(H.Wold)研究过尤尔(G.U.Yule)于1926年第一次提出自回归模型（AR），维尔克（Walker）于1934年把它加以推广后来，1937年斯卢茨基（Slutzky）第一次使用了移动平均模型（MA），1938年瓦尔德(H.Wold)的著作对AR、MA、ARMA模型的参数进行了分析和估计，并应用到时间序列的季节分析上，为混合自回归移动平均模型(ARMA)方法奠定了理论基础，并把ARMA模型看成为一种最有实用价值的预测方法，但是由于计算过于复杂，研究没有进展。
随着计算机技术的应用，美国威斯康辛大学的博克斯（G.E.P.Box）和英国的统计学家詹尼斯法(G.m.Jenkins)又开始了这一研究，1970年二位学者将各种模型有机地组合在一起，使之成为一种综合的预测方法，研究成果发表后，这种时序分析和预测方法受到了人们的重视和实际应用，并因此得以用这二位学者的名字命名2021/8/142 一、Ｂ－Ｊ方法的基本思想 n1、博克斯－詹尼斯法的应用条件、博克斯－詹尼斯法的应用条件n运用博克斯－詹尼斯法的前提条件是，用来建立模型的时间序列应该是一个零均值的平稳随机过程即ＡＲＭＡ模型只适用于对平稳时间序列的描述平稳时间序列属于一种特殊的随机过程1）随机过程）随机过程依赖于时间的随机变量族 构成随机过程其中，一般而言，指标集 取连续变化范围，对于每个固定的时刻 ， 是一个普通的随机变量，对于 的随机变量全体，就构成一个随机过程简单理解，随机过程就是一族随时间 变化的随机变量当 ＝｛…-2，-1，0，1，2，…｝时， 是离散值 的随机函数，通常称为随机时序。
由于指标集常表示时间，所以此类随机时序也称为时间序列 2021/8/143 （（2）平稳时间序列）平稳时间序列平稳时间序列，简单地说，平稳性就是一个系统达到统计平衡状态，其统计特性不随时间变化统计特性是用概率分布来描述的如果时间序列 的任意有穷维分布具有如下的性质： 其中， 是任意整数， 称 为完全平稳时序完全平稳序列的概率结构对时间原点的平移保持不变，即( )和( )具有完全相同的联合概率分布平稳序列又有两种情况，严平稳与宽平稳2021/8/144 （（3）严平稳与宽平稳）严平稳与宽平稳严平稳即完全平稳，该条件是非常苛刻的，因为，任意有穷维分布族决定了随机序列的全部统计特性但同时，对于随机序列而言，任意有穷维分布族决定了随机序列的全部统计特性，也不便于分析和使用，因此希望给出不象完全平稳那样强的平稳条件如果减弱条件，不再要求( )和( )的分布完全相同，只要求二者分布的主要参数特征相同，譬如，只要求直到某阶的矩函数相同，这就引出实际应用中通常使用的 阶平稳性的概念。
2021/8/145 2021/8/146 2、博克斯－詹尼斯法的基本思想、博克斯－詹尼斯法的基本思想 用博克斯－詹尼斯法的基本思想则是：除极个别的情况外，几乎所有的时间序列中按照时间顺序排列的观察值之间具有依赖关系或自相关性，这种自相关性体现了变量发展的延续性，所以，一旦时间序列的这种自相关性被各种方式用定量的方法描述出来，就可以根据时间序列的过去值预测其将来值为此，根据随时间变化而又互相关联的数字序列，用相应的数学模型加以近似描述并通过对相应数学模型的分析研究，认识动态数据内在结构和复杂特性，从而达到最小方差意义下的最佳预测 2021/8/147 二、Ｂ－Ｊ方法的基本模型 1、一般形式、一般形式 根据多元回归分析预方法我们知道，如果预测对象的影响因素有多个，并且各个影响因素之间相互独立，可以建立的多元线性回归模型为： 2021/8/148 2021/8/149 2021/8/1410 2021/8/1411 2021/8/1412 2021/8/1413 三、Ｂ－Ｊ方法的基本分析程序 2021/8/1414 第二节 分析时间序列特性的方法工具 n自相关 n自相关系数的抽样分布 n偏自相关 n相关分析图 运用博克斯－詹尼斯法建立模型，首先需要熟悉模型的种类以及每一种模型的特性，同时也必须要掌握所分析的时间序列的特性，通过时间序列的特性与模型特性的比较，才可以选择比较适当的模型。
这里先介绍分析时间序列特性的方法分析时间序列特性最有效的工具就是自相关分析2021/8/1415 一、自相关2021/8/1416 2021/8/1417 根据公式有，2021/8/1418 二、自相关系数的抽样分布 2021/8/1419 2021/8/1420 三、偏自相关 计算公式计算公式： ， ，2021/8/1421 2021/8/1422 四、相关分析图 为了方便对时间序列的特性进行分析，以及进行时间序列模型进行识别，常常将时间序列的自相关系数，偏自相关系数绘制成图，并标出一定的置信区间，被称为相关分析图利用SPSS软件计算自相关系数、偏相关系数以及绘制相关分析图的主要步骤如下： 1、 录入数据这里以某省国内生产总值指数为例 2、 点击工具“Graphs”→ “Time series ”→“Autocorrelations”，得如下对话框， 2021/8/1423 3、 在“variables”中输入“gdpi”，滞后期数在“Options”中输入，并对显示结果项以及数据转换项作出选择滞后期的选择，点击“Options”，输入16，点击“Continue”。
2021/8/1424 4、 “ok”得结果如下：自相关系数及自相关图图中左边为相关系数，右边为相关系数图 2021/8/1425 偏自相关系数与偏自相关图 图中左边为相关系数，右边为相关系数图由自相关系数图可以看出，有两个自相关系数落在了随机区间外，所以该序列为非纯随机序列 2021/8/1426 第三节 时间序列特性分析 n随机性的测定 n平稳性的测定 n时间序列的季节性 博克斯－詹尼斯法建立模型，要根据所分析的时间序列的特性与模型特性的比较，才可以选择比较适当的模型这里我们利用时间序列特性分析工具，具体来分析时间序列特性时间序列的特性是指时间序列的随机性、平稳性、季节性根据时间序列特性配合相应的模型2021/8/1427 一、随机性的测定 n随机性的涵义时间序列的随机性就是指时间序列各项之间没有任何相关关系的特性测定时间序列的随机性的目的在于判定该时间序列的是否为纯随机序列，即由一列随机数字构成的时间序列直到目前，纯随机序列是无法建立模型的n测定工具与原则时间序列分析中测定时间序列的随机性主要运用的是自相关系数及自相关分析图测定的原则是，如果时间序列的自相关系数基本都落入随机区间内，则该时序为纯随机序列；有较多自相关系数落入随机区间外，时序就是非纯随机序列。
如下图就是一个纯随机序列的自相关系数图，而第二节中的自相关系数图则表明的为非纯随机序列 2021/8/1428 3、时间序列的随机性在Ｂ－Ｊ方法中的应用测定时间序列的随机性在Ｂ－Ｊ方法中主要是在建模后鉴定残差序列（原始序列与预测模型之间的误差序列）的随机性，以便鉴定所建立的模型是否适合于预测 2021/8/1429 二、平稳性的测定 2021/8/1430 2021/8/1431 而下图，则为非平稳时间序列的自相关系数图2021/8/1432 3、时间序列平稳性在Ｂ－Ｊ方法中的应用在Ｂ－Ｊ方法中，只有平稳时间序列才能直接建立ＡＲＭＡ模型，因此判定时间序列的平稳性是应用Ｂ－Ｊ方法的第一步 4、对时间序列非平稳性的消除 现实生活中，真正平稳的时间序列是不多的，而非平稳性的时间序列又不可以直接建立ＡＲＭＡ模型，为此需要对ＡＲＭＡ模型进行改进，在Ｂ－Ｊ方法中，改进后的ＡＲＭＡ模型是可以适用于非平稳时间序列的，但是却要求该时间序列能够通过处理达到平稳化这种处理就是对时间序列进行差分差分可以实现时间序列非平稳性的消除非平稳性能够消除的时间序列称为齐次非平稳时间序列。
2021/8/1433 2021/8/1434 对上述非平稳的序列进行一阶差分 2021/8/1435 由于自相关系数在 =1后，基本都落入的随机区间，所以，经过一阶差分后，序列变换为平稳序列2021/8/1436 三、时间序列的季节性三、时间序列的季节性n季节性的涵义时间序列的季节性是指在某一个固定时间间隔上（如根据季节间隔），重复出现的某种特性n季节性的测定工具与原则对于时间序列季节性的测定原则是，如果一个月度或季度的时间序列无明显趋势性，它的自相关系数在时滞=12,24,36,48时与0有显著不同，则时间序列存在着季节性，相反，若与0无显著不同，则说明时间序列不存在季节性如果时间序列存在着明显的趋势变化，则先进行差分从原始序列中剔除长期趋势后，再利用上述原则测定时间序列的季节性n例如2021/8/1437 显然，在 =1， 12， 24处自相关系数显然都存在着不显著为0，说明序列存在季节性2021/8/1438 2021/8/1439 2021/8/1440 第四节 ＡＲＭＡ模型及其改进nＡＲＭＡ序列的自相关和偏自相关函数 nＡＲＭＡ（p，q）模型的改进 在上一节，我们讨论了时间序列的特性，在此基础上，我们进一步探讨博克斯－詹尼斯法中，各种模型的特征，以便通过数据、模型特征两方面的比较，进行模型的识别。
2021/8/1441 一、ARMA序列的自相关和偏自相关函数2021/8/1442 MA（1）序列自相关函数图 MA（2）序列自相关函数图 2021/8/1443 MA（q）序列偏自相关函数图2021/8/1444 2021/8/1445 ＡＲ（p）序列自相关函数图2021/8/1446 2021/8/1447 ＡＲ（1）序列偏自相关函数图 ＡＲ（2）序列偏自相关函数图 ＡＲ（p）序列自相关函数的拖尾性，以及偏自相关函数截尾性，在博克斯－詹尼斯法中也非常的重要，可以用于模型的识别，以及利用样本偏自相关函数的截尾性识别自回归过程的阶数2021/8/1448 ARMA（1，1）序列自相关和偏相关函数图 2021/8/1449 2021/8/1450 二、ＡＲＭＡ（p，q）模型的改进 n ＡＲＩＭＡ（p,d,q）模型nＡＲＩＭＡ（p,d,q）（Ｐ，Ｄ，Ｑ）Ｓ模型2021/8/1451 2021/8/1452 2021/8/1453 2021/8/1454 2021/8/1455 2021/8/1456 2021/8/1457 2021/8/1458 第五节 随机时序模型的建立2021/8/1459 一、模型识别一、模型识别2021/8/1460 2021/8/1461 2021/8/1462 参数估计n参数的初步估计n初步估计就是要设法找到参数的初始估计值。
一般是利用序列的样本自相关函数对模型参数进行初步估计或确定初始值（这种方法又简称为矩估计法）n参数的精确估计2021/8/1463 两边取均值 2021/8/1464 这是著名的Yule-Walker方程，系数矩阵为自相关系数矩阵组成于是有2021/8/1465 2021/8/1466 2021/8/1467 2021/8/1468 2021/8/1469 2021/8/1470 （（3））ARMA模型参数的初步估计模型参数的初步估计 ARMR参数的初步估计要比前述两种模型参数的初步估计更为复杂为此，为了简便起见，建立ARMR时，不再进行初步估计，而是直接选择某一组初始值，直接进行精确估计 2、模型参数的精确估计、模型参数的精确估计 模型参数的精确估计是在初步估计的基础上，依据一定的估计准则进行的参数估计ARMA模型参数估计最常用的准则是最小二乘法准则和极大似然估计准则其中，又以应用最小二乘法的准则居多 对于AR模型，应用最小二乘法准则进行参数的精确估计时，类似于多元线性回归模型参数估计的最小二乘法，主要采用的是线性最小二乘法估计方法 对于MA模型以及ARMA模型，应用最小二乘法进行参数估计则有所不同，只能采用非线性最小二乘法估计，其计算步骤是，从被估计参数的一组初始值出发，使参数依某种规律沿着残差平方和减少的方向变化，得到平方和较小的点，再以此为新的出发点进行下一步的迭代，这种迭代一直进行到满足预先给定的精度下，平方和不能再下降为止。
在运用非线性最小二乘法估计准则时，依据不同的函数类型，有不同的迭代方法，主要有：最速下降法，高斯—牛顿法和阻尼最小二乘法2021/8/1471 3、运用计算机软件进行模型参数估计的主要方法、运用计算机软件进行模型参数估计的主要方法 (1) 运用SPSS软件进行ARMA模型参数的估计 首先：录入数据 其次：点击Statistics→Time Series→ARIMA,出现对话框如下：2021/8/1472 填入自变量，并在Model栏中选择相应的参数通过 选择置信水平、预测方法等选项如下2021/8/1473 通过 选择计算结果存储的方式和内容如下：最后，点击“OK”得运行结果2021/8/1474 四、模型的检验2021/8/1475 2021/8/1476 2021/8/1477 第六节 时序模型预测2021/8/1478 2021/8/1479 2021/8/1480 三、用三、用ARMA模型进行的递推预测模型进行的递推预测 用ARMA模型进行的递推预测与MA模型的预测方法类似，但是更为复杂。
为此，在许多情况下，只好借助计算机软件来进行 另外，经过差分后平稳的序列，只要差分后的序列可以预测，则将可预测的序列累加差分阶数次，就可以得到原序列的预测值2021/8/1481 2021/8/1482 2021/8/1483 第七节 预测实例 2021/8/1484 部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！ 。