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1、9/10/20241年月年月第五章第五章 不可约张量算符不可约张量算符9/10/202424.1不可约张量算符的定义不可约张量算符的定义及其代数运算规则及其代数运算规则Irreducible Tensor9/10/20243引言引言坐标系转动时物理量各有一定的变换规律坐标系转动时物理量各有一定的变换规律按坐标系转动下的变换规律将物理量分类按坐标系转动下的变换规律将物理量分类标量标量，矢量矢量（一阶张量）一阶张量），二阶张量二阶张量将物理量算符同样分类将物理量算符同样分类标量标量算符，算符，一阶张量一阶张量算符，算符，二阶张量二阶张量算符算符9/10/20244引言引言算符的表示依赖于坐标系的选
2、择算符的表示依赖于坐标系的选择笛卡儿坐标系，球坐标系，笛卡儿坐标系，球坐标系，不同坐标系的基矢通过幺正变换相联系不同坐标系的基矢通过幺正变换相联系9/10/20245一、球基矢一、球基矢在量子力学中为计算方便引入在量子力学中为计算方便引入球基矢球基矢与笛卡儿坐标系基矢的关系与笛卡儿坐标系基矢的关系逆变换逆变换9/10/20246一、球基矢一、球基矢性质性质正交归一条件正交归一条件练习：练习：证明上式证明上式9/10/20247二、球基矢上的向量算符表示二、球基矢上的向量算符表示坐标向量坐标向量9/10/20248二、球基矢上的向量算符表示二、球基矢上的向量算符表示在球基矢下坐标向量算符的分量为
3、在球基矢下坐标向量算符的分量为在坐标系转动下按如下规律变换在坐标系转动下按如下规律变换9/10/20249二、球基矢上的向量算符表示二、球基矢上的向量算符表示同理可得任一向量算符在球基矢上的表示同理可得任一向量算符在球基矢上的表示其中其中在坐标系转动下的变换规律在坐标系转动下的变换规律9/10/202410三、不可约张量算符的定义三、不可约张量算符的定义如下变换的算符称为如下变换的算符称为一阶一阶不可约张量算符不可约张量算符进而定义进而定义 l 阶阶不可约张量算符不可约张量算符逆变换逆变换9/10/202411四、不可约张量算符的代数运算规则四、不可约张量算符的代数运算规则加法加法：两个：两个
4、 l 阶不可约张量算符之和阶不可约张量算符之和仍为仍为 l 阶不可约张量算符阶不可约张量算符证明证明9/10/202412四、不可约张量算符的代数运算规则四、不可约张量算符的代数运算规则乘法和收缩乘法和收缩两个张量算符的乘法和收缩按下式定义两个张量算符的乘法和收缩按下式定义9/10/202413四、不可约张量算符的代数运算规则四、不可约张量算符的代数运算规则乘法和收缩乘法和收缩9/10/202414四、不可约张量算符的代数运算规则四、不可约张量算符的代数运算规则乘法和收缩乘法和收缩9/10/202415五、零阶张量算符及张量算符的标量积五、零阶张量算符及张量算符的标量积当当时可收缩得到时可收缩
5、得到零阶张量零阶张量左左=常数常数零阶张量，在转动下不变零阶张量，在转动下不变右亦然右亦然称式右为两个称式右为两个 l 阶不可约张量的阶不可约张量的标量积标量积记为记为9/10/202416五、零阶张量算符及张量算符的标量积五、零阶张量算符及张量算符的标量积一阶不可约张量一阶不可约张量熟知的标量积形式熟知的标量积形式例：两个坐标矢量的标量积例：两个坐标矢量的标量积9/10/202417六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义Giulio (Yoel) Racah (1909 - 1965)Israeli physicist & mathematician满足下式的满足下式的
6、2l+1 个算符为个算符为 l 阶不可约张量算符阶不可约张量算符9/10/202418六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义两种定义的两种定义的等价性等价性代入代入9/10/202419六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义代入代入9/10/202420六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义代入代入9/10/202421六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义综合以上结果得综合以上结果得9/10/202422六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义另一写法另一写法 利用角动量算符在球基矢上的表示利用
7、角动量算符在球基矢上的表示于是于是9/10/202423六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义而而又因又因9/10/202424六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义又又也可统一写为也可统一写为9/10/2024254.2不可约张量算符的实例不可约张量算符的实例9/10/202426一、常见算符一、常见算符可用拉卡定义判断是否不可约张量算符可用拉卡定义判断是否不可约张量算符、坐标算符坐标算符与球谐函数相关，后者既是与球谐函数相关，后者既是函数，又是不可约张量算符函数，又是不可约张量算符9/10/202427一、常见算符一、常见算符将坐标重新组合可构成一阶
8、和二阶不可约将坐标重新组合可构成一阶和二阶不可约张量算符张量算符一阶一阶二阶二阶9/10/202428一、常见算符一、常见算符、角动量及动量算符角动量及动量算符角动量算符在球基矢上的表示角动量算符在球基矢上的表示利用利用可证可证均为一阶不可约张量算符均为一阶不可约张量算符9/10/202429一、常见算符一、常见算符、角动量及动量算符角动量及动量算符动量算符在球基矢上的表示动量算符在球基矢上的表示其其分量分量也是一阶不可约张量算符也是一阶不可约张量算符9/10/202430一、常见算符一、常见算符以上各向量算符，若用符号以上各向量算符，若用符号统一表示统一表示则它们在球基矢上的分量则它们在球基
9、矢上的分量都是都是一阶不可约张量算符，且具有如下性质一阶不可约张量算符，且具有如下性质或或l 阶不可约张量算符阶不可约张量算符也具有这个性质也具有这个性质一般的为一般的为9/10/202431二、不可约张量算符的厄米共轭二、不可约张量算符的厄米共轭不可约张量算符满足不可约张量算符满足两端取厄米共轭两端取厄米共轭定义定义若若自共轭张量算符自共轭张量算符9/10/202432三、相互作用的位能算符三、相互作用的位能算符微观粒子间相互作用能都具有转动不变性微观粒子间相互作用能都具有转动不变性位能算符必为位能算符必为零阶张量零阶张量算符，算符，或两个或两个同阶张量同阶张量算符的算符的标量积标量积 标量标量力力 自旋自旋力力自旋自旋轨道轨道耦合力耦合力 张量张量力力9/10/202433三、相互作用的位能算符三、相互作用的位能算符上式中上式中1) 2)又又9/10/2024344.3Wigner-Eckart定理定理9/10/202435一、定理的表述和证明一、定理的表述和证明9/10/202436二、计算几个有用的矩阵元二、计算几个有用的矩阵元零阶张量的约化矩阵元与阵元零阶张量的约化矩阵元与阵元相同且只有对角元相同且只有对角元9/10/202437
