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1、微积分学的创始人微积分学的创始人: 德国数学家德国数学家 Leibniz 微分学微分学导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数从微观上研究函数)导数思想最早由法国导数思想最早由法国数学家数学家 Ferma 在研究在研究极值问题中提出极值问题中提出.英国数学家英国数学家 Newton第第第第3 3章章章章导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分 3.1 3.1 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义1. 引例引例 2. 导数的定义导数的定义 6. 求导数与微分举例求导数与微分举例5. 导数与
2、微分的几何意义导数与微分的几何意义7. 单侧导数单侧导数 3. 微分的定义微分的定义 4. 可可微与可导的关系微与可导的关系 8. 函数的可函数的可微性与连续性的关系微性与连续性的关系(1)变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为设描述质点运动位置的函数为则则 到到 的平均速度为的平均速度为自由落体运动自由落体运动而在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为1. 引例引例(2) 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线曲线在在 M 点处的切线点处的切线割线割线 M N 的极限位置的极限位置 M T割线割线 M N 的斜率的斜率切线切线 MT 的斜率的斜率两个问题的共性两个问题的共性
3、:瞬时速度瞬时速度切线斜率切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限所求量为函数增量与自变量增量之比的极限. .所求量为函数增量与自变量增量之比的极限所求量为函数增量与自变量增量之比的极限. .类似问题还有类似问题还有:加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变变化化率率问问题题2. 导数的定义导数的定义定义定义函数函数与自与自平均变化率平均
4、变化率. .中的任何一个表示中的任何一个表示, ,存在存在, ,如如平均变化率的极限平均变化率的极限: :或或函数在一点函数在一点 处的变化率处的变化率或有导数或有导数. .可用下列记号可用下列记号则称此极限值为则称此极限值为处不可导或导数不存在处不可导或导数不存在. .特别当特别当(1)(1)式的极限为式的极限为有时也说在有时也说在x0处处导数是正导数是正( (负负) )无无注注要注意要注意导数定义可以写成多种形式导数定义可以写成多种形式: :当极限当极限(1)(1)式不存在时式不存在时, ,就说函数就说函数 f (x)在在x0在利用导数的定义证题或计算时在利用导数的定义证题或计算时, ,正
5、正( (负负) )无穷时无穷时, ,穷大穷大, ,但这时但这时导数不存在导数不存在. .关于导数的说明关于导数的说明或或如果如果 x0= 0, ,可以写成可以写成特别特别是是, ,(1)(1)x0点处的导数是因变量在点点处的导数是因变量在点x0处的变化率处的变化率, ,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度. .(2)(2)如果函数如果函数y = f (x)在开区间在开区间 I 内的每点处都可导内的每点处都可导, ,就称函数就称函数 f (x)在开区间在开区间 I 内可导内可导. .记作记作即即或或这时对于任意这时对于任意都对应着都对应着 f
6、(x)的一个确定的一个确定的的导数值导数值. .这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数f (x)的的 导函数导函数. .例例 用导数表示下列极限用导数表示下列极限解解解解3. 微分的定义微分的定义实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量. .既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值 问题问题: :是否所有函数的改变量都有这个是否所有函数的改变量都有这个线性函数线性函数( (改变量的主要部分改变量的主要部分)?)?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?定义定义如果如果则称则称函数函数可微可微, ,A为微分系数为微分系数记作记作微分微分, ,并
7、称并称为函数为函数导数导数微分微分导数与微分导数与微分是函是函数在一点处的变化率，表达了由数在一点处的变化率，表达了由自变量所引起的函数变化的快慢程度自变量所引起的函数变化的快慢程度. .是函数在一点处由于自变量微小变化是函数在一点处由于自变量微小变化所引起的改变量的近似值所引起的改变量的近似值. .有着密切的联系有着密切的联系. .定理定理证证(1) (1) 必要性必要性即有即有 满足什么条件的函数是可微的呢？满足什么条件的函数是可微的呢？ 微分的系数微分的系数A如何确定呢如何确定呢? ? 微分与导数有何关系呢微分与导数有何关系呢? ?下面的定理回答了这些问题下面的定理回答了这些问题. .4
8、. 可微与可导的关系可微与可导的关系(2)(2)充分性充分性从而从而其微分一定是其微分一定是定理定理即有即有注注 微分的实质微分的实质 线性函数线性函数, , 线性主部线性主部. . 主部主部, , 所以所以 的条件下的条件下, , 近似代替增量近似代替增量 其误差为其误差为因此因此, ,是精确度较好且易计算的近似等式。是精确度较好且易计算的近似等式。 结论结论 在在导数称为微商导数称为微商 称为函数称为函数的微分的微分, ,记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分, ,记作记作注注导数的几何意义导数的几何意义5 5、导数的几何意义与物理意义、导数的几何意义与物理意义微分的几何意义微分的几何意
9、义即即特别地特别地: :(2)(2)物理意义物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率. .路程对时间的导数为物体的瞬时速度路程对时间的导数为物体的瞬时速度; ;电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度; ;为物体的线为物体的线( (面面, ,体体) )密度密度. .质量对长度质量对长度( (面积面积, ,体积体积) )的导数的导数微分的几何意义微分的几何意义( (如图如图) )对应的增量对应的增量, ,增量增量; ;是曲线的纵坐标是曲线的纵坐标就是就是切线切线纵坐标纵坐标微分的几何本质微分的几何本质以以直代曲直代曲例例解解( (几个基本初等函数的导数与微分几个基本
10、初等函数的导数与微分) ) 步步 骤骤 即即 导数的定义不仅给出了导数的概念导数的定义不仅给出了导数的概念,也提供了计算方法也提供了计算方法. 因而它也属于双重意因而它也属于双重意义的定义义的定义.6 6、求导数与微分举例、求导数与微分举例微分微分例例解解即即同理可得同理可得微分微分例例解解更一般地更一般地即即如如微分微分例例解解由导数的几何意义由导数的几何意义, , 得切线斜率为得切线斜率为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为例例解解微分微分特别的特别的例例解解微分微分特别的特别的(2)(2)右导数右导数: :7 7、单侧导数单侧导数(1)(1)左导数左导数: :处的可导性处的可导性.
11、.此性质常用于判定此性质常用于判定分段函数分段函数在在 分段点分段点如果如果 f (x)在开区间在开区间(a, b)内可导内可导,都存在都存在, 就说就说 f (x)在闭区间在闭区间a, b上可导上可导.例例解解即即也不可微也不可微. .x = 0为为f (x)的角点的角点设函数设函数 y = f (x)在点在点x处可微处可微, ,则则由连续的定义可知由连续的定义可知, ,8 8、函数可微性与连续性的关系、函数可微性与连续性的关系函数函数y = f (x)在点在点x处连续处连续. .如如, ,反之反之, ,连续是可微的必要条件连续是可微的必要条件, , 不是充分条件不是充分条件. .但在但在x
12、 = 0处不可微处不可微. .若若y = f (x)在点在点x处连续处连续, ,则则y = f (x)在在点点x处不一定可微处不一定可微. .定理定理 可微可微( (导导) )函数都是连续函数函数都是连续函数. .证明证明例例解解即即为了使为了使 f(x) 在在x0处可导处可导, , 解解首先函数必须在首先函数必须在x0处处连续连续. .由于由于故应有故应有又因又因应如何选取应如何选取a,b ? ?从而从而 当当f(x)在在x0处可导处可导. .应如何选取应如何选取a,b? ?为了使为了使f(x)在在x0处可导处可导, , 导数的实质导数的实质: : 增量比的极限增量比的极限; ;导数的几何意
13、义导数的几何意义: : 切线的斜率切线的斜率; ; 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: : 由定义求导数由定义求导数. .判断可导性判断可导性不连续不连续, , 一定不可导一定不可导. .连续连续直接用定义直接用定义; ;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等. .小结小结微分概念微分概念 微分的基本思想微分的基本思想微分的几何意义微分的几何意义导数与微分的关系导数与微分的关系dy就是切线纵坐标对应的增量就是切线纵坐标对应的增量以直代曲以直代曲函数可微一定连续函数可微一定连续, , 但连续不一定可微但连续不一定可微; ;作业作业：P58 2(5) , 5(2), 8, 12, 14， 15
