第三节 三角函数的图象与性质 三年三年1010考考 高考指数高考指数:★★★:★★★1.1.能画出能画出y=sinx,y=cosx,y=tanxy=sinx,y=cosx,y=tanx的图象的图象, ,了解三角函数的周期性了解三角函数的周期性. .2.2.理解正弦函数、余弦函数在［理解正弦函数、余弦函数在［0,2π0,2π］上的性质］上的性质( (如单调性、如单调性、最大值和最小值以及与最大值和最小值以及与x x轴的交点等轴的交点等),),理解正切函数在理解正切函数在上的单调性上的单调性. . 1.1.三角函数的图象和性质是考查的重点，特别是定义域、值域、三角函数的图象和性质是考查的重点，特别是定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性的应用周期性、奇偶性和单调性的应用. .同时还考查数形结合思想的理同时还考查数形结合思想的理解和应用解和应用. .2.2.主要以选择题、填空题的形式考查，性质的综合应用有时会主要以选择题、填空题的形式考查，性质的综合应用有时会在解答题中考查，属中档题在解答题中考查，属中档题. . 1.1.周期函数和最小正周期周期函数和最小正周期对于函数对于函数f(xf(x),),如果存在一个非零常数如果存在一个非零常数T,T,使得当使得当x x取定义域内的取定义域内的每一个值时每一个值时, ,都有都有____________,____________,则称则称f(xf(x) )为周期函数为周期函数,T,T为它的为它的一个周期一个周期. .若在所有周期中若在所有周期中, ,有一个最小的正数有一个最小的正数, ,则这个最小的则这个最小的正数叫做正数叫做f(xf(x) )的的___________.___________.f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) )最小正周期最小正周期 【即时应用【即时应用】】(1)(1)思考：常函数思考：常函数f(x)=a(a∈Rf(x)=a(a∈R) )是否为周期函数是否为周期函数, ,有无最小正周有无最小正周期期? ?提示：提示：是周期函数，但没有最小正周期是周期函数，但没有最小正周期. . (2)(2)思考：若函数思考：若函数f(xf(x) )满足满足f(x+2)=-f(xf(x+2)=-f(x) )，函数，函数f(xf(x) )是周期函数，是周期函数，对吗？对吗？提示：提示：对，因为对，因为f(x+4)=-f(x+2)=f(xf(x+4)=-f(x+2)=f(x) )，所以，所以f(xf(x) )是周期函数，是周期函数，最小正周期是最小正周期是4.4. (3)(3)函数函数 的最小正周期是的最小正周期是_______._______.【解析【解析】】∴∴由周期函数的定义知原函数的最小正周期是由周期函数的定义知原函数的最小正周期是4π.4π.答案：答案：4π4π 2.2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanx图象图象定义域定义域值域值域yxOO1 1-1-1ππ2π2π yx1 1-1-1π π 2π2π Oyxx∈Rx∈Rx∈Rx∈R[-1,1][-1,1][-1,1][-1,1]x∈Rx∈R且且x≠ +kπx≠ +kπ, ,k∈Zk∈ZR R 函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanx单调性单调性递增区间是递增区间是[2kπ- ,2kπ+ ][2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z(k∈Z),),递减区间是递减区间是[2kπ+ ,2kπ+ ][2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z(k∈Z) )递增区间是递增区间是[2kπ-π,2kπ][2kπ-π,2kπ](k∈Z(k∈Z),),递减区间是递减区间是[2kπ,2kπ+π][2kπ,2kπ+π](k∈Z(k∈Z) )递增区间是递增区间是(kπ(kπ- ,- ,kπkπ+ )+ )(k∈Z(k∈Z) ) 函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanx无最大值无最大值和最小值和最小值最值最值x=x= 时时, ,y ymaxmax=1;=1;x=x= 时时, , y yminmin=-1=-1x=x= 时时, ,y ymaxmax=1;=1;x=x= 时时, ,y yminmin=-1=-1+2kπ(k∈Z)+2kπ(k∈Z)+2kπ(k∈Z)+2kπ(k∈Z)2kπ(k∈Z)2kπ(k∈Z)π+2kπ(k∈Z)π+2kπ(k∈Z) 函数函数y=sinxy=sinxy=cosxy=cosxy=tanxy=tanx奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数对对称称性性对称对称中心中心对称对称轴轴(kπ,0),k∈Z(kπ,0),k∈Z(kπ(kπ+ ,0),k∈Z+ ,0),k∈Z( ,0),k∈Z( ,0),k∈Zx=kπ+ ,k∈Zx=kπ+ ,k∈Zx=kπ,k∈Zx=kπ,k∈Z无对称轴无对称轴最小正周期最小正周期2π2π2π2πππ 【即时应用【即时应用】】(1)(1)判断下列命题的正误判断下列命题的正误( (请在括号中填请在括号中填““√√””或或““×”×”) )①y=sinx①y=sinx在第一、第四象限是增函数在第一、第四象限是增函数.( ).( )②y=sinx②y=sinx在在x∈ x∈ 上是增函数上是增函数.( ).( )③y=tanx③y=tanx在定义域上是增函数在定义域上是增函数.( ).( )④y=sin|x④y=sin|x| |是偶函数是偶函数.( ).( )⑤y=sin2x⑤y=sin2x的周期为的周期为2π.( )2π.( )⑥y=cos2x⑥y=cos2x的对称中心为的对称中心为(kπ(kπ+ ,0)+ ,0)，，k∈Zk∈Z.( ).( ) (2)(2)若直线若直线y=ay=a与函数与函数y=sinx,xy=sinx,x∈∈［［-2π,2π)-2π,2π)的图象有的图象有4 4个交点个交点, ,则则a a的取值范围是的取值范围是__________.__________.(3)(3)函数函数y=tan( -x)y=tan( -x)的定义域是的定义域是________.________. 【解析【解析】】(1)(1)由由y=sinxy=sinx的递增区间是的递增区间是 (k∈Z(k∈Z））可知可知①①不正确不正确,②,②正确；由正确；由y=tanxy=tanx在在 (k∈Z(k∈Z）上是）上是增函数可知增函数可知③③不正确；由不正确；由sin|-x|=sin|xsin|-x|=sin|x| |可知可知④④正确；由正确；由y=y=sin2xsin2x的周期为的周期为 知知⑤⑤不正确；由余弦函数不正确；由余弦函数y=cosxy=cosx的对称的对称中心为中心为 (k∈Z(k∈Z）可得）可得x= x= 所以所以 (k∈Z(k∈Z））为为y=cos2xy=cos2x的对称中心，故的对称中心，故⑥⑥不正确不正确. . (2)(2)如图所示如图所示: :y=sinx,xy=sinx,x∈∈［［-2π,2π-2π,2π）有两个周期）有两个周期, ,故若故若y=sinxy=sinx与与y=ay=a有有4 4个交点个交点, ,则则-1-1＜＜a a＜＜1.1. (3)(3)由由 k∈Zk∈Z得得 k∈Zk∈Z, ,所以所以 的定义域为的定义域为答案：答案：(1)①(1)①×× ②√ ③ ②√ ③×× ④√ ⑤ ④√ ⑤×× ⑥ ⑥××(2)-1(2)-1＜＜a a＜＜1 (3)1 (3) 三角函数的定义域和值域三角函数的定义域和值域 【方法点睛【方法点睛】】1.1.三角函数的定义域的求法三角函数的定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式( (组）组）, ,常借常借助三角函数线或三角函数图象来求解助三角函数线或三角函数图象来求解. . 2.2.三角函数值域的不同求法三角函数值域的不同求法(1)(1)利用利用sinxsinx和和cosxcosx的值域直接求的值域直接求. .(2)(2)把所给的三角函数式变换成把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+y=Asin(ωx+φφ）的形式求值域）的形式求值域. .(3)(3)把把sinxsinx或或cosxcosx看作一个整体，转换成二次函数求值域看作一个整体，转换成二次函数求值域. .(4)(4)利用利用sinxsinx±±cosxcosx和和sinxcosxsinxcosx的关系转换成二次函数求值域的关系转换成二次函数求值域. . 【例【例1 1】】(1)(1)函数函数y= y= 的定义域为的定义域为_______._______.(2)(2)已知已知f(xf(x）的定义域为［）的定义域为［0 0，，1 1］，则］，则f(cosxf(cosx）的定义域）的定义域为为______.______.(3)(3)当当x∈ x∈ 时，函数时，函数y=3-sinx-2cosy=3-sinx-2cos2 2x x的最小值是的最小值是________，最，最大值是大值是_______._______.【解题指南【解题指南】】(1)(1)由由tanx-1≠0,tanx-1≠0,且且x≠kπ+ k∈Zx≠kπ+ k∈Z求解求解;(2);(2)利用利用cosxcosx∈∈［［0,10,1］求得］求得x;(3)x;(3)利用同角三角函数关系式转化成利用同角三角函数关系式转化成sinxsinx的的二次函数求解二次函数求解. . 【规范解答【规范解答】】(1)(1)由由tanx-1≠0,tanx-1≠0,且且 得得且且 所以函数的定义域为：所以函数的定义域为：答案：答案： (2)0≤cosx≤1(2)0≤cosx≤1⇒⇒∴∴所求函数的定义域为所求函数的定义域为答案：答案： (3)(3)因为因为x∈ x∈ 所以所以y=3-sinx-2cosy=3-sinx-2cos2 2x=2sinx=2sin2 2x-sinx+1x-sinx+1所以当所以当sinxsinx= = 时，时，当当sinxsinx=1=1或或 时，时，y ymaxmax=2.=2.答案：答案： 【反思【反思··感悟感悟】】1.1.求三角函数的定义域主要是解三角不等式求三角函数的定义域主要是解三角不等式. .2.2.在求三角函数的值域时，很多时候要进行三角变换或三角转在求三角函数的值域时，很多时候要进行三角变换或三角转化，这时候一定要注意所给的角的范围和有关三角函数式的范化，这时候一定要注意所给的角的范围和有关三角函数式的范围围. . 三角函数的单调性三角函数的单调性 【方法点睛【方法点睛】】三角函数的单调区间的求法三角函数的单调区间的求法(1)(1)代换法代换法 所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角ｕ个角ｕ( (或或t)t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间数的单调区间. . (2)(2)图象法图象法函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，如间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，如果能画出三角函数的图象，那它的单调区间就直观明了了果能画出三角函数的图象，那它的单调区间就直观明了了. . 【例【例2 2】求下列函数的单调区间：】求下列函数的单调区间：【解题指南【解题指南】】(1)(1)要将原函数化为要将原函数化为 再求之再求之. .(2)(2)可画出可画出y=y=－－|sin(x|sin(x+ )|+ )|的图象，利用图象求解的图象，利用图象求解. . 【规范解答【规范解答】】(1)y=(1)y=故由故由⇒⇒ 为单调递减区间；为单调递减区间；由由⇒⇒ 为单调递增区间为单调递增区间. .∴∴单调递减区间为单调递减区间为单调递增区间为单调递增区间为 (2) (2) 的图象如图，单调递增区间为的图象如图，单调递增区间为 单调递减区间为单调递减区间为 【反思【反思··感悟感悟】】1.1.熟记正弦、余弦、正切函数的单调区间是求熟记正弦、余弦、正切函数的单调区间是求较复杂的三角函数单调区间的基础较复杂的三角函数单调区间的基础. .2.2.求形如求形如y=Asin(ωx+y=Asin(ωx+φφ)+k)+k 的单调区间时的单调区间时, ,只需把只需把ωx+ωx+φφ看作看作一个整体代入一个整体代入y=sinxy=sinx 的相应单调区间内求得的相应单调区间内求得x x的区间即可的区间即可, ,求求y=Acos(ωx+y=Acos(ωx+φφ)+k)+k和和y=Atan(ωx+y=Atan(ωx+φφ)+k)+k 的单调区间类似的单调区间类似. . 三角函数的奇偶性、周期性及对称性三角函数的奇偶性、周期性及对称性 【方法点睛【方法点睛】】1.1.三角函数的奇偶性的判断技巧三角函数的奇偶性的判断技巧首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断. . 2.2.求三角函数周期的方法求三角函数周期的方法(1)(1)利用周期函数的定义利用周期函数的定义. .(2)(2)利用公式利用公式:y=Asin(ωx+:y=Asin(ωx+φφ) )和和y=Acos(ωx+y=Acos(ωx+φφ) )的最小正周期的最小正周期为为 y=tan(ωx+y=tan(ωx+φφ) )的最小正周期为的最小正周期为(3)(3)利用图象利用图象. . 3.3.三角函数的对称性三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形正、余弦函数的图象既是中心对称图形, ,又是轴对称图形又是轴对称图形. .正切正切函数的图象只是中心对称图形函数的图象只是中心对称图形, ,应熟记它们的对称轴和对称中应熟记它们的对称轴和对称中心心, ,并注意数形结合思想的应用并注意数形结合思想的应用. .【提醒【提醒】】判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否是判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否是关于原点对称的区间关于原点对称的区间. . 【例【例3 3】】(1)(2011(1)(2011··广州模拟广州模拟) )已知函数已知函数y=2cos(ωx+y=2cos(ωx+φφ)(ω>0))(ω>0)的最小正周期为的最小正周期为π,π,那么那么ω=( )ω=( ) (2)(2)设函数设函数f(x)=sin(ωx+f(x)=sin(ωx+φφ)(ω)(ω＞＞0,|0,|φφ| |＜＜ ) )，给出以下四个，给出以下四个论断：论断：①①它的最小正周期为它的最小正周期为ππ；；②②它的图象关于直线它的图象关于直线 成轴对称图形；成轴对称图形；③③它的图象关于点它的图象关于点 成中心对称图形；成中心对称图形；④④在区间在区间 上是增函数上是增函数. .以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题正确的一个命题_______(_______(用序号表示即可用序号表示即可).). 【解题指南【解题指南】】(1)(1)根据最小正周期根据最小正周期T= T= 求解求解. .(2)(2)本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断期性以及对称性逐一判断. . 【规范解答【规范解答】】(1)(1)选选D.∵T=D.∵T=∴|ω|=2,∴|ω|=2,又又ω>0,∴ω=2.ω>0,∴ω=2. (2)(2)若若①①、、②②成立，则成立，则 令令 k∈Zk∈Z，且，且| |φφ| |＜＜ 故故k=0k=0，，∴∴φφ= = 此时此时f(xf(x)= )= 当当x= x= 时，时，∴∴f(xf(x) )的图象关于的图象关于 成中心对称；又成中心对称；又f(xf(x) )在在 上是增上是增函数，函数，∴∴在在 上也是增函数，因此上也是增函数，因此①②①②⇒⇒③④③④，用类似的，用类似的分析可得分析可得①③①③⇒⇒②④.②④.因此填因此填①②①②⇒⇒③④③④或或①③①③⇒⇒②④②④. .答案：答案：①②①②⇒⇒③④(③④(也可填也可填①③①③⇒⇒②④②④) ) 【反思【反思··感悟感悟】】三角函数的周期性、对称性是三角函数的特有性三角函数的周期性、对称性是三角函数的特有性质，要切实掌握，而且经常考查质，要切实掌握，而且经常考查. .解决时要注意结合三角函数的解决时要注意结合三角函数的图象，其中对称性包含轴对称和中心对称图象，其中对称性包含轴对称和中心对称. . 【易错误区【易错误区】】有关三角函数图象与性质的易错点有关三角函数图象与性质的易错点 【典例【典例】】(2011(2011··安徽高考安徽高考) )设设f(xf(x)=asin2x+bcos2x)=asin2x+bcos2x，其中，其中a,b∈R,ab≠0a,b∈R,ab≠0，若，若f(x)≤|ff(x)≤|f( )|( )|对一切对一切x∈Rx∈R恒成立，则恒成立，则①①②②③③f(xf(x) )既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数 ④④f(xf(x) )的单调递增区间是的单调递增区间是⑤⑤存在经过点存在经过点(a,b(a,b) )的直线与函数的直线与函数f(xf(x) )的图象不相交的图象不相交. .以上结论正确的是以上结论正确的是_______(_______(写出正确结论的编号写出正确结论的编号).).【解题指南【解题指南】】先将先将f(xf(x)=asin2x+bcos2x,a,b∈R,ab≠0)=asin2x+bcos2x,a,b∈R,ab≠0，变形为，变形为f(xf(x)= )= 然后根据性质顺次判断命题的正误然后根据性质顺次判断命题的正误. . 【规范解答【规范解答】】由由f(xf(x)≤ )≤ 对一切对一切x∈Rx∈R恒成立知，恒成立知，直线直线 是是f(xf(x) )的对称轴，的对称轴，又又f(xf(x)= ()= (其中其中tantanφφ= )= )的周期为的周期为ππ，，∴ ∴ 可看作可看作x= x= 的值加了的值加了 个周期，个周期，∴ ∴ 故故①①正确正确. .∴ ∴ 和和 与对称轴的距离相等与对称轴的距离相等. .∴ ∴ 故故②②不正确不正确. . ∵ ∵ 是对称轴，是对称轴，∴∴∴ ∴ 或或∴∴f(xf(x)=2|b|sin(2x+ ))=2|b|sin(2x+ )或或f(xf(x)=2|b|sin(2x- ))=2|b|sin(2x- )，，∴∴f(xf(x) )既不是奇函数也不是偶函数，故既不是奇函数也不是偶函数，故③③正确正确. . 由以上知，由以上知，f(xf(x)=2|b|sin(2x+ ))=2|b|sin(2x+ )的单调递增区间为的单调递增区间为f(xf(x)=2|b|sin(2x- ))=2|b|sin(2x- )的单调递增区间为的单调递增区间为由于由于f(xf(x) )的解析式不确定的解析式不确定. .∴∴单调递增区间也不确定，故单调递增区间也不确定，故④④不正确不正确. . ∵∵f(xf(x)=asin2x+bcos2x= )=asin2x+bcos2x= ( (其中其中tantanφφ= )= )，，∴∴又又∵ab≠0∵ab≠0，，∴a≠0,b≠0∴a≠0,b≠0，，∴∴∴∴过点过点(a(a，，b)b)的直线必与函数的直线必与函数f(xf(x) )图象相交，故图象相交，故⑤⑤不正确不正确. .答案：答案：①③①③ 【阅卷人点拨【阅卷人点拨】】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议：误误区区警示警示 在解答本题时易犯以下两点错误：在解答本题时易犯以下两点错误：(1)(1)在求在求④④中中f(xf(x) )的单调递增区间时的单调递增区间时, ,运算化简不准确，而使判断运算化简不准确，而使判断错误；错误；(2)(2)对于对于⑤⑤的判断不是根据推导，而是凭借印象想当然做出判断，的判断不是根据推导，而是凭借印象想当然做出判断，而使解答错误而使解答错误. . 备备考考建建议议解决三角函数性质的问题时，还有以下几点在备考时要高度关注：解决三角函数性质的问题时，还有以下几点在备考时要高度关注：(1)(1)化简时公式应用要准确；化简时公式应用要准确；(2)(2)有的题目涉及到角的范围时要考虑全面；有的题目涉及到角的范围时要考虑全面；(3)(3)和其他内容结合时要注意三角函数的值域和其他内容结合时要注意三角函数的值域. . 1.(20111.(2011··陕西高考陕西高考) )设函数设函数f(x)(x∈Rf(x)(x∈R) )满足满足f(-x)=f(xf(-x)=f(x),),f(x+2)=f(xf(x+2)=f(x),),则则y=f(xy=f(x) )的图象可能是的图象可能是( )( ) 【解析【解析】】选选B.B.由由f(-x)=f(xf(-x)=f(x) )得得y=f(xy=f(x) )是偶函数，所以函数是偶函数，所以函数y=f(xy=f(x) )的图象关于的图象关于y y轴对称，可知轴对称，可知B B、、D D符合；由符合；由f(x+2)=f(xf(x+2)=f(x) )得得y=f(xy=f(x) )是周期为是周期为2 2的周期函数，选项的周期函数，选项D D的图象的最小正周期是的图象的最小正周期是4 4，，不符合，选项不符合，选项B B的图象的最小正周期是的图象的最小正周期是2 2，符合，故选，符合，故选B. B. 2.(20112.(2011··新课标全国卷新课标全国卷) )设函数设函数则则( )( )(A)y=f(x(A)y=f(x) )在在 内单调递增，其图象关于直线内单调递增，其图象关于直线 对称对称(B)y=f(x(B)y=f(x) )在在 内单调递增，其图象关于直线内单调递增，其图象关于直线 对称对称(C)y=f(x(C)y=f(x) )在在 内单调递减，其图象关于直线内单调递减，其图象关于直线 对称对称(D)y=f(x(D)y=f(x) )在在 内单调递减，其图象关于直线内单调递减，其图象关于直线 对称对称 【解析【解析】】选选D.D.∴f(x∴f(x) )在在 内单调递减，且图象关于直线内单调递减，且图象关于直线 对称对称. . 3.(20123.(2012··佛山模拟佛山模拟) )函数函数y= y= 是是( )( )(A)(A)周期为周期为ππ的奇函数的奇函数(B)(B)周期为周期为ππ的偶函数的偶函数(C)(C)周期为周期为2π2π的奇函数的奇函数(D)(D)周期为周期为2π2π的偶函数的偶函数【解析【解析】】选选A.yA.y= =T= =π,T= =π,且为奇函数且为奇函数, ,故选故选A.A. 。