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1、第六单元圆 第第21课时课时 圆的基本性质圆的基本性质中考考点清单考点考点1：圆及其相关概念及其相关概念考点考点2：弦、弧与弦、弧与圆心角关系心角关系考点考点3：圆周角定理及其推周角定理及其推论(高频高频)考点考点4：圆内接四内接四边形形考点考点5：垂径定理及其推：垂径定理及其推论圆圆的的基基本本性性质质1. 圆的基本概念圆的基本概念(参考图参考图(1)(1)定义定义：平面内到定点距离等于定长的所有：平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，这个定点叫做点组成的图形叫做圆，这个定点叫做_，定长叫做半径，定长叫做半径，OA为半径为半径(2)弦及直径弦及直径连接圆上任意两点的线段叫做弦，连
2、接圆上任意两点的线段叫做弦，AE为弦；经过为弦；经过_的弦叫做直径，的弦叫做直径，EF为直径为直径(3)弧、劣弧、优弧弧、劣弧、优弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧其中，小于圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧其中，小于圆心圆心圆心圆心圆及其相关概念圆及其相关概念考点考点考点考点 1 1 1 1 半圆的部分叫做劣弧半圆的部分叫做劣弧， 为劣弧；为劣弧；_半圆的部分半圆的部分叫做优弧叫做优弧， 为优弧为优弧(4)圆心角：圆心角：顶点在圆心，角的两边都与圆相交的角叫做顶点在圆心，角的两边都与圆相交的角叫做圆心角，圆心角，AOF叫做叫做 所对的圆心角所对的圆心角.(5)圆周角：圆周角：顶点在圆上
3、，角的两边都顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角叫做圆周角，与圆相交的角叫做圆周角，AEF为为 所对的圆心角所对的圆心角.大于大于2. 圆的对称性圆的对称性(1)圆是中心对称图形，圆是中心对称图形，_是它的对称中心是它的对称中心(2)圆是轴对称图形，任意一条圆是轴对称图形，任意一条_所在的直线都是所在的直线都是它的对称轴它的对称轴圆心圆心直径直径1. 定理：定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧所对的弧_，所对的弦相等，所对的弦相等2. 推论：推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一
4、组量相等，那么它们所对应的其余各组量都两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别分别_【温馨提示】温馨提示】理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，应注意应注意“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”这个条件，同时注意一条弦对着这个条件，同时注意一条弦对着两条弧，一条弧对应无数个圆周角两条弧，一条弧对应无数个圆周角相等相等相等相等弦、弧与圆心角关系弦、弧与圆心角关系考点考点考点考点 2 2 2 2 1. 定理：定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的的_.2. 推论推论(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周
5、角在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_;相等的圆周角所对的弧也相等的圆周角所对的弧也_；(2)直径所对的圆周角是直角，直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是_3. 圆周角定理的几个基本图形圆周角定理的几个基本图形：一半一半相等相等相等相等直径直径圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论( (高频高频) )考点考点考点考点 3 3 3 3 1. 圆内接四边形的对角圆内接四边形的对角_，如图，如图(2)，A+BCD=_，B+D=_2. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的圆内接四边形的任意一个外角等于它的_(和和它相邻的内角的对角它相邻的内角的对角)，如图，如图(2)，DC
6、E=_互补互补180180内对角内对角A圆内接四边形圆内接四边形考点考点考点考点 4 4 4 4 1. 定理：定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径_弦，并且平分弦所对的弦，并且平分弦所对的_.即：如图即：如图(3)，2. 推论推论(1)平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径的直径_于弦，并且于弦，并且_弦弦所对的两条弧所对的两条弧即：如图即：如图(3)，CDABCD是直径是直径AM=BM平分平分两条弧两条弧垂直垂直平分平分AM=BMCD是直径是直径CDAB垂径定理及其推论垂径定理及其推论考点考点考点考点 5 5 5 5 CDABAM=BM(2)弦的垂直平分线经过弦的垂直平分线经过_，并且平分弦所
7、对的，并且平分弦所对的_.即：如图即：如图(3)，(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧对的另一条弧即：如图即：如图(3)，2122圆心圆心两条弧两条弧CDABAM=BMCD是直径是直径CD是直径是直径 常考类型剖析例例1(2016重庆重庆B卷卷)如图，如图，CD是是O的直的直径，径，若若ABCD，垂足为，垂足为B，OAB=40，则则C等于等于_度度25圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论类型类型类型类型 一一一一 【思维教练】【思维教练】要求要求C，观察图形可知，观察图形可知C与与AOD是弧是弧AD所对的圆周角和圆心
8、角，根据所对的圆周角和圆心角，根据“同弧所对圆周角等于圆同弧所对圆周角等于圆心角一半心角一半”可知只需求得可知只需求得AOD即可即可【解析解析】ABCD，ABC=90，OAB=40，AOB=50，C= AOB=25. 拓展拓展1(2013郴州郴州)如图，如图，AB是是O的直径，点的直径，点C是圆是圆上一点，上一点，BAC=70，则，则OCB=_.20【解析解析】AB是直径是直径，ACB=90，BAC=70，OBC=90- -BAC =20， OB=OC，OCB=OBC =20.拓展拓展2(2016长春长春)如图，在如图，在O中，中，AB是弦，是弦，C是是 上一点，若上一点，若OAB=25，OC
9、A=40，则，则BOC的大小的大小为为_度度30【解析解析】OA=OC，OCA=40，OAC=OCA=40，OAB=25，BAC=OACOAB=15，BOC=2BAC=30.导方 法 指 1.圆中通常把圆周角和圆心角以及它们所对的弧的度圆中通常把圆周角和圆心角以及它们所对的弧的度数进行转换数进行转换,常用公式为：同弧常用公式为：同弧(或等弧或等弧)所对的圆周角等所对的圆周角等于圆心角的一半；于圆心角的一半； 2. 根据半径相等构造等腰三角形，利用等边对等角以根据半径相等构造等腰三角形，利用等边对等角以及三线合一来进行证明和计算；及三线合一来进行证明和计算； 3. 当出现直径时，常构造直径所对的
10、圆周角是直角来当出现直径时，常构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算进行证明或计算.例例2(2016陕西陕西)如图如图，O的半径为的半径为4，ABC是是O的的内接三角形内接三角形，连接连接OB、OC，若若BAC 与与BOC 互补互补，则弦则弦 BC 的长为的长为 ( )A. B. C. D. B垂径定理及其推论垂径定理及其推论类型类型类型类型 二二二二 【思维教练】【思维教练】观察观察BOC与与A的位置关的位置关系可知系可知BOC=2A，结合，结合BOC与与A互补可求得互补可求得BOC的度数，作的度数，作ODBC利利用解直角三角形即可求得用解直角三角形即可求得BC的长的长【解析解析】设设B
11、AC=，则，则BOC=2BAC =2，BAC +BOC=180，+2=180，=60，BOC=120，如解图，过点，如解图，过点O作作ODBC于点于点D，则，则BOD= BOC=60，BD=CD，在，在RtBOD中，中，sinBOD= ，即即sin60= ，BD= ，BC=2BD= .【解析解析】如解图，连接如解图，连接OC，AB是是O的直径的直径，CDAB，AB=8，CD=6,CE=DE=3,OC=OB=4. 在在RtOCE中，中，OE= ，BE=OB- -OE= .拓展拓展3(2016安顺安顺)如图，如图，AB是是O的直径，弦的直径，弦CDAB于于点点E，若，若AB=8，CD=6，则，则B
12、E=_导方 法 指 运用垂径定理解题时应注意：运用垂径定理解题时应注意： 1. 两条辅助线：两条辅助线：(1)过圆心作弦的垂线，过圆心作弦的垂线，(2)连接圆心连接圆心和弦的一端和弦的一端(即半径即半径)，这样把半径、弦心距、弦的一半，这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定理或锐角三角函构建在一个直角三角形中，运用勾股定理或锐角三角函数求解；数求解； 2. 方程思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时，方程思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时，常将未知的一条线段设为常将未知的一条线段设为x，利用勾股定理构造关于，利用勾股定理构造关于x的的方程解决问题，这是一种用代数方法解决几何问题的解方程解决问题，这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路题思路.另外，在圆中求线段长，三角形相似也是常用的另外，在圆中求线段长，三角形相似也是常用的方法方法.
