§4 高阶导数高阶导数教学内容：教学内容：1、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数y=xn、、三角函数三角函数 y=sinx、、y=cosx、、指数函数指数函数y=ex的的n阶导数公式阶导数公式2、给出了求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式给出了求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式3、给出了求由参量方程所确定的函数的二阶导数的计算公式给出了求由参量方程所确定的函数的二阶导数的计算公式教学重点：教学重点： 各类函数高阶导数的计算各类函数高阶导数的计算要求：要求： 熟练掌握各类函数高阶导数的计算及莱布尼茨公式的应用熟练掌握各类函数高阶导数的计算及莱布尼茨公式的应用问题的提出：问题的提出： 速度是位移的导数，而加速度又是速度的导数，那么加速速度是位移的导数，而加速度又是速度的导数，那么加速度与位移是什么关系呢？度与位移是什么关系呢？ 一一 高阶导数的概念高阶导数的概念1、、二阶导数的定义二阶导数的定义 定义定义1：若函数：若函数 的导函数的导函数 在点在点 可可导，则称导，则称 在点在点 的导数为的导数为 在点在点 的二的二阶导数，记作阶导数，记作 ，即，即 同时称同时称 在点在点 为为二阶可导。
二阶可导2、、n 阶导数：阶导数： 的的n-1阶导数的导数称为阶导数的导数称为 的的n 阶导数3、、高阶导数：高阶导数：二阶及二阶以上的导数统称为二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数 二二 高阶导数的计算高阶导数的计算1、、n 个初等函数的高阶导数个初等函数的高阶导数例例1 求幂函数求幂函数 （（n 为正整数）的各阶导数为正整数）的各阶导数解解 由幂函数的求导公式得由幂函数的求导公式得 由此可见，对于正整数幂函数由此可见，对于正整数幂函数xn，，每求导一次，其幂次降低每求导一次，其幂次降低1，第，第 n 阶导数为一常数，大于阶导数为一常数，大于 n 阶的导数都等于阶的导数都等于0 注：注：用类似的方法，可求得三角用类似的方法，可求得三角函数函数y=sin x ,y=cos x及指及指数函数的各阶导数数函数的各阶导数 2、利用莱布尼茨公式求两个函数乘积的高阶导数、利用莱布尼茨公式求两个函数乘积的高阶导数莱布尼茨公式：莱布尼茨公式：例例4：设：设 ，求，求解解 令令 由例由例2和例和例3有有应用莱布尼茨公式（应用莱布尼茨公式（n=5））得得 3、分段函数的高阶导数、分段函数的高阶导数例例5 研究函数研究函数 的高阶导数。
的高阶导数解解 当当 时，时， 当当 时，时， 当当 时，由左右导数定义不难求得时，由左右导数定义不难求得 而当而当 时，时， 不存在，整理后得不存在，整理后得 当当 时时 4、由参量方程所确定的函数的高阶导数、由参量方程所确定的函数的高阶导数例例6 试求由摆线参量方程试求由摆线参量方程 所确定的函数所确定的函数 的二阶导数的二阶导数解解 由公式（由公式（1）得）得 再由公式（再由公式（2）得）得 。