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1、水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空曲面在空间解析几何中被看成是点的几何解析几何中被看成是点的几何轨迹迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的曲面的实例：例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念第五第五节 曲面及其方程曲面及其方程以下以下给出几例常出几例常见的曲面的曲面.解解根据根据题意有意有所求方程所求方程为特殊地：球心在原点特殊地：球心在原点时方程方程为解解根据根据题意有意有所求方程所求方程为根据根据题意有意有化化简得所求方程得所求方程解解 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法向量法向量法向量的法向量的特
2、征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知设平面上的任一点平面上的任一点为必有必有一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程平面及其方程平面及其方程平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上述方程，不在平面上平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，故上述方程称为平面的点都不满足上述方程，故上述方程称为平面的方程的方程其中法向量其中法向量已知点已知点解解取取所求平面方程所求平面方程为化化简得得取法向量取法向量化化简得得所求平面方程所求平面方程为解解由平面的点法式方程由平面的点法式方程：平面的一般方程：平面的一般方程法向量法向量二、平面的一般方程二、平面
3、的一般方程另外，任何三元一次方程都是一个平面。另外，任何三元一次方程都是一个平面。平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通平面通过坐坐标原点；原点；平面通平面通过 轴；平面平行于平面平行于 轴；平面平行于平面平行于 坐坐标面；面；类似地可似地可讨论 情形情形.类似地可似地可讨论 情形情形.特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D =
4、0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.设平面平面为由平面由平面过原点知原点知所求平面方程所求平面方程为解解设平面平面为将三点坐将三点坐标代入得代入得解解将将代入所代入所设方程得方程得平面的截距式方程平面的截距式方程设平面平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解化化简得得令令代入体代入体积式式所求平面方程所求平面方程为（通常取（通常取锐角）角）两平面法向量之间的夹角即为两平面的两
5、平面法向量之间的夹角即为两平面的夹角夹角. .三、两平面的三、两平面的夹角角按照两向量按照两向量夹角余弦公式有角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/例例6 6 研究以下各研究以下各组里两平面的位置关系：里两平面的位置关系：解解两平面相交，两平面相交，夹角角两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.例例7：解：解：因此有例例4. 一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为即的法向量约去C , 得即和则所求平面故方程为 且解解内容小结内容小结1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式三点式
