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1、第十章 模拟与数字滤波器一、滤波器的功能一、滤波器的功能 滤波器的功能是对输入信号进行滤波以增滤波器的功能是对输入信号进行滤波以增强所需信号部分，抑制不要的部分。强所需信号部分，抑制不要的部分。二、模拟滤波器（二、模拟滤波器（AF）是指输入输出均为模拟信号，通过一定运是指输入输出均为模拟信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件者滤除某些频率成分的器件。10.1 引言引言三、数字滤波器（三、数字滤波器（DF）是指输入输出均为数字信号，通过一定运算是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的
2、相对比例或者滤关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。除某些频率成分的器件。( )x t( )y tn四、滤波器分类四、滤波器分类 四种基本滤波器为低通（四种基本滤波器为低通（LP）、高通）、高通（HP）、带通（）、带通（BP）和带阻滤波器（）和带阻滤波器（BRF）：）：数字滤波器分类数字滤波器分类低通高通带通带阻n五、用数字滤波方法处理模拟信号五、用数字滤波方法处理模拟信号n六、主要内容六、主要内容nAF的设计nDF的设计限带限带滤波滤波A/D数字滤波数字滤波D/A平滑平滑滤波滤波Xa(t)PrFADCDSPDACPoFYa(t)10.4 模拟滤波器的设计模拟滤波器
3、的设计n模拟滤波器模拟滤波器n巴特沃斯巴特沃斯 Butterworth 滤波器滤波器n切比雪夫切比雪夫 Chebyshev 滤波器滤波器n频率响应特性频率响应特性n及性能指标及性能指标n系统函数系统函数一、实际模拟低通滤波器的特性一、实际模拟低通滤波器的特性：通带内允许误差：通带内允许误差：阻带衰减：阻带衰减：通带截止频率：通带截止频率：阻带截止频率：阻带截止频率二、二、Ha(s) Ha(-s)的零极点分布的零极点分布 （1） 的极点在的极点在s平面的左半平面；平面的左半平面；确定（2） 的零点在的零点在s平面的左半平面；平面的左半平面；（3）虚轴上的零点取一半；）虚轴上的零点取一半；（4）系
4、数为原系数开平方根。）系数为原系数开平方根。例：例：解：解：极点：极点：零点：零点： （二阶）（二阶）零点：零点：的极点：的极点：三、三、Butterworth滤波器滤波器1、逼近函数：、逼近函数：称称W Wc c为为ButterworthButterworth低通滤波器的低通滤波器的3 3分贝带宽分贝带宽N N为滤波器的阶数为滤波器的阶数W Wc c为通带截止频率为通带截止频率2.幅频特性幅频特性n 通带内幅度特性平坦，单调减小；通带内幅度特性平坦，单调减小； 过渡带及阻带内快速单调减小；过渡带及阻带内快速单调减小； 当当W WW Ws（阻带截止频率）时，衰减的（阻带截止频率）时，衰减的d
5、d2为阻带最小衰减为阻带最小衰减N越大，越接近理想特性ButterworthButterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：滤波器是一个全极点滤波器，其极点： 3. 3.幅度平方函数的极点分布：幅度平方函数的极点分布： 极点在极点在s平面呈象限对称，分布在平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，圆上， 共共2N点点;极点间的角度间隔为极点间的角度间隔为 极点不落在虚轴上，前极点不落在虚轴上，前N N个极点落在个极点落在s s平面的平面的半平面半平面 N N为奇数，实轴上有极点，为奇数，实轴上有极点，N N为偶数，实轴上无极点为偶数，实轴上无极点Ha(s) Ha(-s)的零极
6、点分布的零极点分布(a) N=3 (三阶）三阶） (b)N=4 （四阶）（四阶）4 4、滤波器系统函数、滤波器系统函数Ha(s) 的确定：Ha(s) 的确定的方法：方法一：直接求取方法二：根据N查P186表101，得 ，5 5、ButterworthButterworth滤波器设计步骤：滤波器设计步骤：n(2)(2)根据根据 求出滤波器阶数求出滤波器阶数N：n(1)(1)确定技术指标：确定技术指标：n(3)(3)根据阻带衰减根据阻带衰减 确定确定 ：(4)根据根据N查查P186表表101，得，得 ，N：滤波器的阶数：滤波器的阶数W Wc ：截止频率，不一定为：截止频率，不一定为3dB带宽带宽0
7、e e1，表示通带波纹大小，表示通带波纹大小，e e越大，波纹越大越大，波纹越大TN(x) ：N阶阶Chebyshev多项式多项式Type I Chebyshev四、四、Chebyshev滤波器滤波器1、逼近函数：、逼近函数：切比雪夫多项式特点： (1)当|x|1时，|TN(x)|1,在|x|1时，TN(x) 随x单调上升; (3) (4)2、幅频特性：、幅频特性：，N为偶数为偶数，N为奇数为奇数n n 通带内：在通带内：在1和和 间等波纹起伏间等波纹起伏n 通带外：迅速单调下降趋向通带外：迅速单调下降趋向0（1）（2）（3）（4） 3. 3.幅度平方函数的极点分布：幅度平方函数的极点分布：令
8、：令：记：记：则：则： 极点不落在虚轴上，前极点不落在虚轴上，前N N个极点落在个极点落在s s平面的左半平面平面的左半平面 极点在极点在s平面呈象限对称，分布在椭圆上，共平面呈象限对称，分布在椭圆上，共2N点点其中：其中：所以：所以：4 4、滤波器系统函数、滤波器系统函数Ha(s) 的确定：Ha(s) 的确定的方法：方法一：直接求取方法二：根据N、 查P196表104，得 ，5 5、ChebyshevChebyshev滤波器设计步骤：滤波器设计步骤：n(3)(3)根据根据 求出滤波器阶数求出滤波器阶数N：n(1)(1)确定技术指标：确定技术指标：n(2) (2) 根据根据 确定确定 ：(4)
9、根据根据N、 查查P196表表104，得，得 ，n设计思想：设计思想： s 平面平面 z 平面平面模拟系统模拟系统 数字系统数字系统n设计步骤：设计步骤：n1、数字滤波器的性能指标、数字滤波器的性能指标 模拟滤波器的模拟滤波器的性能指标性能指标n2、设计模拟原型滤波器、设计模拟原型滤波器n3、n4、通过算法实现、通过算法实现H(z)10.6 无限冲激响应（无限冲激响应（IIR）数字滤波器）数字滤波器两种设计方法：两种设计方法：- - 冲激响应不变法冲激响应不变法- - 双线性变换法双线性变换法1、原理数字滤波器的单位冲激响应数字滤波器的单位冲激响应h(n) 模仿模仿模拟滤波器的单位冲激响应模拟
10、滤波器的单位冲激响应ha(t)T抽抽样周期样周期一、冲激响应不变法一、冲激响应不变法n系数相同系数相同：n极点极点：s 平面平面 z 平面平面k2、稳定性与逼近程度、稳定性与逼近程度1）、稳定性不变）、稳定性不变AF稳定稳定:DF稳定：稳定：2）、逼近程度）、逼近程度当当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正3、修正、修正4、设计步骤、设计步骤DF性能指标性能指标AF性能指标性能指标（1）指标转换）指标转换（3）（2）设计）设计AF试用冲激响应不变法，设计试用冲激响应不变法，设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为例：设
11、模拟滤波器的系统函数为解：解：设设T = 1sT = 1s，则，则n优点：优点：n缺点：缺点：n保持线性关系：保持线性关系：w w=W WT线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器n频率响应混迭频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器只适用于限带的低通、带通滤波器nh(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t) 时域逼近良好时域逼近良好5、优缺点、优缺点二、二、 双线性变换法双线性变换法q冲激响应不变法：时域模仿逼近缺点冲激响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真是产生频率响应的混叠失真q为了克服这一
12、缺点，采用为了克服这一缺点，采用双线性变换双线性变换法法。q使数字滤波器的频率响应与模拟滤波使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似器的频率响应相似n设计思想设计思想1、脉冲响应不变法的主要缺点：、脉冲响应不变法的主要缺点：对时域的采样会对时域的采样会造成频域的造成频域的“混叠效应混叠效应”，故有可能使所设计数字滤波故有可能使所设计数字滤波器的频率响应与原来模拟滤波器的频率响应相差很大，器的频率响应与原来模拟滤波器的频率响应相差很大，而且不能用来设计高通和带阻滤波器。而且不能用来设计高通和带阻滤波器。原因原因：从：从S平面到平面到Z平面的映射是多值映射关系平面的映射是多值映射关系脉冲响
13、应不变法映射过程图示脉冲响应不变法映射过程图示 2、双线性变换法的改进：、双线性变换法的改进：为避免频率的为避免频率的“混叠效应混叠效应” ，分两步完成，分两步完成S平面到平面到Z平面平面的映射。的映射。 将将S S平面压缩到某一中介的平面压缩到某一中介的S S1 1平面的一条横带域平面的一条横带域 通过标准的变换将此横带域映射到整个通过标准的变换将此横带域映射到整个Z Z平面上去。平面上去。双线性变换的映射过程图示双线性变换的映射过程图示 3、双线性变换法的基本思路：、双线性变换法的基本思路：从频率响应出发，直接使数字滤波器的频率响应从频率响应出发，直接使数字滤波器的频率响应 ，逼近模拟滤波
14、器的频率响应逼近模拟滤波器的频率响应 , ,进而求得进而求得H(z)。n“双线性变换法双线性变换法”设计方法设计方法 通过通过Z Z变换：变换： 将将1 1映射到映射到Z Z平面的单位圆上。平面的单位圆上。 通过正切变换：通过正切变换：将将S平面的平面的j轴压缩到轴压缩到S1平面的平面的j1轴上的轴上的 内。内。 将正切变换延拓到整个将正切变换延拓到整个将正切变换延拓到整个将正切变换延拓到整个S S S S平面，得到平面，得到平面，得到平面，得到S S S S平面到平面到平面到平面到S S S S1 1 1 1平面的平面的平面的平面的映射关系映射关系映射关系映射关系： 将将S1平面按平面按 映
15、射到映射到Z平面得到：平面得到： 令令 或或以保低频处有较确切的对应关系：以保低频处有较确切的对应关系：4、稳定与逼近情况、稳定与逼近情况（1）逼逼近近情情况况s平面虚轴平面虚轴z平面单位圆平面单位圆（2）稳稳定定情情况况左半平面左半平面单位圆内单位圆内s平面平面z平面平面右半平面右半平面单位圆外单位圆外虚轴虚轴单位圆上单位圆上代入代入5、优缺点、优缺点n优点优点：避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象2 2）双线性变换后，频率响应产生了畸变，但通带阻）双线性变换后，频率响应产生了畸变，但通带阻带仍为常数特性，不受影响，只是带仍为常数特性，不受影响，只是临界频率点产生临界频率点产生畸
16、变。畸变。1 1）线性相位模拟滤波器）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器非线性相位数字滤波器q 缺点缺点：除了零频率附近，：除了零频率附近，W W与与w w之间严重非线性之间严重非线性预畸变预畸变给定数字滤波器的截止频率给定数字滤波器的截止频率 w wc，则，则按按W Wc设计模拟滤波器，正好映射到设计模拟滤波器，正好映射到w wc为截止频率的为截止频率的数字滤波器数字滤波器6、设计步骤、设计步骤DF性能指标性能指标AF性能指标性能指标（1）指标转换）指标转换（3）（2）设计）设计AFPn16110.7 有限冲激响应（有限冲激响应（FIR）数字滤波器）数字滤波器n线性相位线性相位FIR滤
17、波器的特点滤波器的特点n窗函数设计法窗函数设计法IIR数字滤波器：数字滤波器：可以利用模拟滤波器设计可以利用模拟滤波器设计但相位非线性但相位非线性FIR数字滤波器：数字滤波器： 可以严格线性相位可以严格线性相位因果稳定系统因果稳定系统可用可用FFT计算计算但阶次比但阶次比IIR滤波器要高得多滤波器要高得多 FIR滤波器的单位冲激响应：滤波器的单位冲激响应：系统函数：系统函数：在在 z 平面有平面有N 1 个零点个零点在在 z = 0 处是处是N 1 阶极点阶极点 一线性相位特性一线性相位特性1.无失真传输条件无失真传输条件单位冲激响应单位冲激响应 为实数，且关于为实数，且关于奇对称或奇对称或偶
18、对称偶对称, ,即即2.获取线性相位的条件获取线性相位的条件（1）h(n)偶对称，偶对称，N为奇数为奇数其中其中: :g(2) h(n)偶对称，偶对称，N为偶数为偶数其中，其中， gg(3)h(n)奇对称，奇对称，N为奇数为奇数其中其中, ,gg其中：其中：(4) h(n)奇对称，奇对称，N为偶数为偶数gg一、设计思想一、设计思想 先给定理想先给定理想filter的频响的频响 ，所要求设计一个，所要求设计一个FIR的的filter的频响为的频响为 ，使，使 逼近逼近二、设计原理二、设计原理 设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想想filter的单位抽
19、样响应的单位抽样响应 ，然后加时间窗，然后加时间窗对对 截断，以求得截断，以求得FIR filter的单位冲激响应的单位冲激响应h(n)。7-3 窗函数设计法窗函数设计法或或三、窗函数三、窗函数 1、基本概念、基本概念（1）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。（2）对窗函数要求）对窗函数要求 a）希望窗谱）希望窗谱主瓣尽量窄主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，这，以获得较陡的过渡带，这 是因为过渡带等于主瓣宽度。是因为过渡带等于主瓣宽度。 b）尽量减少尽量减少窗谱最大窗谱最大旁瓣旁瓣的相对的相对幅度幅度，这样可使肩峰，这样可使肩峰 和波纹减少。和波纹减
20、少。 2、矩形窗、矩形窗 时域表达式：时域表达式： 频域表达式（频谱）：频域表达式（频谱）：幅度函数：幅度函数：主瓣宽度主瓣宽度3、三角形（、三角形（Bartlett）窗）窗时域表达式：时域表达式：10 1 2 3 4 频谱：频谱： 第一对零点为第一对零点为 ，即，即 ，所以主瓣宽度所以主瓣宽度 ，比矩形宽一倍。，比矩形宽一倍。4、汉宁窗（升余弦窗）、汉宁窗（升余弦窗）旁瓣较大程度地互相抵消，但旁瓣较大程度地互相抵消，但主瓣宽度为主瓣宽度为5、海明窗，（改进升余弦窗）、海明窗，（改进升余弦窗） 其窗函数为其窗函数为频率响应的幅度函数为频率响应的幅度函数为 其主瓣宽度仍为其主瓣宽度仍为 ，（旁瓣
21、峰值，（旁瓣峰值/主瓣峰值）主瓣峰值）1%有有99.963%的能量集中在主瓣内。的能量集中在主瓣内。四、设计步骤四、设计步骤（1）给定频响函数）给定频响函数（2）求出单位冲激响应）求出单位冲激响应（3）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，查）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，查P342表表7-3， 确定窗函数及确定窗函数及N的大小：的大小：由阻带衰减率由阻带衰减率 确定确定 窗函数，由过渡带宽确定窗函数，由过渡带宽确定N。 （4）求）求 （5）求）求 ，检验是否达到所要求指标检验是否达到所要求指标 例例1：设计具有线性相位的：设计具有线性相位的FIR 低通滤波器，具体要低通滤波器，具体要求：求：阻带衰减阻带衰减 -20dB,过渡带宽度为过渡带宽度为
