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1、 内容提要张量运算的基本法则张量运算的基本法则应力分析应力分析应变分析应变分析 向量的表示方法字母表示法字母表示法坐标表示法坐标表示法矩阵表示法矩阵表示法 向量的数乘向量的和与差 向量的点积向量的叉积向量的夹角 3个向量的混合积字母标记法 需要注意的是: 自由标号Kronneker Delta 相关运算置换符号相关运算空间坐标转换向量，一阶张量二阶张量张量相等张量加减与数乘张量的加减为各个分量逐个加减运算张量的加减为各个分量逐个加减运算张量的数乘为张量的各个分量分别乘以张量的数乘为张量的各个分量分别乘以张量的并乘与张量的外积张量的缩并与张量的点积一点应力的表示方法主应力123应力张量的不变量图
2、图3.1 应力张量的分解应力张量的分解应力偏张量应力球张量应力偏量不变量八面体正应力与剪应力J2的相关代表力应力不变量之间的关系应力状态和不变量的几何解释应力状态和不变量的几何解释应力不变量之间的关系混凝土双轴实验混凝土双轴实验混凝土双轴强度特点（1）混凝土的一向抗压强度随着另一向压力的增大而增大。最大压应力在两个主应力比为 处发生，约为抗压强度的1.221.27倍。双向等压时，强度约为单向受压强度的1.161.20倍。在一向受拉一向受压时，混凝土受压方向的抗压强度随另一方向拉盈利的增加而降低。混凝土双轴强度特点（2）混凝土双轴强度特点（混凝土双轴强度特点（3）n n双向受拉时，混凝土的抗双向
3、受拉时，混凝土的抗拉强度基本上不受另一方拉强度基本上不受另一方向的影响，即双向抗拉强向的影响，即双向抗拉强度和单向抗拉强度基本相度和单向抗拉强度基本相等。等。混凝土双轴强度特点（混凝土双轴强度特点（4）n n双向应力状态，混凝土双向应力状态，混凝土的应变大小与应力状态的应变大小与应力状态的性质（是受拉还是受的性质（是受拉还是受压）有关压）有关双轴应力强度的计算公式双轴应力强度的计算公式n n修正的莫尔修正的莫尔- -库仑准则库仑准则n nKupferKupfer公式公式n n多折线公式多折线公式n n双参数公式双参数公式公式简单强度偏小、偏于安全修正的莫尔库仑准则修正的莫尔库仑准则莫尔库仑准则
4、的特点莫尔库仑准则的特点Kufer公式公式多折线公式多折线公式双参数公式双参数公式三三轴轴应应力力下下的的混混凝凝土土强强度度准准则则混凝土破坏包络面的特征(a)平面 (b)柱面屈服面图2.9 屈服面和屈服轨迹混凝土强度准则模型分类分类按来源 借用古典强度理论 试验回归 纯数学推导按参数个数 单参数五参数模型古典强度理论最大拉应力准则(Rankine强度准则)剪应力强度准则(Tresca & Von Mises)莫尔库仑准则Drucker-Prager强度准则最大拉应力准则最大拉应力准则Tresca强度准则强度准则Von Mises 强度准则强度准则莫尔库仑莫尔库仑 强度准则强度准则莫尔库仑莫
5、尔库仑 强度准则强度准则(续续)Drucker-Prager 准则准则三参数强度三参数强度 准则准则Bresler-Pister强度准则William-Warnke强度准则清华大学强度准则Bresler-Pister强度准则强度准则Kotsovos五参数模型五参数模型图图7.3 各破坏准则的拉压子午线各破坏准则的拉压子午线图图7.4 各破坏准则的偏平面包络线各破坏准则的偏平面包络线图图7.5 各破坏准则的二轴包络线各破坏准则的二轴包络线带有知识带有知识(数据库数据库)的破坏模型的破坏模型结构特点、计算等级结构特点、计算等级选择模型形式选择模型形式材料特点、构件特点选材料特点、构件特点选择试验点
6、并加权择试验点并加权自动确定模型参数自动确定模型参数1、2、3、45参数模型混凝土三轴试验数据库本构关系 混凝土在多轴应力状态下的本构关系，当然更要复杂得多。三个方向主应力的共同作用，使各方向的正应变和横向变形效应相互约束和牵制，影响内部微裂缝的出现和发展程度。而且，混凝土多轴抗压强度的成倍增长和多轴拉压强度的降低，扩大了混凝土的应力范围，改变了各部分变形成分的比例，出现了不同的破坏过程和形态。这些都使得混凝土多 轴变形的变化范围大，形式复杂。另一方面，混凝土多轴试验方法的不统一和应变量测技术的困难，又加大了变量测数据的离散度，给研究本构关系造成更大困难。混凝土多轴本构关系大体有4类：1.线弹
7、性模型线弹性模型，2.非线弹性模型非线弹性模型，3.塑性理论模型塑性理论模型，4.其它力学理论类模型其它力学理论类模型。 其中，1、3 类模型是将成熟的力学体系(即弹性力学和塑件理论等)的观点和方法作为基础，移植至混凝土；4类模型则是借鉴些新兴的力学分支，如粘性弹(塑)性理论、内时理论、断裂力学、损伤力学等的概念相方法，结合混凝土的材料特点推导而得；2类模型主要依据混凝土多轴试验的数据和规律，进行总结回归分析后得到。 各类本构模型的理论基础、观点和方法迥异，表达形式多样，简繁相差悬殊，适用范围和计算结果的差别大。很难确认一个通用的混凝土本构模型，只能根据结构的特点、应用范围和精度要求等加以适当
8、选择。 至今，实际工程中应用最广泛的还是源自试验、计算精度有保证、形式简明和使用方便的非线弹性类本构模型。1. 线弹性模型 这是最简单、最基本的材料本构模型。材料变形(应变)在加载和卸载时都沿一直线变化，完全卸载后无残余变形。应力和应变有确定的唯一关系其比值即为材料的弹性常数，称弹性模量。当混凝土的应力水平较低，内部微裂缝和裂缝和塑性变形未有较大发展时；预应力结构或受约束结构的外裂之前；体形复杂结构的初步或近似计算时；有结构选用不同的本构模型,对其计算结果不敏感时等等。 所以，线弹性本构模型在钢筋混凝土结构分析中的应用仍有相当大的余地 特别是因为按照线弹性分析的应力分布进行适当配筋后，一般结构
9、能保证必要的，甚至稍高的承载力安全度，有些设计规范中允许采用这类本构模型。空间应力应变关系弹性本构矩阵Ev形式弹性本构矩阵KG形式（1）各向异性本构模型：）各向异性本构模型：这一本构模型中刚度矩阵不对称，共需36个材料弹性常数。（2）正交异性本构模型：）正交异性本构模型：（3）各向同性本构模型：）各向同性本构模型：2. 非线弹性模型弹性模量弹性模量混凝土三维本构模型的核心各种本构模型的本质差别非线性弹性模型的基本思路非线性弹性模型的分类全量模型Codolin模型Ottosen模型破坏准则非线性指标等效应力应变关系非线性指标(Nonlinear Index)二维非线性指标三维非线性指标：Otto
10、sen法三维非线性指标： 法三维非线性指标：比例增大法等效一维应力应变关系割线模量计算式三维混凝土应力应变关系峰值和应变都要增大峰值和应变都要增大 取值王传志公式Ottosen公式割线泊松比计算本构矩阵计算步骤已知 混凝土强度、初始弹性模量和泊松比、单轴应力应变关系、破坏准则、当前应力水平计算主应力计算非线性指标计算割线模量计算割线泊松比形成非线性本构矩阵例题求主应力求非线性指标得到Es和vs增量模型增量形式的切线模量Darwin模型假设在双向应力下等效应力应变关系仍服从Saenz公式：峰值应力和峰值应变的计算本构矩阵图图8.14 Ottosen本构模型本构模型(a)单轴受压单轴受压 关系关系 (b)多轴多轴 关系关系 (c)泊松比泊松比多轴应力峰值弹性模量3. 塑性理论类模型图图3.20 弹性弹性-全塑性本构模型全塑性本构模型图图3.21 线弹性线弹性-硬化塑性硬化塑性-断裂本构模型断裂本构模型(a)单轴单轴 关系关系 (b)二轴应力加载图二轴应力加载图
