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1、12.1 12.1 幂级数幂级数.主要内容主要内容21 函数项级数的一般概念函数项级数的一般概念3 幂级数的运算幂级数的运算 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性4 幂级数求和幂级数求和则称无穷级数收敛则称无穷级数收敛.时时, 等比级数收敛等比级数收敛 ;时时, 等比级数发散等比级数发散 .2. 等比级数等比级数 (又称几何级数又称几何级数)技巧技巧: 利用利用 “拆项相消拆项相消” 求和求和“ 收收收收=收收; 收收发发=发发; 发发发发=不确定不确定”推论推论 若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, 则原级数必发则原级数必发散散.1.知识点复习知识点复习3. 定理定理 ( 级数收敛的必要条
2、件级数收敛的必要条件 ) 设收敛级数设收敛级数则必有则必有若级数的一般项若级数的一般项 un 不趋于不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .如如, 调和级数调和级数发散发散 .反之反之,不成立不成立!4. 正项级数正项级数收敛收敛部分和序列部分和序列有界有界 .知识点复习知识点复习5. 利用正项级数判别法利用正项级数判别法必要条件必要条件不满足不满足发散发散满足满足比值审敛法比值审敛法根值审敛法根值审敛法收敛收敛发散发散不定不定, 比较审敛法比较审敛法用它法判别用它法判别:部分和极限部分和极限知识点复习知识点复习发散发散 ;当当时时,收敛收敛 .当当时时,6. p 级数级数 如如如如发散发散
3、;收敛收敛.7. 利用等价无穷小：利用等价无穷小：8. 含有含有选择比值判别法，即选择比值判别法，即知识点复习知识点复习10. 任意项级数任意项级数收敛收敛9. 交错项级数的交错项级数的Leibniz判别法判别法:则交错级数则交错级数收敛收敛绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛发散发散如如如如( un单调减少趋于单调减少趋于0 )知识点复习知识点复习12. (绝对值的比值、根值判别法绝对值的比值、根值判别法)那那么么(1) 当当(2) 当当时时, 级数绝对收敛级数绝对收敛 ;或或时时, 级数发散级数发散 .(3) 当当时时, 此方法失效此方法失效 ，换其他方法，换其他方法.知识点复习知识点复习11
4、. 绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛 .一一 、函数项级数的一般概念、函数项级数的一般概念12.1 幂级数幂级数设设为定义在区间为定义在区间 I 上的函数项级数上的函数项级数 .对对若常数项级数若常数项级数敛点敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域所有收敛点的全体称为其收敛域 ;为定义在区间为定义在区间 I 上的函数上的函数, 称称收敛收敛,称称为其收为其收 为级数的和函数为级数的和函数 , 并写成并写成在收敛域上在收敛域上, 函数项级数的和是函数项级数的和是 x 的函数的函数 称它称它若用若用余项余项则在收敛域上有则在收敛域上有表示函数项级数前表示函数项级数前 n 项的和项的和,
5、即即例如例如, 等比级数等比级数它的收敛域是它的收敛域是有和函数有和函数 12.1 幂级数幂级数二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 形如形如的函数项级数称为的函数项级数称为(x-x0)的幂级数的幂级数, 其中其中当当称为幂级数的系数称为幂级数的系数 .时时,称为称为x 的幂级数的幂级数.如如12.1 幂级数幂级数定理定理 1 (Abel定理定理) 若幂级数若幂级数则对满足不等式则对满足不等式的一切的一切 x 幂级数都绝对收敛幂级数都绝对收敛.反之反之, 若当若当的一切的一切 x , 该幂级数也发散该幂级数也发散 . 时该幂级数发散时该幂级数发散 , 则对满足不等式则对满足不等式发发 散散
6、12.1 幂级数幂级数点收敛点收敛, 发散发散收敛收敛收收 敛敛发发 散散若幂级数若幂级数设设那那么么当当时时,即即级数绝对收敛级数绝对收敛;当当时时,即即级数发散级数发散;令令发发 散散发发 散散收收 敛敛12.1 幂级数幂级数可以看出可以看出, 的收敛域是以原点为中心的区间的收敛域是以原点为中心的区间. 幂级数在幂级数在 (R , R ) 收敛收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域加上收敛的端点称为收敛域.R 称为收敛半径称为收敛半径 ， 在在可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 .外发散外发散;在在(R , R ) 称为收敛区间称为收敛区间.当当发发 散散发发 散散收收 敛敛
7、12.1 幂级数幂级数幂级数在幂级数在 (, +) 收敛收敛 ;R = 0 时时, 幂级数仅在幂级数仅在 x = 0 收敛收敛 ;R = + 时时,当当当当特别地特别地,发发 散散发发 散散收敛收敛收收 敛敛收收 敛敛R = 0R =+12.1 幂级数幂级数定理定理2 假设假设的系数满足的系数满足1) 当当l 0 时时,2) 当当l 0 时时,3) 当当l +时时,那么那么 的收敛半径为的收敛半径为说明说明:据此定理据此定理12.1 幂级数幂级数对端点对端点 x =1, 的收敛半径及收敛域的收敛半径及收敛域.解解 对端点对端点 x = 1, 级数为交错级数级数为交错级数收敛收敛; 级数为级数为
8、发散发散 . 故收敛域为故收敛域为例例1 求幂级数求幂级数12.1 幂级数幂级数例例2 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域 :解解 (1)所以收敛域为所以收敛域为(2)所以级数仅在所以级数仅在 x = 0 处收敛处收敛 .规定规定: 0 ! = 112.1 幂级数幂级数例例3 求幂级数求幂级数的收敛半径的收敛半径 .解解时级数收敛时级数收敛时级数发散时级数发散 故收敛半径为故收敛半径为 当当即即当当即即12.1 幂级数幂级数例例4 求幂级数求幂级数的收敛域的收敛域.解解 令令 级数变为级数变为当当 t = 2 时时, 级数为级数为此级数发散此级数发散;当当 t = 2 时时, 级数为级数
9、为此级数收敛此级数收敛;因此收敛域为因此收敛域为即即12.1 幂级数幂级数三、幂级数的性质三、幂级数的性质定理定理3 设幂级数设幂级数及及的的令令则有则有 :其中其中收敛半径分别为收敛半径分别为12.1 幂级数幂级数定理定理4 若幂级数若幂级数的收敛半径的收敛半径则其和函数则其和函数在收敛域上连续在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分逐项求积分, 运算前后收敛半径相同运算前后收敛半径相同: 逐项求导逐项求导逐项积分逐项积分12.1 幂级数幂级数解解 由例由例2可知级数的收敛半径可知级数的收敛半径 R+.例例5 求幂级数求幂级数那那么么故得故得的和函数的
10、和函数 .因此得因此得设设12.1 幂级数幂级数分母求导分母求导例例6 求幂级数求幂级数的和函数的和函数解解 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发时级数发散散, 故当故当时，时，12.1 幂级数幂级数例例7 求幂级数求幂级数的和函数的和函数解解12.1 幂级数幂级数例例6例例7 求级数求级数的和函数的和函数解解 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , 收敛域为收敛域为由和函数由和函数的连续性知的连续性知12.1 幂级数幂级数例例8 求数项级数求数项级数解解 设设那么那么12.1 幂级数幂级数的和的和.故故例例9 求幂级数求幂级数的和函数的和
11、函数解解 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发时级数发散散, 故当故当时，时，12.1 幂级数幂级数1. 函数项级数函数项级数则在收敛域上有则在收敛域上有2.3. (x-x0)的幂级数：的幂级数： 4. x 的幂级数：的幂级数： 内容小结内容小结5.的收敛半径为的收敛半径为逐项求导逐项求导逐项积分逐项积分对非标准型幂级数的收敛半径对非标准型幂级数的收敛半径:直接用比值法或根值法或通过换元化为标准型再求直接用比值法或根值法或通过换元化为标准型再求. 6. 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.内容小结内容小结作作 业业 P
12、206 1(2,3); 3(1)5月月28日日(周六周六)第三阶段考第三阶段考考试内容：第考试内容：第11章章阿贝尔阿贝尔(1802 1829)挪威数学家挪威数学家, 近代数学发展的先驱者近代数学发展的先驱者. 他在他在22岁时就解决了用根式解岁时就解决了用根式解5 次方程次方程的不可能性问题的不可能性问题 , 他还研究了更广的一他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群并称之为阿贝尔群. 在级数研究中在级数研究中, 他得他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理到了一些判敛准则及幂级数求和定理. 论的奠基人之一论的奠基人之一, 他的一系列工作为椭圆函数研究开他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路拓了道路. 数学家们工作数学家们工作150年年. 类代数方程类代数方程, 他是椭圆函数他是椭圆函数C. 埃尔米特曾说埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群后人发现这是一类交换群,
