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1、 主讲教师主讲教师 ： 邹翠荣邹翠荣 Tuesday, September 17, 2024应力状态应力状态应力状态应力状态11. 1. 直杆受轴向拉（压）时直杆受轴向拉（压）时: :FF2.2.圆轴扭转时圆轴扭转时: :ABP P3.3.剪切弯曲的梁剪切弯曲的梁: :2l/2l/2FPS平面平面54321543213低碳钢低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁铸铁4铸铁铸铁低碳钢低碳钢为什么脆性材料扭转破坏时沿为什么脆性材料扭转破坏时沿45螺旋面断开？螺旋面断开？5 应力状态的概念及其描述应力状态的概念及其描述 平面应力状态下的应力分析平面应力状态下的
2、应力分析 主应力、主方向、最大剪应力主应力、主方向、最大剪应力 三向应力状态特例分析三向应力状态特例分析 广义胡克定律广义胡克定律 强度理论强度理论 结论与讨论结论与讨论 应用实例应用实例第五章第五章 应力状态、强度理论应力状态、强度理论6FF1 1、应力状态：受力构件内任意点各不同截面方位、应力状态：受力构件内任意点各不同截面方位上的应力情况上的应力情况研究点的应力状态的方法：取单元体的方法研究点的应力状态的方法：取单元体的方法2 2、单元体：围绕受力构件内任意点切取一个微小、单元体：围绕受力构件内任意点切取一个微小正六面体。正六面体。 2.2.两个相互平行侧面上的应力情况是相同的两个相互平
3、行侧面上的应力情况是相同的3.3.代表该点三个相互垂直方向上的应力情况代表该点三个相互垂直方向上的应力情况第一节第一节 应力状态概述应力状态概述1.1.单元体各侧面上的应力分布是均匀的。单元体各侧面上的应力分布是均匀的。单单元元体体的的特特点点7l/2l/2S平面平面FP54321123围绕一个受力点可以有无数多个单元体：围绕一个受力点可以有无数多个单元体：3、原始单元体：各侧面上的应力情况为已知8FlaSxzy4321FlaS平面9FF4、主单元体:各侧面上只有正应力作用, 而无剪应力作用的单元体5、主平面:单元体上剪应力为零的面6、主应力:主平面上作用的正应力。 三个主应力按代数值大小排列
4、为:110单向应力状态：只有一个主应力不等于零二向应力状态：只有一个主应力等于零，其它两个主应力不等于零。三向应力状态：三个主应力都不等于零xy（平面应力状态）xy应力状态分类：yxzxy11第二节第二节 平面应力状态分析平面应力状态分析xy（解析法）（解析法）xy1 1、平衡原理的应用、平衡原理的应用 单元体局部的平衡方程单元体局部的平衡方程dA12cos - -cos ) ( dA x- - ydA(sin )sindA + + dA(cos ) sinx+ + dA(sin) cosyxydA- - dA+ + xdA(cos ) sin+ + xdA(cos )cos- - ydA(s
5、in )cos- - ydA(sin )sin13剪剪 中中 有有 拉拉拉拉 中中 有有 剪剪不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力结结 论论:14在单元体上两个剪应力共同指定的象限在单元体上两个剪应力共同指定的象限既为主应力既为主应力 1 1所在象限所在象限15 x x x x例题例题1:已知已知: :单元体各侧面应力单元体各侧面应力 x=60MPa, x=20.6MPa, y=0, y=-20.6MPa求求: (1) = - 450斜截面上的应力斜截面上的应力,(2)主应力和主平面主应力和主平面 x x x x30MPa30MPa50.6MPa50.6MPa50.6MPa50.6MPa1
6、617.217.217.217.20 0 0 0 x x x x x=60MPa, x=20.6MPa, y=0, y=-20.6MPa6.4MPa6.4MPa6.4MPa6.4MPa66.4MPa66.4MPa66.4MPa66.4MPa17 过一点不同方向面上应力的集过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的合，称之为这一点的应力状态应力状态应应 力力哪一个面上？哪一个面上？哪一点？哪一点？哪一点？哪一点？哪个方向面？哪个方向面？指明指明2 2、应力的三个概念、应力的三个概念: :应力的点的概念应力的点的概念; ;应力的面的概念应力的面的概念; ;应力状态的概念应力状态的概念. .18单
7、元体的两个相互垂直截面上的正应力之和为常数单元体的两个相互垂直截面上的正应力之和为常数 x x x x y y + + /2/2已知：图示原始单元体求：已知：图示原始单元体求：例题例题2:19例题例题3:404030302020求求(1)(1)主应力、主平面、画主单元体主应力、主平面、画主单元体(2)(2) =-=-37.537.50 0斜截面上的应力情况斜截面上的应力情况, ,并画单元体并画单元体. .404020203030x=40 MPa,y=-20 MPa,x=-30 MPa 1 1 3 3（MPMPMPMPa a a a）20404030302020x=40 MPa,y=-20 MP
8、a,x=-30 MPa31.231.2-11.24-11.24-36.8-36.821 图示一矩形截面简支梁图示一矩形截面简支梁图示一矩形截面简支梁图示一矩形截面简支梁, , , ,在跨中有集中力作用。已知在跨中有集中力作用。已知在跨中有集中力作用。已知在跨中有集中力作用。已知:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm,:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm,:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm,:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm, =40=40=40=400 0 0 0。求：离左支座。求：离左支座。求：离左支座
9、。求：离左支座L/4L/4L/4L/4处截面上处截面上处截面上处截面上C C C C点在点在点在点在404040400 0 0 0斜截面上的应力。斜截面上的应力。斜截面上的应力。斜截面上的应力。例题例题4:P PL/2L/2L/2L/2L/4L/4L/4L/4L/4L/4L/4L/4h/4h/4b bh h解：解：C C C C C C22C C C C C C23 图解法图解法（应力圆）（应力圆）第三节第三节 平面应力状态平面应力状态xy241.1.应力圆的画法应力圆的画法 1.在在 坐标系中，坐标系中，2.连连D1D2交交 轴于轴于c点，即以点，即以c点点为圆心，为圆心，cd为半径作圆。为
10、半径作圆。( x , x)( y , y)cR量取横坐标量取横坐标OB1= x，纵坐标纵坐标B1D1= x得到得到D1点。点。该点的横纵坐标代表单元体以该点的横纵坐标代表单元体以x轴为外法线方向面上的应力轴为外法线方向面上的应力情况。同样方法得到情况。同样方法得到D2点。点。25ADa( x , x)d( y , y)cE E点点( (横、纵坐标横、纵坐标):):代表了代表了 斜斜截面上的截面上的正应力和剪应力正应力和剪应力26caA点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面方向上的正应力和剪对应着单元体某一截面方向上的正应力和剪应力应力 2 2、几种对应
11、关系、几种对应关系27C转向对应、二倍角对应转向对应、二倍角对应2q2qaA AA A ayx转向对应转向对应半径旋转方向与方向面法线半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；旋转方向一致； 二倍角对应二倍角对应半径转过的角度是方向面半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。旋转角度的两倍。282 2、几种对应关系、几种对应关系r 点面对应点面对应应力圆上某一点应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和剪应力；的正应力和剪应力；r 转向对应转向对应半径旋转方向与半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；方向面法线旋转方向一致；r 二倍角对应二倍角对应半径转过的角半径转
12、过的角度是方向面旋转角度的两倍。度是方向面旋转角度的两倍。29 利用三角恒等式，可以将前面利用三角恒等式，可以将前面所得的关于所得的关于 和和 t t 的计算式写成方的计算式写成方程：程：3、应力圆方程应力圆方程= =圆方程圆方程 ：圆心坐标：圆心坐标 半径半径30Rc应应力力圆圆= =31 x xADdac245245beBEBE o32BE x xADBE 45 方向的斜截面上既有方向的斜截面上既有正应力又有剪应力，正应力不正应力又有剪应力，正应力不是最大值，剪应力是最大。是最大值，剪应力是最大。结果表明：结果表明：33 o a (0, )d(0,- )A ADbec245245BE34B
13、E BE 45 方向面只有正应力没有剪方向面只有正应力没有剪应力，而且正应力为最大值。应力，而且正应力为最大值。结果表明：结果表明：354 4、一点处的应力状态有不同的表、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重示方法，而用主应力表示最为重要要 请分析图示请分析图示 4 4 种应力状态中，哪几种种应力状态中，哪几种 是等价的是等价的 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04545 0 0 0 0454536第四节第四节 在应力圆上确定主平面、在应力圆上确定主平面、主应力、面内最大剪应力主应力、面内最大剪应力 x y oc2 adA AD主平面：在应力圆上主平面：在应力圆上
14、, ,应力圆与横轴交应力圆与横轴交点对应的面点对应的面37 o o主应力：主应力：主平面上的正应力主平面上的正应力在应力圆上主应力在应力圆上主应力=圆心圆心半径半径(主平面定义主平面定义)主应力表达式：主应力表达式：38应力圆上最高点的应力圆上最高点的面上的剪应力，面上的剪应力，称为称为“ 面内最大面内最大剪应力剪应力”。 o maxc面内最大剪应力面内最大剪应力39第五节第五节 三向应力状态三向应力状态 三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆 平面应力状态作为三向应平面应力状态作为三向应力力 状态的特例状态的特例40 z x y （至少有一个主应力及其主方向已知）（至少有一个主应力及其主方
15、向已知） y x z三向应力状态特例三向应力状态特例41 1 2 3 三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆42 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 343IIIIII 3 2 1I平行于平行于 1的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与 1无关，无关，于是由于是由 2 、 3可作出应力圆可作出应力圆 I平行于平行于 2的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与 2无关，无关，于是由于是由 1 、 3可作出应力圆可作出应力圆 II平行于平行于 3的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与 3无关，于无关，于是由是由 1 、 2可作出应力圆可作出应力圆 IIIII 2 1 3 3III 2
16、 1 44 在三组特殊方向面中都有各自的面在三组特殊方向面中都有各自的面内最大剪应力内最大剪应力,即：即：IIIIII 一点处应力状态中的最大剪应力只是一点处应力状态中的最大剪应力只是 、 、 中最大者，即中最大者，即:45(1)(2)排序确定排序确定(3)平面应力状态特点：平面应力状态特点：作为三向应力作为三向应力状态的特例状态的特例4620030050o max 平面应力状态作为三向应力平面应力状态作为三向应力 状态的特例状态的特例4720050O3005048例题例题5:试用解析法、图解法求：主单元体、试用解析法、图解法求：主单元体、试用解析法、图解法求：主单元体、试用解析法、图解法求：
17、主单元体、 maxmaxmaxmax。303020205050（MPaMPa）54.754.754.754.734.734.734.734.7490 0 303020205050（MPaMPa）(-30(-30(-30(-30、20)20)20)20)(50(50(50(50、20)20)20)20)C C54.754.754.754.734.734.734.734.7主应力主应力= =圆心圆心半径半径5040402020例例6:试用图解法求主应力、试用图解法求主应力、试用图解法求主应力、试用图解法求主应力、 maxmaxmaxmax。4040202060600 0 主应力主应力= =圆心圆心
18、半径半径51 一轴拉试件，横截面为一轴拉试件，横截面为405mm405mm2 2的矩形。在的矩形。在与轴线成与轴线成45450 0的斜截面上剪应力的斜截面上剪应力 =150 MPa=150 MPa时试件上时试件上出现滑移线。求：此时试件所受轴向拉力出现滑移线。求：此时试件所受轴向拉力P P的值。的值。例题例题7:解：原始单元体为单向应力状态，即：解：原始单元体为单向应力状态，即： x x= = s s ， y y=0 =0 ， =0=052例例8 8： 圆轴发生扭转变形时，最大拉应力发生在（圆轴发生扭转变形时，最大拉应力发生在（ ）截面上，最大剪应力发生在（截面上，最大剪应力发生在（ ）截面上
19、。）截面上。mm塑性材料：塑性材料： 材料被剪断，断口平齐材料被剪断，断口平齐脆性材料：脆性材料： 材料被拉断，断口与轴线材料被拉断，断口与轴线450角角 横横 斜斜 53oC C中垂线中垂线 0 0已知已知:A:A点处截面点处截面ABAB、ACAC的应力如图的应力如图,(,(单位单位:MPa),:MPa),试试用图解法确定该点处的主应力及所在截面方位用图解法确定该点处的主应力及所在截面方位. .A A2626252522226060B BC CE(60,22)E(60,22) 1 1 2 2量得量得: : 1 1=70MPa, =70MPa, 2 2=10MPa, =10MPa, 3 3=0
20、=0量得量得:2:2 0 0=47=470 0, , 0 0=23.5=23.50 02 2 0 0 1 1=70=70F(25,26)F(25,26)54例题例题10:10:在三向应力状态中在三向应力状态中, ,若若 1 1= = 2 2= = 3 3，并且都，并且都是拉应力是拉应力. .试画应力圆试画应力圆. .o 1 1= = 2 2= = 3 3例题例题11:11:试证明受力板上试证明受力板上A A点处各截面正应力、点处各截面正应力、剪应力均为零剪应力均为零. .P PP PA A 1 1= = 2 2= = 3 3=0=0 =0,=0, =0=055ms sts s例题例题1616：
21、承受内压薄壁容器任意点的应力状态承受内压薄壁容器任意点的应力状态561、横向变形与泊松比、横向变形与泊松比-泊松比泊松比yx第六节第六节 广义胡克定律广义胡克定律572、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法主应力和主应变的方向重合。主应力和主应变的方向重合。 1 1 2 2 3 3 58yzx59 图示一钢质杆直径图示一钢质杆直径d=20 mmd=20 mm，已知，已知:A:A点在与点在与水平线成水平线成60600 0方向上的正应变方向上的正应变 60600 0=4.110=4.110-4-4， =0.28,E=210GPa.=0.28,E=210GPa.求：荷载
22、求：荷载P P的值的值例题例题12:A A60 一受扭转的圆轴一受扭转的圆轴, ,直径直径d=2cm, d=2cm, =0.3,=0.3,材料材料E=200GPa,E=200GPa, 现用变形仪测得圆轴表面与轴线现用变形仪测得圆轴表面与轴线45450 0方方向上的应变向上的应变 45450 0=5.210=5.210-4-4. .求：轴上的扭矩求：轴上的扭矩T T例例13:T TT T 注意注意: : x x为负值为负值61 N N0 020a20a工字钢梁受力情况如图，钢材工字钢梁受力情况如图，钢材 =0.3=0.3， E=200GPaE=200GPa，现用变形仪测得梁中性层上，现用变形仪测
23、得梁中性层上K K点处与点处与轴线成轴线成45450 0方向的应变方向的应变 =-2.610=-2.610-4-4。求：此时梁。求：此时梁承受的荷载承受的荷载P P例例14:2L/32L/32L/32L/3L/3L/3L/3L/3P PK K623、三向应力状态的体积应变、三向应力状态的体积应变变形前体积：变形前体积：变形后三个棱边为：变形后三个棱边为：变形后体积：变形后体积：体积应变体积应变 ：63轴向拉伸或压缩的变形能轴向拉伸或压缩的变形能变形能变形能W WU ULLPOPL变形比能变形比能 u u ：单位体积内储存的变形能单位体积内储存的变形能单位体积内储存的变形能单位体积内储存的变形能
24、复杂应力状态的变形比能复杂应力状态的变形比能64dydxdz复杂应力状态的变形比能复杂应力状态的变形比能形形状状改改变变比比能能体体积积改改变变比比能能65dydxdz+66dydxdz+671010、1111 强度理论强度理论 是解决复杂应力状态下强度破坏问题的理论是解决复杂应力状态下强度破坏问题的理论 （主要考虑材料破坏的原因）（主要考虑材料破坏的原因）强度理论：强度理论：材料的破坏形式材料的破坏形式: (1) : (1) 脆性断裂脆性断裂; (2) ; (2) 塑性屈服塑性屈服强度理论：强度理论：解释脆性断裂解释脆性断裂解释塑性屈服解释塑性屈服最大拉应力理论最大拉应力理论最大拉应变理论最
25、大拉应变理论最大剪应力理论最大剪应力理论形状改变比能理论形状改变比能理论68最大拉应力理论最大拉应力理论 ( (第一强度理论第一强度理论) )认为认为: :最大拉应力是引起断裂破坏的主要因素。最大拉应力是引起断裂破坏的主要因素。即认为：无论单元体处于什么应力状态，只要单元即认为：无论单元体处于什么应力状态，只要单元体的最大拉应力体的最大拉应力 1 1达到材料在单向拉伸时的极限拉达到材料在单向拉伸时的极限拉应力值应力值 b b，材料就发生断裂。，材料就发生断裂。最大拉应力理论最大拉应力理论 ( (第一强度理论第一强度理论) )69最大拉应变理论最大拉应变理论 ( (第二强度理论第二强度理论) )
26、认为认为: :最大拉应变是引起断裂破坏的主要因素。最大拉应变是引起断裂破坏的主要因素。最大拉应变理论最大拉应变理论 ( (第二强度理论第二强度理论) )即认为：无论单元体处于什么应力状态，只要单即认为：无论单元体处于什么应力状态，只要单元体的最大拉应变元体的最大拉应变 1 1达到材料在单向拉伸时的极达到材料在单向拉伸时的极限拉应变限拉应变 b b，材料就发生断裂。，材料就发生断裂。70最大剪应力理论最大剪应力理论 ( (第三强度理论第三强度理论) )认为认为: :最大剪应力是引起塑性屈服破坏的主要因素。最大剪应力是引起塑性屈服破坏的主要因素。即认为：无论单元体处于什么应力状态，只要单即认为：无
27、论单元体处于什么应力状态，只要单元体的最大剪应力元体的最大剪应力 maxmax达到材料在单向拉伸时的达到材料在单向拉伸时的极限剪应力极限剪应力 s s，材料就发生塑性屈服破坏。，材料就发生塑性屈服破坏。 最大剪应力理论最大剪应力理论 ( (第三强度理论第三强度理论) )71形状改变比能理论（第四强度理论）形状改变比能理论（第四强度理论）认为认为: :形状改变比能是引起屈服破坏的主要因素。形状改变比能是引起屈服破坏的主要因素。即认为：无论单元体处于什么应力状态，只要单即认为：无论单元体处于什么应力状态，只要单元体的形状改变比能达到材料在单向拉伸时的形元体的形状改变比能达到材料在单向拉伸时的形状改
28、变比能极限值，材料就发生塑性屈服破坏。状改变比能极限值，材料就发生塑性屈服破坏。 形状改变比能理论（第四强度理论）形状改变比能理论（第四强度理论）72相当应力相当应力yzx73( (第一强度理论第一强度理论) )( (第二强度理论第二强度理论) )( (第四强度理论第四强度理论) )( (第三强度理论第三强度理论) )适用于脆性材料适用于脆性材料适用于塑性材料适用于塑性材料74应用举例几种简单应力状态的强度条件轴向拉、压（单向应力状态）轴向拉、压（单向应力状态）圆轴扭转（纯剪切应力状态）圆轴扭转（纯剪切应力状态） （解决工程中实际问题）（解决工程中实际问题）75塑性材料正应力强度条件：塑性材料
29、正应力强度条件：梁的强度条件梁的强度条件1 1、正应力强度条件：、正应力强度条件：塑性材料：由于塑性材料的塑性材料：由于塑性材料的塑性材料：由于塑性材料的塑性材料：由于塑性材料的 拉拉拉拉= 压压压压，为使最大工，为使最大工，为使最大工，为使最大工作拉应力和压应力同时达到作拉应力和压应力同时达到作拉应力和压应力同时达到作拉应力和压应力同时达到 ，梁截面通常做成对，梁截面通常做成对，梁截面通常做成对，梁截面通常做成对称于中性轴：称于中性轴：称于中性轴：称于中性轴：（单向应力状态）（单向应力状态）76脆性材料脆性材料：由于：由于 拉拉 压压 ，为了充分利用材，为了充分利用材料，通常将截面做成不对称
30、于中性轴的形状。料，通常将截面做成不对称于中性轴的形状。设计时尽量使中性轴靠近受拉边。设计时尽量使中性轴靠近受拉边。y y1 1y y2 2z zy y 对脆性材料进行强度校核时对脆性材料进行强度校核时, ,不仅需要验算最不仅需要验算最大弯矩所在截面上的应力情况大弯矩所在截面上的应力情况, ,有时还需验算与最有时还需验算与最大弯矩符号相反的较大弯矩截面上的应力情况大弯矩符号相反的较大弯矩截面上的应力情况772 2、剪应力强度条件：、剪应力强度条件：（纯剪切应力状态）（纯剪切应力状态） 78例题例题11:11:试用第三强度理论分析图示三种试用第三强度理论分析图示三种应力状态中哪种最危险？应力状态
31、中哪种最危险？79 已知：已知： 和和 试写出第三和第四试写出第三和第四强度理论的表达式。强度理论的表达式。 解：首先确定主应力解：首先确定主应力208081h hh ha ad dc cb b 例题例题15:15:试建立三个弹性常数试建立三个弹性常数E E、G G、 间的关系间的关系. . S S L L 1 1= = 3 3= = S S8212 12 莫尔强度理论莫尔强度理论包络线包络线若一单元体的应力状态：若一单元体的应力状态：由由确定的应力圆在包络线之内，确定的应力圆在包络线之内，则该应力状态不会发生失效。则该应力状态不会发生失效。如恰与包络线相切，则该应如恰与包络线相切，则该应力状
32、态已达到失效状态。力状态已达到失效状态。单向拉伸的极限应力圆单向拉伸的极限应力圆单向压缩的极限应力圆单向压缩的极限应力圆83O O3 3 由由 1 1、 3 3确定的应力圆，在确定的应力圆，在MLML、M M/ /L L/ /之内，之内，这样的应力圆是安全的，当应力圆与公切线相这样的应力圆是安全的，当应力圆与公切线相切时，为许可状态的最高界限。切时，为许可状态的最高界限。T TP PN NL L/ /M M/ /L LM MO O1 1O O2 2O O84L LT TM MP PO O1 1O O3 3O O2 2L L/ /M M/ /N NO O莫尔强度理论：莫尔强度理论：莫尔强度理论的相当应力：莫尔强度理论的相当应力：对拉压等强度材料：对拉压等强度材料：85yxzMzFMx4321143F86
