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1、行列式的性质性质1: 行列式与其转置行列式的值相等.复习性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号.性质3:推论:如果行列式有两行两行(列列)完全相同,则此行列式 为零.行列式任一行的公因子可提到行列式之外.或用常数 乘行列式任意一行的诸元素,等于用乘这个行列式.性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零.性质5:注:性质3,性质5又称为线性性质性质6: 在行列式中,把某行各元素分别乘非零常数再加到另一行的对应元素上去,行列式的值不变.重要公式行列式计算(利用性质)方法:(1)化上(下)三角形法(2)降阶法(3)递归法例题例1. 计算解:法1 (化上三角形法)计算方法:化上
2、(下)三角形法;降阶法.法2(降阶法)可直接用对角线法则计算三阶行列式例2计算先观察再计算解:或矩阵1.运算:+,-,数乘,乘法等.注意能运算的条件.矩阵乘法定义:规定:与的乘积是一个阵记作: 2.注意注意:(1)矩阵乘法不满足交换律.但不是说对任意两个矩阵一定有例(2)两个非零非零矩阵的乘积可能是零零矩阵.(有别于数的乘法)例而若称是的左零因子.称是的右零因子.(3)一个非零矩阵如有左(右)零因子,其左(右)零因子不唯一.结论: 矩阵乘法不适合消去律矩阵乘法不适合消去律.不能推出满足运算律(乘法有意义的前提下)结合律:数乘结合律:左分配律:右分配律:又例3.特殊矩阵:单位矩阵,数量矩阵,对角
3、矩阵,上(下)三角矩阵4.重要矩阵及运算性质转置矩阵可逆矩阵正交矩阵满足运算规律:矩阵的转置对称矩阵:反对称矩阵:可逆矩阵的逆矩阵定义,唯一性,充要条件及推论,可逆矩阵的性质定义:奇异矩阵非奇异矩阵例解:例例正交矩阵及其性质定义:定理:定理:5.矩阵的初等变换及性质掌握初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵一般结论一般结论:初等矩阵是可逆的初等矩阵是可逆的结论结论:可逆矩阵可以可逆矩阵可以表示为表示为若干个初等矩阵的若干个初等矩阵的乘积乘积.例例3向量概念:线性组合,线性相关, 线性无关,极大无关组,秩,向量组的等价,内积等 有关线性相关,无关,秩的重要定理,结论.结论: 1.m个n维向量必线性相关.(
4、mn)特别:m=n+12. n个n维向量线性无关 它们所构成方阵的行列式不为零.3.n维向量空间任一线性无关组最多只能包含n个向量.4 n维向量空间n个向量线性无关,则任一向量可由这n个线性无关向量表示,且表法唯一.定理 (1)若向量组A: 线性相关,则向量组B: 也线性相关.反之,若向量组B线性无关,向量组A也线性无关.若部分相关，则整体相关； 若整体无关， 则部分无关(2)设若向量组A: 线性无关,则向量组B: 也线性无关.反之,若向量组 B线性相关,向量组A也线性相关. 若r 维向量线性无关，则在每个向量上添加m个分量所得到的新向量也线性无关.等价的说法：m 个分量所得到的新向量也线性相
5、关.若r 维向量线性相关，则在每个向量上去掉定义:注意:只含零向量的向量组没有极大无关组.规定:它的秩为零.极大线性无关组极大线性无关组问题问题:极大无关组是否唯一极大无关组是否唯一?定理定理:向量组与它的任意一个极大无关组等价向量组与它的任意一个极大无关组等价.结论结论:推论推论1:1:等价的无关向量组包含相同个数的向量.定理定理:向量组的任意两个极大无关组相互等价,从而所含向量个数相同.向量组的秩的求法向量组的秩的求法介绍的简便而有效的方法介绍的简便而有效的方法:(1)以向量组以向量组 中各向量作为列向量中各向量作为列向量,构成矩阵构成矩阵A;(2)对对A施行初等行变换化为阶梯形矩阵施行初
6、等行变换化为阶梯形矩阵B,B的非零行的非零行数即矩阵数即矩阵A的秩的秩,亦即原向量组的秩亦即原向量组的秩;(3)求出求出B的列向量组的极大无关组的列向量组的极大无关组;(4)A中与中与B的列向量组的极大无关组相对应的的列向量组的极大无关组相对应的部分列向量组部分列向量组,即为向量组即为向量组的极大无关组的极大无关组秩的性质秩的性质1.(推论推论3.4.4)等价矩阵有相同的秩等价矩阵有相同的秩.2. (推论推论3.4.5)对任意矩阵对任意矩阵A,3. .(推论推论3.4.6)任何矩阵与可逆矩阵相乘任何矩阵与可逆矩阵相乘,其秩不变其秩不变.B可逆可逆,r(B)=3又又r(AB)=2,r(A)=2,
7、即即矩阵的秩与行列式的关系矩阵的秩与行列式的关系例向量组线性无关,证明:用定义.设只有零解.所以,线性方程组齐次 系数矩阵 基础解系 解的性质 解的结构非齐次 增广矩阵 解的性质 解的结构二二. .齐次线性方程组解的理论和解的结构齐次线性方程组解的理论和解的结构对对(1)我们关心何时有非零解我们关心何时有非零解.必有非零解必有非零解.定理定理1给出结论给出结论.解的理论解的理论特别特别:解向量:解的性质:解的结构解的结构解空间:定义:基础解系对对(2)我们关心何时有解我们关心何时有解,及何时有唯一解及何时有唯一解,无穷多解无穷多解.解的理论解的理论解的结构解的结构例解考虑1.有无解2.有解(唯
8、一解还是无穷多解)讨论:特解:令Ax=0的基础解系通解方法2由本题的特点:方程组中方程的个数与未知量个数一样,可想到先求系数行列式,利用克莱姆法则矩阵的特征值与特征向量及二次型概念:特征值,特征向量特征值的性质:方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量(一)特征值与特征向量的定义和计算定义1:注:特征方程:求特征值求特征向量即求齐次线性方程组的非零解.小结:(二)特征值和特征向量的性质定理1:定理2: 推论推论 0是是的特征值的特征值性质1(关于特征值的)性质3性质2 一个特征向量不能属于不同的特征值(即不同的特征值所对应的特征向量不同) (对于同一个矩阵)一般结论：若一般结论：若的全体特
9、征值为的全体特征值为,则则的全体特征值为的全体特征值为例例3 设设的特征值为的特征值为, 求求 解解 设设, 则则的特征值为的特征值为 故故 例2 相似矩阵及性质定义:相似是等价关系:1.自反性2.对称性3.传递性性质1.相似矩阵有 1.相同的行列式. 2.相同的特征多项式和相同特征值. 3.有相同的迹. 4.有相同的秩.(二)矩阵可对角化的条件定理1.实对称矩阵A的任一个特征值都是实数.二.实对称矩阵的特征值和特征向量P146定理5.4.1推论:实对称矩阵A的特征向量均为实向量.定理2.实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量是正交的.定理3.(实对称矩阵必可对角化)本定理证明不要求实对称矩
10、阵对角化时,求正交矩阵的步骤:(P151)二次型的定义二次型的标准形及化二次型为标准形的方法二次型正定的充要条件实对称矩阵正定的充要条件(二).二次型的定义及矩阵表示注:2.讨论的主要问题:寻求线性变换,消去交叉项,使二次型只含平方项.解:例2 求对称矩阵所对应的二次型矩阵的合同设线性变换(非退化的)因为标准化问题变成寻找一个合适的可逆矩阵定义:设A,B是数域P上两个n阶对称矩阵,若存在P上n阶可逆矩阵C,使则称A与B是合同的.记作合同是等价关系(自反性,对称性,传递性)二次型的标准形标准形的定义:如果二次型二次型的标准形正交变换法解:正交化在将 单位化为单位化为令则T是正交矩阵,且于是,经过正交变换X=TY原二次型化为标准形正惯性指数:标准形中正系数的个数负惯性指数:标准形中负系数的个数.惯性定理和规范形正定二次型解:
