北师大教材的公理北师大教材的公理 1 1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行那么这两条直线平行 2 2、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 3 3 3 3、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等两边及其夹角对应相等的两个三角形全等SAS) (SAS) (SAS) (SAS) 4 4、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等两角及其夹边对应相等的两个三角形全等ASA) (ASA) 5 5 5 5、三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等SSS) (SSS) (SSS) (SSS) 6 6、全等三角形的对应边相等，对应角相等全等三角形的对应边相等，对应角相等 7、两点确定一条直线、两点确定一条直线8 8、两点之间线段最短、两点之间线段最短、两点之间线段最短、两点之间线段最短9 9、过一点有且只有一条直线垂直于已知直线、过一点有且只有一条直线垂直于已知直线、过一点有且只有一条直线垂直于已知直线、过一点有且只有一条直线垂直于已知直线1010、过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线、过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线、过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线、过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线 123abc证明：明：∵∠∵∠1 1与与∠∠2 2互互补（已知）（已知） ∴∠ ∴∠1+∠2=1801+∠2=180°°（互（互补定定义）） ∴∠ ∴∠1=1801=180°°－－∠∠2 2（等式的性（等式的性质）） ∵∠ ∵∠3+∠2=1803+∠2=180°°（平角定（平角定义）） ∴∠ ∴∠3=1803=180°°－－∠∠2 2（等式的性（等式的性质）） ∴∠ ∴∠1=∠31=∠3（等量代（等量代换）） ∴ ∴a a∥∥b b（（同位角相等，两直同位角相等，两直线平行）平行）已知：已知：∠∠1和和∠∠2是直线是直线a、、b被直线被直线c 截出的同旁内角，且截出的同旁内角，且∠∠1与与∠∠2互补。
互补求证：求证：a∥∥b．． 定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．互补，那么这两条直线平行． 定理：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补定理：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补12bc3a已知：直线已知：直线a∥∥b，，∠∠1和和∠∠2是直是直线线a，，b被被直线直线c截出的同旁内角截出的同旁内角.求证：求证： ∠∠1+∠∠2=180°.证明：证明：∵∵a∥∥b (已知已知) ∴∠∴∠2＝＝∠∠3 (两条直线平行，同位角相等两条直线平行，同位角相等) ∵∠∵∠1+∠∠3 (1平角平角=180°) ∴∠∴∠1+∠∠2=180 ° (等量代换等量代换) 定理：两条直线被第三条直线所截，内错角相等定理：两条直线被第三条直线所截，内错角相等12bc3a已知：直线已知：直线a∥∥b，，∠∠1和和∠∠2是是直线直线a，，b被被直线直线c截出的内错角截出的内错角.求证：求证： ∠∠1=∠∠2.证明：证明：∵∵a∥∥b(已知已知)，， ∴∠∴∠2＝＝∠∠3(两条直线平行，同位角相等两条直线平行，同位角相等) ∵∠∵∠1＝＝∠∠3(对顶角相等对顶角相等)，， ∴∠∴∠1=∠∠2(等量代换等量代换) 定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．角相等，那么这两条直线平行． 123abc已知：已知：∠∠1 1和和∠∠2 2是直是直线a a、、b b被直被直线c c 截出的内截出的内错角，且角，且∠∠1=∠21=∠2．．求证：求证：a∥∥b 证明：证明：∵∠∵∠1=∠21=∠2（已知），（已知）， ∠ ∠1+∠3=1801+∠3=180°°（平角定（平角定义）） ∴∠ ∴∠2+∠3=1802+∠3=180°°（等量代（等量代换）） ∴∠ ∴∠2 2与与∠∠3 3互互补（互（互补的定的定义）） ∴ ∴a∥∥b（（同旁内角互补，两直线平行）同旁内角互补，两直线平行） 定理定理: :三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180°已知：如图已知：如图,△△ABC求证：求证：∠∠A+∠∠B+∠∠C=180°BAC〖〖方法方法1〗〗证明：作证明：作BC的延长线的延长线CD，， 过点过点C作射线作射线CE∥∥BA。
∵∵CE∥∥BA ∴∠∴∠B=∠∠ECD（（两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等） ∠∠A=∠∠ACE（（两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等） ∵∠∵∠BCA+∠∠ACE+∠∠ECD=180°(1平角平角=180°) ∴∠∴∠A+∠∠B+∠∠ACB=180°(等量代换等量代换)ED 定理定理: :三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180°已知：如图已知：如图,△△ABC求证：求证：∠∠A+∠∠B+∠∠C=180°BACED〖〖方法方法1〗〗证明：过证明：过A点作点作DE∥∥BC ∵∵DE∥∥BC（（已作）已作） ∴∠∴∠DAB=∠∠B，，∠∠EAC=∠∠C （（两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等） ∵∠∵∠DAB+∠∠BAC+∠∠EAC=180°(1平角平角=180°) ∴∠∴∠BAC+∠∠B+∠∠C=180°(等量代换等量代换) 推论：推论：两角及其中一角的对边对应相等的两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等两个三角形全等. .（（AASAAS））已知：如已知：如图,∠∠A=∠∠D,∠∠B=∠∠E,BC=EF.求求证：：△△ABC≌△≌△DEF.证明：证明：∵∠∵∠A+∠∠B+∠∠C=180°，， ∠∠D+∠∠E+∠∠F=180°（三角形内角和等于（三角形内角和等于180°）） ∴∴∠∠C=180°－－(∠∠A+∠∠B)，，∠∠F=180°－－(∠∠D+∠∠E) ∵∠∵∠A=∠∠D,∠∠B=∠∠E（已知）（已知） ∴∴∠∠C=∠∠F（等量代（等量代换）） ∵∵BC=EF（已知）（已知） ∴∴△△ABC≌△≌△DEF（（ASA））DFCABE 定理定理: : 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等. . ( (等边对等角等边对等角) )已知：如已知：如图, 在在△△ABC中中, AB=AC.求求证：：∠∠B=∠∠C.证明：取证明：取BC的中点的中点D, 连接连接AD. 在在△△ABD和和△△ACD中中 ∵∵ AB=AC, BD=CD, AD=AD ∴∴ △△ABD≌△≌△ACD (SSS) ∴∴ ∠∠B=∠∠C （全等三角形的（全等三角形的对应角相等）角相等）等腰三角形的性质等腰三角形的性质 定理：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形. . ( (等角对等边等角对等边.).)已知：在已知：在△△ABC中，中，∠∠B=∠∠C，，求求证：：AB=AC．．证明：作证明：作∠∠BAC的平分线的平分线AD.则则∠∠BAD=∠∠CAD 在在△△ABD和和△△ACD中中 ∵∵ ∠∠B=∠∠C, ∠∠BAD=∠∠CAD, AD=AD ∴∴ △△ABD≌△≌△ACD (AAS) ∴∴ AB=AC （全等三角形的（全等三角形的对应边相等）相等）等腰三角形的判定定理：等腰三角形的判定定理： 定理：定理：定理：定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30°30°，，那么它所对的直角边等于斜边的一半．那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如已知：如图，在，在Rt△△ABC中，中，∠∠C=90°，，∠∠BAC=30°．．求求证：：BC= AB．．证明：延明：延长BC至至D，使，使CD=BC，，连接接AD．． ∵∠∵∠ACB=90°∴∠∴∠ACD=90° ∵∵AC=AC，，∴△∴△ABC≌△≌△ADC(SAS)．． ∴∴AB=AD(全等三角形的全等三角形的对应边相等相等)．． ∴△∴△ABD是等是等边三角形三角形(有一个角是有一个角是60°的等腰三角形是等的等腰三角形是等边三角形三角形)．． ∴∴BC= BD= AB．． 已知：如图，在已知：如图，在已知：如图，在已知：如图，在△△△△ABCABCABCABC中，中，中，中，求证：求证：求证：求证：△△△△ABCABCABCABC是直角三角形．是直角三角形．是直角三角形．是直角三角形．证明：作证明：作RtRt△△DEFDEF，使，使∠∠D=90°D=90°，， DE=ABDE=AB，， DF=AC(DF=AC(如图如图) )，， 则则 .( .(勾股定理勾股定理) )．．∵∵ DE=ABDE=AB，，DF=ACDF=AC∴∴ ∴∴BC= EFBC= EF∴△∴△ABCABC≌△≌△DEFDEF（（SSSSSS））∴∠∴∠A=A=∠∠D=90°(D=90°(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等) )．．因此，因此，△△ABCABC是直角三角形．是直角三角形．定理：定理： 如果三角形两边的平方和等于第三边的如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形平方，那么这个三角形是直角三角形．． 已知：在已知：在Rt△△ABC和和Rt△△DEF中，中，∠∠C=∠∠F=90°，，AB=DE，，BC=EF求求证：：Rt△△ABC≌ ≌Rt△△DEFDEFCBA证明：在明：在Rt△△ABC中，中，AC2=AB2－－BC2(勾股定理勾股定理)．．在在Rt△△ DEF中，中，DF 2=DE2－－EF2 (勾股定理勾股定理)∵∵ AB=DE，，BC=EF∴∴ AC=DF．．∴∴Rt△△ABC≌ ≌Rt△△DEF (SSS)．．直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理定理：定理：斜边和一条直角边对应相等的两个斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．直角三角形全等． 简称简称 “ “HL”HL” ．． 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质： 定理：定理：线段垂直平分线上的点到线段两个线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．端点的距离相等． 已知：如已知：如图，直，直线MN⊥⊥AB，垂足是，垂足是C，且，且AC=BC，，P是是MN上的点．上的点．求求证：：PA=PB．．证明：明：∵∵MN⊥⊥AB，， ∴∠∴∠PCA=∠∠PCB=90° ∵∵AC=BC，，PC=PC, ∴△∴△PCA≌△≌△PCB(SAS) ；； ∴∴PA=PB(全等三角形的全等三角形的对应边相等相等)．． 已知：已知：线段段AB，点，点P是平面内一点且是平面内一点且PA=PB．．求求证：：P点在点在AB的垂直平分的垂直平分线上．上．证明：明：过点点P作已知作已知线段段AB的垂的垂线PC，， ∵∵ PA=PB，，PC=PC，， ∴∴Rt△△PAC≌ ≌Rt△△PBC(HL)．． ∴∴AC=BC，， 即即P点在点在AB的垂直平分的垂直平分线上．上．CBPA定理：定理：到线段两个端点的距离相等的点到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．在这条线段的垂直平分线上． 定理：定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
并且这一点到三个顶点的距离相等已知：在已知：在△△ABC中，中，设AB、、BC的垂直平分的垂直平分线交于点交于点P.求求证：：P点在点在AC的垂直平分的垂直平分线上．上．证明：明：连接连接AP，，BP，，CP．． ∵∵点点P在段段AB的垂直平分的垂直平分线上，上， ∴∴PA=PB(线段垂直平分段垂直平分线上的点到上的点到线段两段两个端点的距离相等个端点的距离相等)．． 同理同理PB=PC．．∴∴PA=PC．． ∴∴P点在点在AC的垂直平分的垂直平分线上上(到到线段两个端段两个端点距离相等的点点距离相等的点.在在这条条线段的垂直平分段的垂直平分线上上)．． ∴∴AB、、BC、、AC的垂直平分的垂直平分线相交于点相交于点P 已知：如已知：如图，，OC是是∠∠AOB的平分的平分线，点，点P在在OC上，上，PD⊥⊥OA，，PE⊥⊥OB，垂足分，垂足分别为D、、E．．求求证：：PD=PE．．证明：明：∵∠∵∠1=∠∠2，，OP=OP，，∠∠PDO=∠∠PEO=90°，，∴△∴△PDO≌△≌△PEO(AAS)．．∴∴PD=PE(全等三角形的全等三角形的对应边相等相等)角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．这个角的两边的距离相等． 已知：在已知：在∠∠AOB内部有一点内部有一点P，且，且PD⊥⊥OA，，PE⊥⊥OB，，D、、E为垂足且垂足且PD=PE，，求求证：点：点P在在∠∠AOB的角平分的角平分线上．上．证明：明：∵ ∵PD⊥ ⊥OA，，PE⊥ ⊥OB，， ∴∠∴∠PDO=∠ ∠ PEO=90°．． 在 在Rt△△ODP和和Rt△△OEP中中 OP=OP，，PD=PE ∴ ∴Rt△△ODP ≌ ≌ Rt△△OEP(HL)．． ∴∠∴∠1=∠ ∠2(全等三角形全等三角形对应角相等角相等)．．角平分线的判定定理角平分线的判定定理 ：：在一个角的内部，且到在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 已知：如已知：如图，，设△△ABC的角平分的角平分线．．BM、、CN相交于点相交于点P，，求求证：：P点在点在∠∠BAC的角平分的角平分线上．上．证明：明：过P点作点作PD⊥⊥AB，，PF⊥⊥AC，，PE⊥⊥BC，其中，其中D、、E、、F是垂足是垂足∵∵BM是是△△ABC的角平分的角平分线,点点P在在BM上上∴∴PD=PE同理：同理：PE=PF．．∴∴PD=PF．．∴∴点点P在在∠∠BAC的平分的平分线上上∴△∴△ABC的三条角平分的三条角平分线相交于点相交于点P．．定理：定理：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．并且这一点到三条边的距离相等． 。