专题五 从特殊到一般(探索规律) 探索规律问题是中考数学中的常考问题，往往以选择题或填空题中的压轴题形式出现，主要命题方向有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等．基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，最后验证结论的正确性．即“从特殊情形入手→探索发现规律→猜想结论→验证”． 淄博市近几年的中考题中，2017年的第17题考查了图形的变化规律及数式的变化规律，探索规律的题目对培养学生的归纳概括能力有非常积极的作用，应重点复习． 对于在一般情况下难以求解的问题，可运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解．常见情形：用字母表示数；特殊值的应用；特殊图形的应用；用特殊化方法探求结论；用一般规律解题等． 一、数式规律 这类问题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是抓“变”和“不变”，找出“变”和“不变”部分对应的关系，进而得到一般性的结论． 例1 (2017·滨州)观察下列各式： 【分析】 由这些式子可得规律： 【自主解答】 由这些式子可得规律： 【归纳总结】 观察数式之间的变与不变，巧用运算，善于变形，才能发现规律． 1．(2017·日照)观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为( )A．23 B．75 C. 77 D．139B 2．(2016·枣庄)一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1＝ ，an＝ (n≥2，且n为整数)，则a2 016＝______．3．(2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝________． －1 160 000 二、图形变化规律 这类题型一般是给出一组排列的图形，探索图形的变化规律或图形蕴含的数量关系．解答这类问题，首先要观察图形的变化趋势，即是增加还是减少；然后从第一个图形的构成元素开始分析，寻找其中的变化规律或蕴含的数量关系；归纳出结论后，再验证其正确性． 例2 (2017·淄博)设△ABC的面积为1.如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1＝ ；如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2＝ ； 如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3＝ ；… 按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边(n＋1)等分，得到四边形CDnFnEn，其面积Sn＝ ． 【分析】 【自主解答】 【归纳总结】 本题表面是通过图形找规律，其本质是解决数式的变与不变的关系发现规律．而观察图形可以很容易根据图形的增减变化推出要探索的规律． 4．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2、图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( ) A．121 B．362 C．364 D．729√ 5．(2017·潍坊)如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为______个．9n＋3 三、点的坐标规律 这类问题通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决． 例3(2016·威海)如图，点A1的坐标为(1，0)，A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°.过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…；按此规律进行下去，则点A2 016的纵坐标为 ． 【分析】 由图知，当n为奇数时，点An都在x轴上；当n为偶数时，点An都在y轴上．然后根据解直角三角形的知识求出OA1，OA2，OA3，OA4的长，进而推断出OAn的长，再结合2 016是偶数，确定A2 016的纵坐标． 【自主解答】 由题意知，当n为奇数时，点An在x轴上，当n为偶数时，点An在y轴上．在△OA1A2中， ＝tan 30°，即同理 由此求得OA1＝1＝( )0，OA2＝ ，OA3＝( )2，OA4＝( )3，…， 即OAn＝( )n－1，∴OA2 016＝( )2 015.当n＝2，6，10，…时，即n是2的奇数倍时，An在x轴的上方；当n＝4，8，12，…时，即n为2的偶数倍时，An在x轴的下方．∵2 016是2的偶数倍，∴A2 016在x轴的下方，∴A2 016的纵坐标为－( )2 015.故答案为－( )2 015. 【归纳总结】 结合坐标系发现规律不仅要关注图形，还要关注横纵坐标对应的线段长，对学生综合解决问题提出了更高的要求． 6．(2017·菏泽)如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－ x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－ x上，依次进行下去…，若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________． 7．(2017·聊城)如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x.点O1的坐标为(1，0)，以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2；以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3；以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中 的长为_________． 22 015π 。
