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1、ADC5.椭圆 (ab0)的焦点为F1、F2，两条直线 (c2=a2-b2)与x轴的交点为M、N，若MN2|F1F2|,则该椭圆的离心率e的取值范围是.解析：由已知又|MN|2|F1F2|,则从而故故1.椭圆的定义平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数2a ( )的点的轨迹叫椭圆.有|PF1|+|PF2|=2a.在 定 义 中 ， 当 时 ， 表 示 线 段 F1F2;当 时，不表示任何图形.2a|F1F2|2a=|F1F2|2a|F1F2|2.椭圆的标准方程(1) (ab0)，其中a2= b2+ c2，焦点坐标为.(2) (ab0)，其中a2=b2+c2，焦点坐标为.3.椭圆 (ab0)的
2、几何性质(1)范围：|x|a,|y|b，椭圆在一个矩形区域内；F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)(2)对称性：对称轴x=0，y=0，对称中心O(0，0)；一般规律：椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线.(3)顶 点 ： A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b), B2 (0,b)， 长 轴 长|A1A2|= ，短轴长|B1B2|= ;一般规律：椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.2a2b(4)离心率：e= (0e1)，椭圆的离心率在 内，离心率确定了椭圆的形状(扁圆状态).当离心率越接近于时，椭圆越圆；当离心率越
3、接近于时，椭圆越扁平.(0,1)01考点1：椭圆的定义及标准方程例题1：已知椭圆E的两个焦点分别为F1(-1，0)、F2(1，0)，在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程；解析：（1）方法1：依题意，设椭圆E的方程为(ab0).由已知半焦距c=1,所以a2-b2=1 . 因为点在椭圆E上，则 由解得,a2=4,b2=3.所以椭圆E的方程为方法2：依题意，设椭圆E的方程为 (ab0)，因为点在椭圆E上，所以2a=|CF1|+|CF2|=4,即a=2.由已知半焦距c=1,所以b2=a2-c2=3.所以椭圆E的方程为（2）若点P在椭圆E上，且满足求实数t的取值范围.解析：设P（x0,y0),则得(-1-x
4、0,-y0)(1-x0,-y0)=t，即因为点P在椭圆E上，所以由得代入，并整理得由知，综合，解得2t3，所以实数t的取值范围为2，3.点评：求椭圆的标准方程，通常有定义法和待定系数法，应该熟练掌握.运用待定系数法解题时应注意“先定位，后定量”，尤其要注意焦点所在的坐标轴有两种可能的情形.变式训练：分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点（2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点P（-3，0）；（3）焦距是8，离心率是解析：（1）（2）或（3）或点评：求圆锥曲线的标准方程时，除依据条件确定a、b、c的值外，应注意焦点能否换轴，全面考虑问题. 考点考点2 2：椭圆的几何性质椭圆的几何性质变式训
5、练：变式训练：点评：点评：(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a，得到a，c的关系 变式训练：考点3：椭圆的综合问题例题3：椭圆 (ab0)的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1 F1F2, (1)求椭圆C的方程；解析：方法1：（1）因为点P在椭圆C上,所以2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3.在RtPF1F2中，故椭圆的半焦距从而b2=a2-c2=4,所以椭圆C的方程为（2）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M且交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方
6、程. 解析：设A，B坐标分别为（x1,y1）, (x2,y2),已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2,1)，从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1，代入椭圆C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为A，B关于点M对称，所以解得所以直线l的方程为即8x-9y+25=0.（经检验，符合题意）.方法2：（1）同方法1.（2）已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.所以圆心M的坐标为（-2，1），设A，B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，由题意，x1x2,且由得 因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=-
7、4,y1+y2=2,代入得即直线l的斜率为所以直线l的方程为y-1= (x+2),即8x-9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意)点点评评: (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式D来判断直线和椭圆相交、相切或相离 (2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础 (3)若已知圆锥曲线的弦的中点坐标，可设出弦的端点坐标，代入方程，用点差法求弦的斜率，注意求出方程后，通常要检验拓展训练：拓展训练：从圆x2+y2=4上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q,点M在线段PQ上，且 (01).
8、(1)求点M的轨迹C的方程；解析：设P(a,b), M(x,y),则Q(a,0).由QM=QP, PQx轴，得x=a y=b，则又点P（a,b)在圆x2+y2=4上，代入得点M的轨迹方程为a=xb=y.(2)若曲线C上的点M到A(0,-2)的最远距离为3，求的值.解析：因为|MA|2=x2+(y+2)2,又所以 (y-2,2).其图象开口向下，对称轴所以当且(0,1)，即时，对称轴在区间-2,2的右边，故当y=2时，令42+8+4=9,解得或不合要求，舍去.当且(0,1)，即时，对称轴在区间-2,2的中间，故当时，解得为所求.1.在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点的距离时，应利用定义求解.2.求椭
9、圆方程的方法，除了直接根据定义法外，常用待定系 数 法 .当 椭 圆 的 焦 点 位 置 不 明 确 ， 可 设 方 程 为 (m0,n0),或设为Ax2+By2=1(A0,B0). 3椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c. 4焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为 ，把这个弦叫做椭圆的通径 5求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2=a2-c2就可求得e(0e1) 6从一焦点发出的光线，经过椭圆(面)的反射，反射光线必经过椭圆的另一个焦点 7过椭圆外一点求椭圆的切线，一般用判别式=0求斜率，也可设切点后求导数(斜率)易错点：忽视了焦点位置易错点：忽视了焦点位置例题：例题：错解：错误分析：由于所给椭圆焦点的位置不确定，即焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以应分两种情况求解
