第一章第一章 场论及张量初步场论及张量初步 主要内容主要内容u (A) 场论：梯度，散度，旋度u (B) 张量：二阶张量 1.1 1.1 场的定义及分类场的定义及分类 场：在空间中的某个区域内定义的标量函数或场：在空间中的某个区域内定义的标量函数或矢量函数矢量函数标量场矢量场r是空间点矢径，是空间点矢径， x,y,z是是r的直角坐标，的直角坐标，t是时是时间参数间参数 地形等高线图地形等高线图 圆管横截面上的颗粒浓度场分布圆管横截面上的颗粒浓度场分布 圆管横截面上的气流压力场分布圆管横截面上的气流压力场分布 全国范围内温度场分布全国范围内温度场分布 速度场速度场 速度场速度场 速度场速度场 电场电场 磁场磁场 均匀场：同一时辰场内各点均匀场：同一时辰场内各点函数值都相等函数值都相等定常场：场内函数值不随时定常场：场内函数值不随时间间t改动改动均匀场定常场 1.1 1.1 场的几何表示场的几何表示等高线等高线根据等高线的相对位置、疏密程度根据等高线的相对位置、疏密程度看出标量函数看出标量函数-高度的变化情况高度的变化情况 矢量场的几何表示矢量场的几何表示矢量的大小是一个标量，可以用等位矢量的大小是一个标量，可以用等位面的概念来几何表示，矢量的方向那面的概念来几何表示，矢量的方向那么采用矢量线来表示。
么采用矢量线来表示矢量线：线上每一点的切线方向与该矢量线：线上每一点的切线方向与该点的矢量方向重合点的矢量方向重合 根据矢量定义有：根据矢量定义有：直角坐标方式：直角坐标方式： 1.3 1.3 梯度梯度- -标量不均匀性的量度标量不均匀性的量度对于给定标量场对于给定标量场 (r,t)，用它的梯，用它的梯度来阐明在任一时辰标量场中每点邻度来阐明在任一时辰标量场中每点邻域内的函数变化域内的函数变化函数在函数在M点上沿曲线点上沿曲线S方方向的方导游数：向的方导游数：阐明函数明函数φ(r,t)在在M点上点上沿曲沿曲线S方向的方向的变化率化率 证明：其他方向的方导游数可以由过证明：其他方向的方导游数可以由过M点的法点的法线方向上的方导游数来表示线方向上的方导游数来表示 当M1无限接近M时，近似为过M1点的切线 函数函数 在在n方向的方导游数最大，在方向的方导游数最大，在n方向变方向变化最快 梯度：存在这样一个矢量，其方向为过梯度：存在这样一个矢量，其方向为过M点的等位面法线方向，大小为这个方向点的等位面法线方向，大小为这个方向上的方导游数，这个矢量为函数在上的方导游数，这个矢量为函数在M点的点的梯度，用它来描画梯度，用它来描画M点邻域内函数的变化点邻域内函数的变化情况，是标量场不均匀性的量度。
情况，是标量场不均匀性的量度 其他方向的方导游数可以由过其他方向的方导游数可以由过M点的梯度点的梯度的大小来表示的大小来表示 梯度在直角坐标系中的表达式梯度在直角坐标系中的表达式 梯度的主要性质梯度的主要性质 梯度的主要性质梯度的主要性质定理定理1 梯度梯度 满足关系式：满足关系式：反之，假设反之，假设那么那么 梯度的主要性质梯度的主要性质正定理证明：正定理证明： 知标量函数知标量函数 的全微分：的全微分： 梯度的直角坐标方式：梯度的直角坐标方式： 梯度的主要性质梯度的主要性质 物理意义：函数物理意义：函数 在在M点点dr方向的增量方向的增量等于等于M点处的梯度在点处的梯度在dr方向的投影方向的投影 梯度的主要性质梯度的主要性质定理定理2 假设假设 a=grad ，且，且 是矢径是矢径r的单值的单值函数，那么沿封锁曲线函数，那么沿封锁曲线L的线积分：的线积分：反之，假设矢量反之，假设矢量a沿任一封锁曲线沿任一封锁曲线L的线积分的线积分那么矢量那么矢量a必为某一标量函数的梯度，即必为某一标量函数的梯度，即 a=grad 梯度的主要性质梯度的主要性质正定理证明：正定理证明：由于由于 是矢径是矢径r的单值函数，那么沿封锁曲线的单值函数，那么沿封锁曲线L的线积分：的线积分： 1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散度散度. .奥高定理奥高定理对于给定的矢量场对于给定的矢量场a(r,t) ,在场内取一曲面在场内取一曲面S，并在，并在S上取一面积元上取一面积元dS，在，在dS上取一点上取一点M，，n为为S面上过面上过M点的法线方向的单位矢量点的法线方向的单位矢量an：矢量：矢量a在法线方向的投影在法线方向的投影an dS:矢量矢量a经过面积元经过面积元dS的通量的通量 1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散度散度. .奥高定理奥高定理在整个曲面上积分，得矢量在整个曲面上积分，得矢量a经过经过S面的通量面的通量本质上相当于函数的面积分本质上相当于函数的面积分 1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散度散度. .奥高定理奥高定理当当S面为封锁曲面时，通量为：面为封锁曲面时，通量为： 1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散度散度. .奥高定理奥高定理当封当封锁曲面曲面S包包围的体的体积为V，用矢量，用矢量a的通量的通量除以除以V(求求单位体位体积的通量的通量)，且当，且当V→0时，将，将极限定极限定义为矢量矢量a的散度：的散度： 1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散度散度. .奥高定理奥高定理证明当矢量证明当矢量a具有延续一阶偏导数时，此极限具有延续一阶偏导数时，此极限(即散度存在即散度存在由高等数学中的奥高定理得：由高等数学中的奥高定理得：本质上是面积分与体积分之间的关系本质上是面积分与体积分之间的关系 1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散度散度. .奥高定理奥高定理因体积分中被积函数是延续的，根据中因体积分中被积函数是延续的，根据中值定理可知，可以在积分体上找到确定值定理可知，可以在积分体上找到确定的一个点的一个点Q，满足：，满足：函数在体积V上的积分在积分体上Q点处的函数值留意：留意：Q点是积分体上的一个确定点点是积分体上的一个确定点 1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散度散度. .奥高定理奥高定理 1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散度散度. .奥高定理奥高定理 1.4 1.4 矢量的通量矢量的通量. .散度散度. .奥高定理奥高定理 1.5 1.5 无源场及其性质无源场及其性质diva=0的矢量场称为无源场或管式场。
的矢量场称为无源场或管式场具有以下主要性质：具有以下主要性质：(1) 无源矢量无源矢量a经地矢量管任一横截面经地矢量管任一横截面上的通量坚持同一数值上的通量坚持同一数值(2) 矢量管不能在场内发生或终止矢量管不能在场内发生或终止3) 无源矢量无源矢量a经过张于知周线经过张于知周线L的一切曲的一切曲面面S上的通量均一样，此通量只依赖于周上的通量均一样，此通量只依赖于周线线L而与所张曲面而与所张曲面S的外形无关的外形无关 1.6 1.6 环量环量. . 旋度旋度. . 斯托克斯定理斯托克斯定理对于给定的矢量场对于给定的矢量场a(r,t) ,在场内取一曲线在场内取一曲线L作线积分作线积分假设假设L为封锁曲线，那么矢量为封锁曲线，那么矢量a沿沿L的环量为：的环量为： 1.6 1.6 环量环量. . 旋度旋度. . 斯托克斯定理斯托克斯定理对于给定的矢量场对于给定的矢量场a(r,t) ,在场内取一点在场内取一点M，，围绕围绕M取无限小封锁曲线取无限小封锁曲线L，张于，张于L上的曲面上的曲面为为S，按右手螺旋法那么定义，按右手螺旋法那么定义S的法线方向的法线方向n 1.6 1.6 环量环量. . 旋度旋度. . 斯托克斯定理斯托克斯定理作矢量作矢量a沿曲线沿曲线L的环量并除以曲面面积的环量并除以曲面面积S，，当当L向向M点收缩，面积点收缩，面积S趋于趋于0时，定义矢量时，定义矢量a的旋度矢量的旋度矢量rota在在n方向的投影为：方向的投影为： 1.6 1.6 环量环量. . 旋度旋度. . 斯托克斯定理斯托克斯定理极限存在的证明：极限存在的证明：Stockes公式：线积分与面积分的关系公式：线积分与面积分的关系中值公式：面积分与函数值的关系中值公式：面积分与函数值的关系 1.6 1.6 环量环量. . 旋度旋度. . 斯托克斯定理斯托克斯定理极限存在的证明：极限存在的证明：Stockes公式：线积分与面积分的关系公式：线积分与面积分的关系中值公式：面积分与函数值的关系中值公式：面积分与函数值的关系 1.6 1.6 环量环量. . 旋度旋度. . 斯托克斯定理斯托克斯定理Stockes公式：线积分与面积分的关系公式：线积分与面积分的关系 1.7 1.7 无旋场及其性质无旋场及其性质rota=0的矢量场称为无旋场的矢量场称为无旋场梯度的性质定理梯度的性质定理2(书中书中P8-9) 1.7 1.7 无旋场及其性质无旋场及其性质 1.8 1.8 微分算子微分算子- -微分及矢量运算法那微分及矢量运算法那么么拉普拉斯算子：只进展微分运算拉普拉斯算子：只进展微分运算 1.8 1.8 微分算子微分算子- -微分及矢量运算法那微分及矢量运算法那么么哈密顿算子：一方面是一个矢量，在运算时哈密顿算子：一方面是一个矢量，在运算时要符合矢量代数和矢量分析中的一切法那么；要符合矢量代数和矢量分析中的一切法那么；另一方面又是一个微分算子，只对位于算子另一方面又是一个微分算子，只对位于算子右边的量发生微分作用右边的量发生微分作用 1.8 1.8 微分算子微分算子- -微分及矢量运算法那微分及矢量运算法那么么用哈密顿算子的方式表示梯度、散度和旋度用哈密顿算子的方式表示梯度、散度和旋度 1.8 1.8 微分算子微分算子- -微分及矢量运算法那微分及矢量运算法那么么用哈密顿算子的方式表示梯度、散度和旋度用哈密顿算子的方式表示梯度、散度和旋度 1.9 1.9 矢量与标量场的根本运算公式矢量与标量场的根本运算公式 1.9 1.9 矢量与标量场的根本运算公式矢量与标量场的根本运算公式 1.9 1.9 矢量与标量场的根本运算公式矢量与标量场的根本运算公式矢量运算根本法那么矢量运算根本法那么 (B) (B) 张量初步张量初步 张量的定义张量的定义二阶张量二阶张量对称张量与反对称张量对称张量与反对称张量张量分解定理张量分解定理共轭张量共轭张量 张量的定义张量的定义张量〔量〔tensor)是几何与代数中的根本概念是几何与代数中的根本概念之一。
从代数角度之一从代数角度讲，， 它是矢量的推行它是矢量的推行我我们知道，知道， 矢量可以看成一矢量可以看成一维的的“表格〞表格〞〔即各分量按照〔即各分量按照顺序排成一排〕，即一序排成一排〕，即一阶张量；量； 矩矩阵是二是二维的的“表格〞〔各分量按表格〞〔各分量按照照纵横位置横位置陈列〕，即二列〕，即二阶张量；量； 那么那么n阶张量就是所量就是所谓的的n维的的“表格〞 张量的定义张量的定义从物理意义上来说，张量〔从物理意义上来说，张量〔tensor)是一个在是一个在三维坐标系中具有三维坐标系中具有3r个分量的物理量个分量的物理量应力张量应力张量应变张量应变张量 二阶张量二阶张量(32=9个分量个分量) 二阶共轭张量二阶共轭张量(转置转置) 二阶对称张量：六个未知分量二阶对称张量：六个未知分量 二阶反对称张量：三个未知分量二阶反对称张量：三个未知分量 张量分解定理张量分解定理二阶张量可以独一地分解成为一个对称张二阶张量可以独一地分解成为一个对称张量和一个反对称张量之和量和一个反对称张量之和 二阶共轭张量二阶共轭张量(转置转置) 二阶对称张量二阶对称张量 二阶反对称张量二阶反对称张量 。