§10.不变子群、商群不变子群、商群•10.1 定义定义•10.2 例子例子•10.3 等价条件等价条件•10.4 商群商群近世代数课件不变子群商群 10.1 定义定义这一节里要讲到一种重要的子群，就是不变子群． 给了一个群 ，一个子群 ，那么 的一个右陪集 未必等于 的左陪集 ，这一点我们在上一节的例２里已经看到．近世代数课件不变子群商群 一个不变子群 的一个左(或右)陪集叫做 的一个陪集一个陪集. 意味着: 吗? 反过来呢? 在元素间意味着什么?不变子群又称为正规子群注1.注2.注3.注4. 定义定义 一个群 的一个子群 叫做一个不变子不变子群群,假如对于 的每一个元 来说,都有 近世代数课件不变子群商群 10.2 例子例子例１例１ 一个任意群 的子群 和 总是不变子群，因为对于任意 的元 来说，例２例２ 刚好包含群 的所有有以下性质的元 ， ，不管 是 的哪一个元证明: 是 的一个不变子群．近世代数课件不变子群商群 证明证明: (2) . 的每一个元 可以同 的每一个元 (3) 交换，所以 ，即 是不变子群．(1) 是子群.因为 ，所以 是非空的．这就是说， 是一个子群． ， 又这个不变子群 叫做 的中心中心．近世代数课件不变子群商群 例３例３ 一个交换群 的每一个子群 都是不变子群．因为 的每一个元 可以和任意一元 交换， ，所以对于一个子群 来说， 例４例４ ．那么 ， ， 是一个不变子群．从这个例子可以总结出一般性结论吗?注5.近世代数课件不变子群商群 10.3 等价条件等价条件现在复习一下群 的子集的乘积: 设A，B是群 的两个非空子集,规定，容易证明:，由于结合律成立, ， ，…， 的乘积用符号 来表示．近世代数课件不变子群商群 定理１定理１ 一个群 的一个子群 是一个不变子群的充分而且必要条件是：对于 的任意一个元 都对．证明证明 …………证完 注5. 可以换成 ?近世代数课件不变子群商群 证明证明 这个条件的必要性是显然的，是定理１的直接结果．我们证明它也是充分的．定理２定理２ 一个群 的一个子群 是一个不变子群的充分而且必要条件是：，条件 意味着（＊） 因为 也是 的元，在（＊）中以 代 ,…………证完近世代数课件不变子群商群 要测验一个子群是不是不变子群，用定理２的条件一般比较方便．注6.用定理２的条件可以改写成，注7.等价于 注8.等价于‥‥‥？？注9.近世代数课件不变子群商群 小结:群 的一个子群 , ， .下面条件等价:1. 2.3. 4.注意: 不变子群不具有传递性.近世代数课件不变子群商群 10.4 商群商群 不变子群所以重要，是因为这种子群的陪集，对于某种与原来的群有密切关系的代数运算来说，也作成一个群． 我们看一个群 的一个不变子群 的所有陪集作成一个集合近世代数课件不变子群商群 (1) 相对 :是一个元素, 相对 :是一 个子集.(2) 有不同的表示方式.(3) 的子集的乘积,计算两个陪集 和 的 成绩 定理３定理３ 一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说作成一个群．近世代数课件不变子群商群 证明证明 我们证明群定义的条件Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ 能被满足．Ⅰ．显然．Ⅱ． Ⅳ． 是单位元,因为Ⅴ 有逆元 ,因为证完近世代数课件不变子群商群 定义定义 一个群 的一个不变子群 的陪集所作成的群叫做一个商群商群．这个群我们用符号 来表示． 因为 的指数就是 的陪集的个数，我们显然有，商群 的元的个数等于 的指数．当 是有限群的时候，近世代数课件不变子群商群 从商群的角度重新认识剩余类加群第一，回忆剩余类加群。
第二，重新认识 设近世代数课件不变子群商群 •作业:•P74: 2,3,4近世代数课件不变子群商群 。