第五章第五章 各项异性板各项异性板 l各各向异性体的物理方程异性体的物理方程l各各向异性的平面应力问题异性的平面应力问题l各各向异性的小挠度弯曲问题异性的小挠度弯曲问题l小挠度弯曲问题的经典解法小挠度弯曲问题的经典解法l变分法解小挠度弯曲问题变分法解小挠度弯曲问题l屈曲问题和振动问题屈曲问题和振动问题第五章第五章 各向异性板各向异性板 l各各向同性体向同性体：如果所有各个方向的材料参数都相同，就称为：如果所有各个方向的材料参数都相同，就称为各向同性体各向同性体l各各向异性体向异性体：如果所有各个方向的材料参数都不完全相同，：如果所有各个方向的材料参数都不完全相同，就称为各向异性体就称为各向异性体l极端极端各各向异性体：如果任意两个方向的材料参数都不完全相向异性体：如果任意两个方向的材料参数都不完全相同，就称为极端各向异性体同，就称为极端各向异性体 l在极端各在极端各向异性体中，每个应力分量都将引起全部向异性体中，每个应力分量都将引起全部6个应变分个应变分量物理方程将取如下的普遍形式：量物理方程将取如下的普遍形式： §5.1各向异性体的物理方程各向异性体的物理方程 l有有36个刚度系数个刚度系数Cij，但是由，但是由张量张量分析或分析或实验测量实验测量，可以，可以证明证明Cij= Cji。
于是物理方程中只有于是物理方程中只有21个独立的刚度系数个独立的刚度系数l如果材料存在对称面，则弹性常数将会减少如果材料存在对称面，则弹性常数将会减少xy面是弹面是弹性对称面，垂直于性对称面，垂直于xy面的面的z轴为弹性主向由对称性可知，轴为弹性主向由对称性可知，应力分量应力分量 都不会引起都不会引起 和和 ，因为上述四，因为上述四个应力分量是对称于个应力分量是对称于xy面的，而上述应变分量是反对称面的，而上述应变分量是反对称于于xy面的所以物理方程简化为：面的所以物理方程简化为： §5.1各向异性体的物理方程各向异性体的物理方程 l独立的刚度系数有独立的刚度系数有13个个l正交各正交各向异性体向异性体：如果弹性体具有三个相互正交的三个：如果弹性体具有三个相互正交的三个弹性对称面，也就是具有互相正交的三个弹性主向，则弹性对称面，也就是具有互相正交的三个弹性主向，则该弹性体称为正交各向异性体该弹性体称为正交各向异性体。
l以三个弹性主向为坐标轴，物理方程得到进一步简化以三个弹性主向为坐标轴，物理方程得到进一步简化§5.1各向异性体的物理方程各向异性体的物理方程 l独立的刚度系数有独立的刚度系数有9个个正应变只与正应力有关，剪应正应变只与正应力有关，剪应变只与相应的剪应力有关变只与相应的剪应力有关§5.1各向异性体的物理方程各向异性体的物理方程 l薄板的平面应力问题：当薄板在边界上受有平行于板面薄板的平面应力问题：当薄板在边界上受有平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化沿厚度变化l假设薄板的中面假设薄板的中面xy面是对称面，则整个薄板都有：面是对称面，则整个薄板都有：l应力分量应力分量 只是只是x和和y的函数l平衡方程平衡方程：：l如果体力如果体力X和和Y都是常数，则应力分量变为：都是常数，则应力分量变为：§5.2各向异性板的平面应力问题各向异性板的平面应力问题 l几何方程几何方程仍为：仍为：l上式消去位移分量，得到上式消去位移分量，得到相容方程相容方程：：l由于平面应力问题的由于平面应力问题的 ，所以各，所以各向异性板平面应力问题的物理方程为：向异性板平面应力问题的物理方程为：l把用应力函数表示的应力分量代入上式，再代入相容方程把用应力函数表示的应力分量代入上式，再代入相容方程§5.2各向异性板的平面应力问题各向异性板的平面应力问题 l得到用应力函数表示的相容方程：得到用应力函数表示的相容方程：l如果应力函数取为如果应力函数取为x和和y的的不超过不超过3次幂次幂的多项式，总可以的多项式，总可以满足相容方程，应力分量与刚度系数（弹性常数）无关，满足相容方程，应力分量与刚度系数（弹性常数）无关，对应于应力边界问题，各向异性板的应力分量与各向同性对应于应力边界问题，各向异性板的应力分量与各向同性板中完全相同。
但是应变和位移不同板中完全相同但是应变和位移不同l如果应力函数中包含如果应力函数中包含x和和y的的4次幂或次幂或4次幂以上次幂以上的项，则应的项，则应力分量与刚度系数（弹性常数）有关，与各向同性板中并力分量与刚度系数（弹性常数）有关，与各向同性板中并不相同§5.2各向异性板的平面应力问题各向异性板的平面应力问题 l即便是各向异性的薄板，只要它的中面是对称面，并且挠即便是各向异性的薄板，只要它的中面是对称面，并且挠度远小于厚度，原来薄板小挠度弯曲理论的假设仍然可用，度远小于厚度，原来薄板小挠度弯曲理论的假设仍然可用，因此几何方程仍为：因此几何方程仍为：l但物理方程却不同，各向异性板小挠度弯曲问题的物理方但物理方程却不同，各向异性板小挠度弯曲问题的物理方程写为：程写为：l和平面应力问题的物理方程相同，利用几何方程和物理方和平面应力问题的物理方程相同，利用几何方程和物理方程，得到用挠度表示的应力分量程，得到用挠度表示的应力分量§5.3各向异性板的小挠度弯曲问题各向异性板的小挠度弯曲问题 l其中：其中：§5.3各向异性板的小挠度弯曲问题各向异性板的小挠度弯曲问题 l而：而：l将弯矩和扭矩用挠度表示为：将弯矩和扭矩用挠度表示为：§5.3各向异性板的小挠度弯曲问题各向异性板的小挠度弯曲问题其中：其中： l薄板平衡方程与材料参数没有关系，所以针对各向同性板薄板平衡方程与材料参数没有关系，所以针对各向同性板导出的平衡方程也适用于各向异性板导出的平衡方程也适用于各向异性板l把用挠度表示的弯矩及扭矩表达式代入上式得：把用挠度表示的弯矩及扭矩表达式代入上式得：l对于对于正交各向异性板正交各向异性板，物理方程简化为：，物理方程简化为：l应力分量为：应力分量为：§5.3各向异性板的小挠度弯曲问题各向异性板的小挠度弯曲问题 l将几何方程代入得应力分量与挠度的关系：将几何方程代入得应力分量与挠度的关系：§5.3各向异性板的小挠度弯曲问题各向异性板的小挠度弯曲问题 l用挠度表示的弯矩及扭矩表达式为：用挠度表示的弯矩及扭矩表达式为：l其中：其中：§5.3各向异性板的小挠度弯曲问题各向异性板的小挠度弯曲问题 l代入薄板弯曲平衡方程得代入薄板弯曲平衡方程得l其中：其中：§5.3各向异性板的小挠度弯曲问题各向异性板的小挠度弯曲问题 l在各向异性板中，只有在各向异性板中，只有正交各向异性板正交各向异性板可以用经典方法求解。
可以用经典方法求解l四边简支矩形薄板，假定弹性主向和边界平行，取坐标轴如下四边简支矩形薄板，假定弹性主向和边界平行，取坐标轴如下图所示，边界条件方程为：图所示，边界条件方程为：l挠度表达式取为：挠度表达式取为：§5.4 小挠度弯曲问题的经典解法小挠度弯曲问题的经典解法 l满足所有边界条件：满足所有边界条件：l将横向载荷将横向载荷q展开成同一形式的双三角级数得到展开成同一形式的双三角级数得到l其中其中l代入到正交各向异性板的小挠度弯曲微分方程：代入到正交各向异性板的小挠度弯曲微分方程：l再将方程两边再将方程两边 的系数进行对比，得到的系数进行对比，得到§5.4 小挠度弯曲问题的经典解法小挠度弯曲问题的经典解法 l当当 时，变为各向同性板的解答：时，变为各向同性板的解答：§5.4 小挠度弯曲问题的经典解法小挠度弯曲问题的经典解法 l如果不是正交各向异性板，或弹性主向不沿板如果不是正交各向异性板，或弹性主向不沿板的边界，将挠度表达式和载荷代入到一般各项的边界，将挠度表达式和载荷代入到一般各项异性板的弯曲微分方程后，方程两端级数不同，异性板的弯曲微分方程后，方程两端级数不同，我们无法比较系数，因而不可能得到解答。
我们无法比较系数，因而不可能得到解答§5.4 小挠度弯曲问题的经典解法小挠度弯曲问题的经典解法 l两对边简支正交各向异性矩形薄板，假定弹性主向和边界平行，两对边简支正交各向异性矩形薄板，假定弹性主向和边界平行，取坐标轴如下图所示，左右两边简支边界条件方程为：取坐标轴如下图所示，左右两边简支边界条件方程为：l挠度表达式取为：挠度表达式取为：§5.4 小挠度弯曲问题的经典解法小挠度弯曲问题的经典解法 l将横向载荷将横向载荷q展开成同一形式的单三角级数得到展开成同一形式的单三角级数得到l其中其中l代入到正交各向异性板的小挠度弯曲微分方程：代入到正交各向异性板的小挠度弯曲微分方程：l再将方程两边再将方程两边 的系数进行对比，得到的系数进行对比，得到§5.4 小挠度弯曲问题的经典解法小挠度弯曲问题的经典解法 l常微分非齐次方程的解答包含两部分常微分非齐次方程的解答包含两部分–任意一个特解任意一个特解fm(y)–对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解Fm(y)l对应特征方程为：对应特征方程为：l依据抗弯刚度依据抗弯刚度D1，，D2和和D3的不同取值，可能出现三种不同情的不同取值，可能出现三种不同情况：况：– ，这时，特征方程有四个互不相等的实根，这时，特征方程有四个互不相等的实根 通解将成为：通解将成为：§5.4 小挠度弯曲问题的经典解法小挠度弯曲问题的经典解法 l ，这时，特征方程有两两互等的实根，这时，特征方程有两两互等的实根 通解将成为：通解将成为：l ，这时，特征方程将具有两对复根，这时，特征方程将具有两对复根 通解将成为：通解将成为：l通解中的待定系数通解中的待定系数Am，， Bm ，， Cm ，， Dm可以用另两对边的边可以用另两对边的边界条件得到。
界条件得到§5.4 小挠度弯曲问题的经典解法小挠度弯曲问题的经典解法 lRitz法法 Galerkin法法l薄板小挠度弯曲问题，用应力分量和应变分量表示的变形势薄板小挠度弯曲问题，用应力分量和应变分量表示的变形势能表达式是：能表达式是：l将将正交各项异性板正交各项异性板的几何方程和物理方程代入到上式，然后的几何方程和物理方程代入到上式，然后对对z进行积分，得到正交各项异性板用挠度表示的变形势能表进行积分，得到正交各项异性板用挠度表示的变形势能表达式：达式：§5.5 变分法解小挠度弯曲问题变分法解小挠度弯曲问题 l将将一般各项异性板一般各项异性板的几何方程和物理方程代入到势能表达式，的几何方程和物理方程代入到势能表达式，然后对然后对z进行积分，得到一般各项异性板用挠度表示的变形势进行积分，得到一般各项异性板用挠度表示的变形势能表达式：能表达式：§5.5 变分法解小挠度弯曲问题变分法解小挠度弯曲问题 lRitz法法l取挠度表达式为：取挠度表达式为：l其中其中wm为满足位移边界条件的设定函数，为满足位移边界条件的设定函数，Cm是待定系数，应用是待定系数，应用方程：方程：l得到得到l这是关于这是关于Cm的代数方程，可以求解的代数方程，可以求解Cm ，从而确定挠度。
从而确定挠度§5.5 变分法解小挠度弯曲问题变分法解小挠度弯曲问题 l例：四边固定正交各向异性矩形薄板例：四边固定正交各向异性矩形薄板，弹性主向沿坐标方向，，弹性主向沿坐标方向，受均布横向载荷受均布横向载荷q0的作用§5.5 变分法解小挠度弯曲问题变分法解小挠度弯曲问题 l取挠度表达式为：取挠度表达式为：l满足边界条件：满足边界条件：l代入到变形能表达式：代入到变形能表达式：l得得§5.5 变分法解小挠度弯曲问题变分法解小挠度弯曲问题 l另一方面：另一方面：l代入到代入到 ，求出，求出C1，代入到挠度表达式得：，代入到挠度表达式得：l对于各向同性板，对于各向同性板， ，得到：，得到：§5.5 变分法解小挠度弯曲问题变分法解小挠度弯曲问题 l如果把挠度的表达式取为：如果把挠度的表达式取为：l满足边界条件按，按照同样的过程，得到：满足边界条件按，按照同样的过程，得到：§5.5 变分法解小挠度弯曲问题变分法解小挠度弯曲问题 lGalerkin法法：：l对于各向同性板，对于各向同性板，Galerkin方程可以写成：方程可以写成：l其中其中 是各向同性板小挠度弯曲基本微分方程的左端：是各向同性板小挠度弯曲基本微分方程的左端：l正交各向异性板的弯曲微分方程为：正交各向异性板的弯曲微分方程为：l正交各向异性板的正交各向异性板的Galerkin方程可以写成方程可以写成§5.5 变分法解小挠度弯曲问题变分法解小挠度弯曲问题 l一般各向异性板的弯曲微分方程为：一般各向异性板的弯曲微分方程为：l正交各向异性板的正交各向异性板的Galerkin方程可以写成方程可以写成§5.5 变分法解小挠度弯曲问题变分法解小挠度弯曲问题 l引入新的微分算子引入新的微分算子l各向同性板的弯曲微分方程为：各向同性板的弯曲微分方程为：l微分算子微分算子l正交各向异性板的弯曲微分方程为：正交各向异性板的弯曲微分方程为：l引入新的微分算子引入新的微分算子§5.6 屈曲问题和振动问题屈曲问题和振动问题 l正交各向异性板的弯曲微分方程变为：正交各向异性板的弯曲微分方程变为：l正交各向异性板的屈曲微分方程为正交各向异性板的屈曲微分方程为l这一微分方程可以用来求解屈曲临界载荷。
具体计算时，与正这一微分方程可以用来求解屈曲临界载荷具体计算时，与正交各向同性板相同交各向同性板相同–先求出用纵向载荷表示的中面内力先求出用纵向载荷表示的中面内力–假设挠度的表达式假设挠度的表达式–代入屈曲微分方程代入屈曲微分方程–分析该方程满足边界条件的非零解条件，即得屈曲临界载荷分析该方程满足边界条件的非零解条件，即得屈曲临界载荷§5.6 屈曲问题和振动问题屈曲问题和振动问题 l一般各向异性板的弯曲微分方程：一般各向异性板的弯曲微分方程：l引入新的算子引入新的算子l一般各向异性板的弯曲微分方程变为：一般各向异性板的弯曲微分方程变为：l一般各向异性板的屈曲微分方程变为一般各向异性板的屈曲微分方程变为§5.6 屈曲问题和振动问题屈曲问题和振动问题 l振动问题振动问题l各向同性板的自由振动微分方程为：各向同性板的自由振动微分方程为：l引入新的算子，得到引入新的算子，得到正交各向异性板正交各向异性板的自由振动微分方程的自由振动微分方程l一般一般各向异性板的自由振动微分方程：各向异性板的自由振动微分方程：l方程通解仍然取为：方程通解仍然取为：§5.6 屈曲问题和振动问题屈曲问题和振动问题 l代入到代入到正交各向异性板正交各向异性板的自由振动微分方程，得到关于振型的的自由振动微分方程，得到关于振型的微分方程：微分方程：l由边界条件，利用非零解的条件，得到固有频率由边界条件，利用非零解的条件，得到固有频率l各向同性板的强迫振动微分方程：各向同性板的强迫振动微分方程：l更改算子，得到更改算子，得到正交各向异性板和一般各向异性板的正交各向异性板和一般各向异性板的强迫振动强迫振动微分方程：微分方程：§5.6 屈曲问题和振动问题屈曲问题和振动问题 作业l徐芝纶徐芝纶“弹性力学（下）弹性力学（下）”习题习题17-1，，17-5，，17-7 。