推广推广第八章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 PS: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数微分学 1 一、平面点集一、平面点集二、二元函数的概念二、二元函数的概念三、二元函数的极限三、二元函数的极限四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性第一节第一节多元函数的基本概念多元函数的基本概念 2 一、平面点集一、平面点集点点P与数与数之间的关系之间的关系在一维空间中，在一维空间中，与与有序实数组有序实数组就建立了一一对应的关系就建立了一一对应的关系在二维空间中对应的点在二维空间中对应的点之间之间3 的的全体构成了全体构成了坐标平面坐标平面；； 记为：记为：若平面点的集合若平面点的集合E由具有某种性质的点由具有某种性质的点的的全体组成，记为：全体组成，记为：如：如：4 邻域：邻域：点集点集称为点称为点 P0 的的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上在平面上, ,( (圆邻域圆邻域) )在空间中在空间中, ,( (球邻域球邻域) )说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为记为基本概念：基本概念：5 例如，例如，在平面上在平面上开区域开区域闭区域闭区域 6 二、二元函数的概念二、二元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积圆柱体的体积 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式7 定义定义1. 设非空点集设非空点集点集点集 D 称为函数的称为函数的定义域定义域 ; 数集数集称为函数的称为函数的值域值域 . .特别地特别地 , 当当 n = 2 时时, 有有二元函数二元函数当当 n = 3 时时, 有三元函数有三元函数则称则称 u 为定义为定义在在 D 上的上的 n 元函数元函数 , 记作记作若对若对D 内的任意一点内的任意一点P,变量变量 u 按照一定的法则总有唯一确定的值与它对应，按照一定的法则总有唯一确定的值与它对应，8 函数函数表示对应法则，此法则也可用表示对应法则，此法则也可用其他字母来表示，函数也可记成其他字母来表示，函数也可记成设点设点是是定义域内的一点，定义域内的一点， 有唯有唯一确定的值与它对应。
一确定的值与它对应 这个值就称为二元函数这个值就称为二元函数在点在点处的处的函数值函数值，记作：，记作：用用点函数点函数表示：表示：在点在点处的函数值：处的函数值：9 若若函数函数在点在点处处对应有函数值存在，对应有函数值存在，则称此则称此函数在点函数在点处是处是有有定义定义的，否则称此函数的，否则称此函数在点在点处处无无定义定义例例1：：求求的的定义域，并作其图形定义域，并作其图形解：解：由反三角函数的定义知：由反三角函数的定义知：其其点集介于直线点集介于直线之间之间10 例如例如, 二元函二元函数数定义域为定义域为圆域圆域图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面.11 二元函数二元函数 z = f (x, y), (x, y) D为空间曲面为空间曲面 .说明说明的图形一般为的图形一般为12 13 14 三、二元函数的极限三、二元函数的极限定义定义2. 设设 二二 元函数元函数点点 ,则称则称 A 为函数为函数(也称为也称为 二二 重极限重极限)若记若记二元函数的极限可写作：二元函数的极限可写作：P0 是是 D 的内的内若存在常数若存在常数 A ,对一切对一切记作记作都有都有对任意正数对任意正数 , 总存在正数总存在正数 ,15 例例1. 设求证：证证:故16 或或例例2例例317 例例4 求求解解: 此函数定义域此函数定义域不包括不包括 x , y 轴轴则则原式＝原式＝18 求极限求极限 解解其中其中例例5 519 函数趋于不同值或有的极限不存在，函数趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定则可以断定以不同方式趋于以不同方式趋于函数极限不存在函数极限不存在 .注注 (1) 二元函数求极限中，二元函数求极限中，点点必须是以任何方式都有必须是以任何方式都有 若当点若当点(2) 有关一元函数极限的运算法则和定理有关一元函数极限的运算法则和定理,以及以及无穷小的概念和定理都可以直接类推到二元函数无穷小的概念和定理都可以直接类推到二元函数.20 例例6. 讨论函数讨论函数在点在点 (0, 0) 的极限的极限.解解: 此函数必有此函数必有1. 当点当点2. 当点当点21 设设 P(x , y) 沿直线沿直线 y = k x 趋于点趋于点 (0, 0) ,则有则有k 值不同极限不同值不同极限不同 !在在 (0,0) 点极限不存在点极限不存在 .22 四四、 二元函数的连续性元函数的连续性 定义定义3 . 设设 n 元函数元函数定义在定义在 D 上上,如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续, 则称此函数则称此函数在在 D 上上如果如果否则称否则称此时此时称为称为间断点间断点 .则称则称 n 元函数元函数连续连续.连续连续, 二元函数在点二元函数在点 P0 处连续性的表达方法处连续性的表达方法:2. 全增量全增量为为不连续不连续,23 例如例如, 函函数数在点在点(0 , 0) 极限不存在极限不存在, 又如又如, 函数函数上间断上间断. 故故 ( 0, 0 )为其间断点为其间断点.在圆周在圆周24 25 26 和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数称和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数称多多一切多元初等函数在其定义区域内是一切多元初等函数在其定义区域内是连续连续的．的．由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算元初等函数元初等函数多元初等函数多元初等函数27 定理：定理：若若 f (P) 在在有界闭域有界闭域 D 上连续上连续, 则则在在 D 上可取得最大值上可取得最大值 M 及最小值及最小值 m ;(3) 对任意对任意(有界性定理有界性定理) (最值定理最值定理) (介值定理介值定理) 闭域闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质性质:28 作作 业业P230 1奇数奇数 4(1,3,6,8,10)29 。