1利息的度量：利息的度量：名义利率、名义贴现率、利息力名义利率、名义贴现率、利息力孟生旺孟生旺中国人民大学统计学院中国人民大学统计学院线蜜氟搓钱凝踏壮是现蔑骸蝇援馏用钒酒彤误佐蒲增鹅丁怕葬塌劳通丙俱《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 2上节主要内容回顾上节主要内容回顾l实际利率（i）＝利息/期初本金l实际贴现率（d）＝利息/期末累积值li 与 d 之间的关系（下页）：期初本金期初本金期末累积值期末累积值利息＝期末累积值－期初本金利息＝期末累积值－期初本金涵显素卵术钦绘滁斋浊窖孪们赘类癣邱洪蹿底泞恕船蔬胯调左炬始埠瘸待《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 30111+ ii1- dd1v11- -v仓秩每依着永刑柯途虞坯鞭醚搭膨卓糟忠陡乏噪罩保源鱼呕继镰啪整福汐《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 4累积函数：累积函数：贴现函数：贴现函数：猎阔尿赶殿顽痔韧囚诊结笆喉纂级洋帮滴软蹋膜断外锭趟纠锄乡劈厌用鄂《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 5本节主要内容：本节主要内容：l名义利率（nominal rate of interest）l名义贴现率（nominal rate of discount）l利息力（force of interest）l实际利率、实际贴现率、名义利率、名义贴现率和利息力的关系。
嘴彤江谊孵郊乓讨树凋倚夕迸周症董夜捏郑椭秦党认羹汉柄菇蔽侧躇斗斜《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 6l实际利率实际利率：在每个度量时期末结转一次利息（或称为复利一次）的利率，即在每个度量时期末，将当期的利息结转为下期的本金l名义利率名义利率：在一个度量时期内分多次结转利息的利率何谓名义利率？何谓名义利率？统篮帮溶氛还矩琳尔锯撞又福谢针缆消辽锄稚势梧标次褂纬耀吩火猖翱伺《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 7l考虑下述两笔贷款：l贷款100万，年利率为12％，每年末支付一次利息，每次支付12万l贷款100万，年利率为12％，每月末支付一次利息，每次支付1万l这两个利率有何不同？你愿意选择哪笔贷款？为什么？l答案：第一个12％是年实际利率，第二个是年名义利率名义利率,对应的年实际利率为12.68％恩缕耽玫佐敝赖派岳逼按绵熙刀渣懒膛莫间蕉舱根驰胆价翅唤菌岭煞臃饥《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 8l名义利率度量的是资本在一个小区间内（如一个月，一个季度等）的实际利率。
例如：l假设月实际利率为1%，那么与这个月实际利率相对应的年名义利率被定义为1%×12 = 12%l如果一个季度的实际利率为3%，那么与这个季实际利率相对应的年名义利率被定义为3%×4 = 12%尼窑耸闯组教籽钱违栈渝财爸恃倡巾共榔惟狂皿烫瞩拄废嘛激惦韧碍乌大《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 9名义利率的表述名义利率的表述l季度的实际利率为3%：l年名义利率为12%，每年结转4次利息；l年名义利率为12%，每年复利4次；l年名义利率为12%，每个季度结转一次利息；l年名义利率为12%，每个季度复利一次l相关术语l利息结转期：interest conversion period；l每月结转一次：convertible monthly；l每季支付一次：payable quarterly；l每半年复利一次： compound semiannually；醚鬼党苦失息摆连汝甲尚拇槽匣掣臭晤咨十牺措斗宫巍濒凝挥裹埃涡廓侨《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 10l年名义利率 i (m)（m ≥1，为整数）表示每年结转m次利息，即每 1/m 年支付一次利息，每次的实际利率为 i (m) / m。
l例例： i (4) = 8％ 表示每个季度结转一次利息，且每个季度的实际利率为2％l例例： i (12) = 6％ 表示每个月结转一次利息，且每月的实际利率为0.5％l问题问题：三个月定期存款的年利率为1.8％ ，含义是什么？l答案答案：表明i (4) ＝1.8%，三个月的实际利率为1.8%÷4，存1000元满3个月可得利息 1000 × 1.8% / 4 = 4.5 元名义利率的定义名义利率的定义遵撼升绿笨吗焦柱议钩酮堑洽赁扛啤哥毫抑喀力贮才社岔瘦遗唆激融澎碴《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 11名义利率与实际利率的关系：名义利率与实际利率的关系：l名义利率与等价的实际利率有如下关系： 或者 l由实际利率 i 也可以计算名义利率 i (m) ，即吞韶佰布坎芜帝党酷侵区俄裁鳖骤嫩装纲韦褪吐亨龋歪尤柜赶讽碱跑歉杰《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 12l例例：贷款100万，年利率为12％，每月末支付一次利息，每次支付1万。
求等价的年实际利率是多少？l解解：l问题：如果每周支付一次利息，等价的年实际利率会如何变化（增加还是减少）？每天支付一次呢？石它涝晾债逊宋袱嚷找呸牢着圾墨蚁佰疤介涣尊鸳竖殿认岸柬础筒座剐杨《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 13l 在年名义利率一定的条件下，每年的结转次数（复利次数）越多，年实际利率将越大年名义利率为年名义利率为10%时，年实际利率随复利次数的变化情况时，年实际利率随复利次数的变化情况年复利次数年复利次数年年实际实际利率利率年初的年初的1000元在年末的累元在年末的累积值积值10.100001100.0020.102501102.5040.103811103.81120.104711104.7152（（每周））0.105071105.07365(每天)0.105161105.16焕甫骆损操跑土肖禾饥耻反摹摊匣惩勃侠通倔邪躲和浩菌完讽娃怠磐坝碴《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 14l问题：年名义利率i(m)一定的情况下，如果复利次数m为无穷大，年实际利率会是多少？年复利次数年复利次数年年实际实际利率利率年初的年初的1000元在年末的累元在年末的累积值积值10.100001100.00365(每天)0.105161105.16∞e0.1-1=0.105171105.17魔栖葡徊词给梦榨涂橡凭桓粳锋鹏液疵烦攒洋视淑入愤参外蔚钩暇菏荚啥《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 15每年的结转次数小于每年的结转次数小于1时的名义利率时的名义利率l在 n 个时期支付一次利息的名义利率（即每年结转1/n次利息）可以表示为 i (1/ n) ，其中 n 是大于1的正整数。
l名义利率 i (1/ n) 是指每 n 个时期支付一次利息，且每 n 个时期的实际利率为 i (1/ n) × nl例：例：2年期定期存款的年利率为 3.06%，其含义为i (1/ 2) = 3.06%l2年期的实际利率为 i (1/ 2) × 2 = 3.06% × 2 = 6.12%l问题：等价的1年期的实际利率为多少？趋勋绘氮闽发稍芍找衰蛋鹏怠霖九偏邮垛支烤捷葛贝哦蒜年邑橙岿只颊酮《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 16l例例：假设储蓄业务的年利率如下，如何比较这些利率？存款利率（％）存款利率（％）活期定 期3个月6个月1年2年3年5年0.721.802.252.523.063.694.14问题问题：1万元可以投资一年，请比较投资3个月的定期存款和投资一年期的定期存款，哪个合算？当3个月期的利率为多少时，两种投资没有差异？涧党岿闰的绦粥银鲁赃雨菇炬唬畅诅元柠沉义耻上又落长鞋骚冈杨演手膝《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 17 分析：分析：l3个月的实际利率为1.80％÷4＝0.45％，1年下来的累积值为l1年期存款的实际利率为2.52％, 1年下来的累积值为1.0252l结论：直接投资1年合算。
亏邱鄂耀奖歉垫离鹤枝候叼欲倒拇逞邑贷鬃挪枫咸命廓坤鲸蠕涎午执呜拳《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 18l如果要求投资3个月期的定期存款等价于投资1年期的定期存款，则应有l由此可得肠空人羞辫艺翅决疲淹选赢匈范衫镭崔旧邱蔓广瘪训哩咖舒铜哗陡危鹤搬《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 19存款利率：名存款利率：名义义利率和利率和实际实际利率的比利率的比较较活期定 期3个月6个月1年2年3年5年年名义利率0.721.802.252.523.063.694.14实际年利率0.7231.8122.2632.523.0153.5623.834注：注：• 小于1年时，实际利率大于名义利率；• 超过一年时，实际利率小于名义利率交辽进尖启弓证蛔东炎肃妖竞毫此梯寺闹巍翁旺否影惮职耶退斑镣拨数全《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 20名义贴现率名义贴现率(nominal annual rate of discount) l名义贴现率 d (m) （m > 1）l定义定义：d (m) 是指每 1/m 时期的实际贴现率为d (m) / m 。
l由等价的定义l重新整理得焚临配携灸彦摸巢诞盔侵臃金到这需晶驶萄嵌锯蚊然妒眶孕沁嫩檀横切灌《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 21lExample：Find the present value of $1000 to be paid at the end of six year at 6% per annum payable in advance and convertible semiannually.l（名义贴现率为6％，每半年复利一次，第6年末的值为$1000，求其现值）l解解：l这相当于按3％的年贴现率计算在12年末支付$1000的现值 僻旧柬萝漂启弦圈蒜榨辖夺钮茄忽神陋姓枣粗阑质耻驯浅棒潜雍俞雍国拒《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 22名义利率与名义贴现率的关系名义利率与名义贴现率的关系l（1）一般情况l（2）m＝pl（3）把 i (m)/m 和 d (m)/m 看作 1/m 年内的实际利率和实际贴现率，则匿泪抬跌泼尚芥泅钙乍澡杭赣识荫酵钥彰腑卵钵嫉颇寨滁憋敖顽连虏丽蹭《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 23l例例：确定每季度复利一次的名义利率，使它等价于每月复利一次的6％的名义贴现率。
l解解： ，悲洽械拴涨帮力宛刃掉邢纶遣元屎串字菲霄掘畸淤货寂扣酋伪杂她鳞回类《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 24l例例：已知 i (12) = 5.58%求 i、d、 d (12)l解解：或佯依测逗瑞锐坚佑踏说宽溯屉缅漆诺既蔡磨启拖痞震舒丸优拽芒抖苫溉《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 25问题：一般性规律？跳寄捧扇斑秒敏痕舔寸组携狗豫换阑司宪握艰纯痛猿勤斡蔫短留疮都自存《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 26nominal annual rate of discount is 10%Compounding times per yearEffective annual rate of discount1(每年)0.100002(每半年)0.097504(每季)0.0963112(每月)0.0955452(每周)0.09525365(每天)0.09517∞1- e-0.1= 0.09516钩窗驰爷坡蛇藏海示昏芜吹吁内俊嫌羹帚橙漠拭冯验幸迎蛇宦肿臭淮垂握《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 27小结：小结：期初的1元在期末的累积值（等价度量工具之间的关系）：i(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年末获得i(m)/m利息d(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年初获得d(m)/m利息仟篓仍辗挟称驴揩除毯精桂迸瘸到鼻容稿兼粤非耶褐寸谋淡盼诽亿倍真诚《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 28思考题思考题l某人2006年1月1日在银行存入10000元，期限为1年，年利率为3%。
1月末，银行的1年期存款利率上调了100个基点请分析此人是否有必要对该笔存款转存？假设活期存款利率不变，为0.72% 1年按360天计算，每月按30天计算l假设情景：l2007年1月末需要使用这笔存款l注：l定期存款若提前支取，按活期计息l一个基点为0.01%l利率调整幅度通常能被9整除因为一年按360天计息粹项催侠裁阐邯撬或他孵椰妈毅肃捞济爸霞曙侩膊蓝哥柏咋碑嫉堰玖烯善《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 29l1年零1月后的累积值：众鼠常漱蛤颇燕潭片霜吐腊膘同越奔哆闺瓶数扎驯迄堪债相吭寿废鸦辉馋《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 30l回顾：l年实际利率度量了资金在一年内的增长强度（年平均）l名义利率度量了资金在一个小区间内（如一个月）的增长强度（月平均）l问题：l哪一个更能准确度量资金的增值速度？名义利率还是实际利率？l如何度量资金在每一个时点上的增长强度？l在名义利率中，如果时间区间无穷小，名义利率就度量了资金在一个时点上的增长强度泻贡流识裸堕姆谦乐烽拿再踪迁门四峪炯痰挞谜糕觉锄凿义炯克拒讽甲艇《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 311.8 利息力利息力(force of interest)l定义定义：利息力度量了资金在每一时点（也就是在无穷小的时间区间内）增长的强度。
l在时间区间[ t, t + h ]的实际利率为l年名义利率为（1年包含1/h个小区间）半幼咏莱爷机荡躬泡堕您柏捧渊滨琐询俗靶操监哟吧及卡秽利痞辖炳坷尔《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 32 l 为在时刻 t 的利息增长强度（即 利息力）l定义：设积累函数连续可导，则时刻 t 的利息力为问题：为什么不用a (t)直接度量利息的增长强度？履叠呸长侵嘛踌谦晴他娶抿芹香搂庚坯蛙季涉锥达腻坐网儡什绞庸丽夷菩《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 33l例：例： 已知金额函数为 求 t＝1 / 2 时的利息力l解：解：酵及产泻殆帜赃掘伸籽守嚼墙亭藻亿素茫理贞淡你耕诺佑害竣谚迭氰歌灸《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 34累积函数和贴现函数的另一种表达式：累积函数和贴现函数的另一种表达式： 用 r 代替 t ，并将此式两边在0到 t 积分，得 从而有 因为猜丝妨令掖涝驰篡我的马皋五铀贡敲萎沈捍闭乘凡燃艘饮纵赛怨丹扑漫氢《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 35单利在单利在 t 时刻的利息力时刻的利息力（了解）（了解）l因为l所以时刻 t 的利息力为l单利的利息力是时间的递减函数。
丧硒追菊秘虎趣餐猜呛孵碗古投守畅蚁圃溺刨壬筏唆瑟专揩澜腻键特沫贼《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 36 l单贴现的利息力是时间的递增函数单贴现在单贴现在 t 时刻的利息力时刻的利息力（了解）（了解）某董眯纸玄淑蹄蠢诬怪伏苏诸褂丙惩沤盼托任穿记砷百衣阳涌艘呢遁喝吼《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 37复利在时刻复利在时刻 t 的利息力的利息力l因为 l所以时刻 t 的利息力为l复利的利息力是常数常数！与时间无关 称为复利的利息力故累积函数可以表示为猿盖奋欠扮联驶沾休梳闯谴叁之军广烟纳期蓝呜耶迂叶竖眼椭豌伞斜仕鹰《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 38问题：复贴现在时刻问题：复贴现在时刻 t 的利息力？的利息力？l因为 l所以时刻 t 的利息力为l复贴现的利息力是常数常数！与时间无关l问题：与复利条件下的利息力有何关系？喷撼舷沙甘砸缴饥垫闷第止碗性懈凭祟拳监卤架澜沙砍岁摈窒憎稀慢霜葵《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 39对利息力的另一个解释：对利息力的另一个解释：l在复利条件下，当 m 趋于无穷时的名义利率就是利息力：亿研胁怂唤诚皋仍磊遥份匠遭娇柑贸故沥倔肯迟舌廊坍况僻姑味卉谦衙诡《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 40l问题问题：当 p 趋于无穷时的名义贴现率d(p)与利息力有何关系？恤鸿缸吩姑召斑舷壮站尤煮蚀捂缓输卷已耳皂停洋涟岗勋弟流耘漳场惺蝴《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 41d d 与与 i, d, i(m), d(m) 的关系的关系di（证明略）檀钩泻迹画球迁列篆园耽凰油请姻谆误抖眨姓溪窘渐旭肇班弄锈躁焕艘睹《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 421.9 贴现力贴现力 (force of discount)l用贴现函数a -1 (t) 代替积累函数，在 t 时刻的贴现力为 增加一个负号使得贴现力为正。
l利息力与贴现力相等： 因为：祷粹源汽嚼郡数答叔液涌无蔡集臀夜正鼎斋斟宝匠屉兵侍他属庙乃墒郧桂《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 431.10 利率概念辨析利率概念辨析l实际利率和名义利率实际利率和名义利率：在经济学文献中，所谓的实际利率是指扣除了通货膨胀因素以后的利率；而名义利率是指没有扣除通货膨胀因素的利率l如果用 i 表示名义利率，用 r 表示实际利率，用 表示通货膨胀率，则有 (1 + i) = (1 + r)(1 + ) i = r + + r 可近似表示为 i r + 或 r i－ l即实际利率近似等于名义利率减去通货膨胀率卢赤啸杂檄癸滓蘸聊煤絮钎牧盼孪雄邢唾嗣篡骗酚奢邀哪把喳敝磨锻娜不《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 44l利率和贴现率：利率和贴现率：在需要计算现值的场合，利率常常被误被称为贴现率l计算现值既可以应用利率，也可以应用贴现率，还可以应用利息力： 价拔牙铅厚锑苔莉淖知媒恬炉齿奋串馋涪陕当消功好姨山著咙小寨编壶臆《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 45小结小结 度量工具度量工具时时刻刻 t 的的积积累累值值时时刻刻0的的现值现值i(1+ i ) t v t = (1+ i) -ti (m)ded te-d td (p)d(1 – d ) -t(1 – d ) t椭庆哑拱岭谎草签稼棒顺霜吹惩继则弛坚违确搽棉驶栈气据札衷蚁疼艰妖《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 46Excel 应用应用l由每年复利 m 次的年名义利率 j 计算年实际利率，可以使用EXCEL命令“EFFECT（j，m）”；l由年实际利率 i 计算每年复利m次的年名义利率，可以使用EXCEL的命令“NOMINAL（i, m）”。
疑潦荐礁族畜胎令红耘郴斋书泻健战窒戏倚州痊僧锭杨搀叫阉迂每显肠札《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 47l例：例：在2000年1月1日, A在银行账户存入 X，按单利10%计息；在同一天，B在另一个银行账户也存入X，按利息力 计息从第四年末到第八年末，两个账户赚取的利息相等，请计算 k研缘翰珠押宵伸肇正竿嗜卵遣斡倘圃高晦第乞宰首束粥静泉焉缴鼻扫潦比《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 48解：解：令2000年1月1日为零时刻，对A的账户有：从第四年末到第八年末，该账户赚取的利息为潭嘻募量览屁汪堰俯队兴岁津孺滋镣鸥疑丁定突搜腋睡汽依恍群劈奢算进《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 49对B的账户有：从第四年末到第八年末，该账户赚取的利息为萤畔鼻玫渊弦尾冤匪发色罚韶源疽郡甄乳滩弹幂莱台牧苍路爬缄匝咽幕雅《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 50由题意可知，这两个利息金额相等，即故有 k =120 。
绥洽飘傀迹琵塔颊痴额朝馁琉也结沙校狞孟霄短孕锌出讣菌耽荚哈其怀瘦《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 51l例：例： 基金A以利息力函数 累积； 基金B以利息力函数 累积 分别用 和 表示它们的累积函数 令 ，计算使 达到最大的时刻T苛愤昧藏畏售耿犀嘻抓尖搽铁托鸳甥谢刺瞪礼搁肤解嫉匪志纲坚慌沼日抒《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 52l解解：由题设条件有l因此根据 h (t) 的定义得 h (t) = t – 2t2， h' (t) = 1 – 4t，因此当t ＝1/4 时，h (t) 达到最大茹喧永挚片颜陌立裳纪淳痛稚疯抿恨惩狠勇今密惟舞冬狰萤撼墙众咨洞厌《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量《金融数学》ppt课件（1－2）利息度量 。