二次函数复习课 1、一般地、一般地,如果如果 y=ax²+bx+c(a,b,c是是常数常数,a≠0)那么那么,y叫做叫做x的二次函数的二次函数.2、一个函数是否是二次函数关键看什么？、一个函数是否是二次函数关键看什么？ (1)自变量的最高次数是自变量的最高次数是2 (2) 二次项的系数不为二次项的系数不为01、、 是二次函数，则是二次函数，则m=——2、对于任意实数、对于任意实数m，，________是二次函数是二次函数A、、y=（（m-1））2x2 B、、 y=（（m+1））x2 C、、 y=（（m2+1））x2 D、、 y=（（m2-1））x2 知识要点（一） 谁是控制图像的“幕后高手” 1. a决定开口方向：a＞0↔开口_______；（如图1）a＜0↔开口_______；（如图2） 相同，抛物线的形状_____； 越大，开口越____图1）（图2）向上向下相同小 2. a、b决定对称轴的位置：b=0↔对称轴是_______；（如图1）a、b同号↔对称轴在y轴的___侧；（如图2）a、b异号↔对称轴在y轴的___侧。
如图3）y轴左右即：左同右异 3. c决定抛物线与y轴的交点：c=0↔抛物线过_____；（如图1）c＜0↔抛物线交于y轴的_____；（如图2）c＞0↔抛物线交于y轴的_____如图3）原点正半轴负半轴 4. 与x轴的交点个数： =0↔抛物线与x轴只有___个交点 ；（如图1） ＞0↔抛物线与x轴有___个交点；（如图2） ＜0↔抛物线与x轴有___个交点如图3）一两0（即没有交点） 练习练习1. 二次函数 的图像如图所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b²-4ac＞0，其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个C 3. 已知函数 的图像如图所示，那么关于x的方程 的根的情况是（ ）A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根 4. 在同一坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx²+2x+2,（m是常数，且m≠0）的图像可能是（ ）3题图y y y Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．xO xO xO xy O DD 4、抛物线的平移、抛物线的平移y=ax2+k上下上下左右左右左右左右上下上下上上下下左左右右h正左负右移正左负右移,m正上负下移正上负下移. 1.抛物线抛物线y=(x－－3)2的开口方向的开口方向 ,对称轴是对称轴是 ，顶，顶点坐标为点坐标为 ，在对称轴左侧，即，在对称轴左侧，即x 时，时，y随随x增大增大而而 ；在对称轴右侧，即；在对称轴右侧，即x 时，时，y随随x增大而增大而 ，当，当x= 时，时，y有最有最 值为值为 .2.函数函数y=5(x－－3)2－－2的图象可由函数的图象可由函数y=5x2的图象沿的图象沿x轴向轴向 平移平移 个单位，再沿个单位，再沿y轴向轴向 平移平移 个单个单位得到位得到.3.二次函数二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0)，无论，无论k取什么实数，取什么实数，图象顶点必在（图象顶点必在（ ））.A.直线直线y=-x上上 B.x轴上轴上 C.直线直线y=x上上 D.y轴上轴上 4.已知二次函数y=x²-bx+1(-1≤b≤1），在b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线移动方向的描述中，正确的是（ ） A. 先往左上方移动，再往左下方移动 B. 先往左下方移动，再往左上方移动 C. 先往右上方移动，再往右下方移动 D. 先往右下方移动，再往右上方移动C 填空：填空：(1)(1)抛物线抛物线y y＝＝x x2 2－－3x3x＋＋2 2与与y y轴的交点坐标是轴的交点坐标是____________，与，与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是__________________；；(2)(2)抛物线抛物线y y＝－＝－2x2x2 2＋＋5x5x－－3 3与与y y轴的交点坐标是轴的交点坐标是______________，与，与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是________________．． (0,2)(0,2)(1,0)(1,0)和和(2,0)(2,0)(0,-3)(0,-3)(1,0)(1,0)和（和（1.51.5，，0 0））如何求二次函数图象与坐标轴的交点如何求二次函数图象与坐标轴的交点 与坐标轴三个交点围成的三角形面积是与坐标轴三个交点围成的三角形面积是 ；；3.753.75 2、已知抛物线顶点坐标（、已知抛物线顶点坐标（m, k），通常设），通常设抛物线解析式为抛物线解析式为_______________3、已知抛物线与、已知抛物线与x 轴的两个交点轴的两个交点(x1,0)、、 (x2,0),通常设解析式为通常设解析式为_____________1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-m)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)求抛物线解析式常用的三种方法求抛物线解析式常用的三种方法一般式一般式顶点式顶点式交点式或两根式交点式或两根式 1.1.已知一个二次函数的图象经过点已知一个二次函数的图象经过点（（0 0，，0 0），（），（1 1，，﹣3﹣3），（），（2 2，，﹣8﹣8）。
求下列条件下的二次函数的解析式求下列条件下的二次函数的解析式:3.3.已知二次函数的图象的对称轴是直线已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3,x=3,并且经过点并且经过点(6,0),(6,0),和和(2,12)(2,12)2.2.已知二次函数的图象的顶点坐标为已知二次函数的图象的顶点坐标为（－（－2 2，－，－3 3），且图象过点（－），且图象过点（－3 3，－，－2 2） 二、二、对于二次函数于二次函数 2、、函数的最小值为函数的最小值为-5，求，求 的值的值 1、、当当x>6时，时，y随随x增大而增大，增大而增大， 当当x<6时，时，y随随x增大而减小，求增大而减小，求 的值的值 3、、图象在图象在x轴上截得的线段长是轴上截得的线段长是3，求，求 的值的值 4、、图象与图象与x轴只有一个交点，求这个图象向上平移轴只有一个交点，求这个图象向上平移 1个单位再向右平移个单位再向右平移2个单位后的函数解析式个单位后的函数解析式 1. 已知函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，那么函数的表达式为（ ） A. y=-x²+2x+3 B. y=x²-2x-3 C. y=-x²-2x+3 D. y=-x²-2x-32. 抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=2且抛物线上点A（3，-8），则抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标为_________。
A（1，-8）课堂检测：课堂检测： 3.如图所示，某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为 y=-x²+4x+2，此水柱的最大高度是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 4.已知点 、 均在抛物线y=x²-1上，下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则CD 5：如图，直线y=x+m和抛物线y=x²+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x²+bx+c＞x+m的解集（直接写出答案）解（1）∵直线y=x+m经过点A(1,0) ∴0=1+m ∴m=－1．即m的值为－1 ∵抛物线y=x²+bx+c经过点A(1,0),B(3,2) ∴ 解得： ∴二次函数的解析式为 y=x²-3x+2 （2）x＞3或x＜1． 例例:等腰三角形以等腰三角形以2米米/秒的速度沿直线向正方秒的速度沿直线向正方形移动，直到形移动，直到AB与与CD重合。
设重合设x秒时，三角形与秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为正方形重叠部分的面积为y平方米平方米.(1)写出写出y与与x的函数关系式及自变量的取值范围的函数关系式及自变量的取值范围(2)当重叠部分的面积是正方形的面积的一半时当重叠部分的面积是正方形的面积的一半时,三角形移动了多长时间三角形移动了多长时间?思考思考:如果继续向前移动如果继续向前移动,则重叠部分面积又会如何则重叠部分面积又会如何变化变化? 如图，已知二次函数y＝x2－2x－1的图象的顶点为A．二次函数y＝ax2＋bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y＝x2－2x－1的图象的对称轴上．（1）求点A与点C的坐标；（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y＝ax2＋bx的关系式．－1－1132－212Oyxy＝x2－2x－1A 。