解线性方程组的直接方法课堂PPT

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1、引言q快速、高效地求解线性方程组是数值线性代数研究中的快速、高效地求解线性方程组是数值线性代数研究中的核心问题核心问题，也是目前科学计算中的，也是目前科学计算中的重大研究课题之一重大研究课题之一。q各种各样的科学和工程问题，往往最终都要归结为求各种各样的科学和工程问题，往往最终都要归结为求解一个线性方程组。解一个线性方程组。q线性方程组的数值解法有：线性方程组的数值解法有：直接法直接法和和迭代法迭代法。直接法直接法：在假定没有舍入误差的情况下，经过有限次：在假定没有舍入误差的情况下，经过有限次运算可以求得方程组的精确解；运算可以求得方程组的精确解；迭代法迭代法：从一个初始向量出发，按照一定的迭

2、代格：从一个初始向量出发，按照一定的迭代格式，构造出一个趋向于真解的无穷序列。式，构造出一个趋向于真解的无穷序列。 线性方程组直接解法1 1. .举例（一）解：q例：直接法解线性方程组例：直接法解线性方程组2 2. .我们知道，下面有我们知道，下面有3种方程的解我们可以直接求出：种方程的解我们可以直接求出：n次运算（n1）n/2次运算（n1）n/2次运算4 4. .对方程组，作如下的变换，解不变对方程组，作如下的变换，解不变交换两个方程的次序交换两个方程的次序一个方程的两边同时乘以一个非一个方程的两边同时乘以一个非0 0的数的数一个方程的两边同时乘以一个非一个方程的两边同时乘以一个非0 0数，

3、加到另一个方程数，加到另一个方程因此，对应的对增广矩阵因此，对应的对增广矩阵(A，b)，作如下的变换，解不变，作如下的变换，解不变交换矩阵的两行交换矩阵的两行某一行乘以一个非某一行乘以一个非0 0的数的数某一个乘以一个非某一个乘以一个非0 0数，加到另一行数，加到另一行消元法消元法就是对增广矩阵作上述行的变换，变为我们已知的就是对增广矩阵作上述行的变换，变为我们已知的3种类型之一，而后求根种类型之一，而后求根.5 5. . 1 1 解线性方程组的解线性方程组的 Gauss Gauss 消去法消去法 2 2 直接三角分解法直接三角分解法 3 3 行列式和逆矩阵的计算行列式和逆矩阵的计算 4 4

4、向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数 5 Gauss 5 Gauss 消去法的浮点舍入误差分析消去法的浮点舍入误差分析6 6. .1 解线性方程组的 Gauss 消去法 1.1 Gauss 1.1 Gauss 消去法消去法 1.2 Gauss 1.2 Gauss 列主元消去法列主元消去法 1.3 Gauss 1.3 Gauss 按比例列主元消去法按比例列主元消去法 1.4 Gauss-Jordan 1.4 Gauss-Jordan 消去法消去法 1.5 1.5 矩阵方程的解法矩阵方程的解法 1.6 Gauss 1.6 Gauss 消去法的矩阵表示形式消去法的矩阵表示形式7 7. .1 解线性方程组

5、的 Gauss 消去法在科技、工程、医学和经济等各个邻域中，经常遇到求解在科技、工程、医学和经济等各个邻域中，经常遇到求解n n阶线性方程组阶线性方程组 (1.1)(1.1)的问题。方程组（的问题。方程组（1 1.1 1）的系数）的系数和右端项和右端项均为实数，且均为实数，且不全为零方程组（不全为零方程组（1 1.1 1）可简记为）可简记为（1 1.2 2）其中其中8 8. .1 1.1 Gauss 1 1.1 Gauss 消去法消去法 我们知道，对线性方程组（我们知道，对线性方程组（1.11.1）作行运算（变换）作行运算（变换）: : （1 1）交换方程组中任意两个方程的顺序；）交换方程组中

6、任意两个方程的顺序； （2 2）方程组中任何一个方程乘上某一个非零数；）方程组中任何一个方程乘上某一个非零数； （3 3）方程组中任何一个方程减去某倍数的另一个方程，）方程组中任何一个方程减去某倍数的另一个方程，得到新的方程组都是与原方程组得到新的方程组都是与原方程组(1.1)(1.1)等价的。若方程组等价的。若方程组(1.1)(1.1)或或(1.2)(1.2)的系数的系数矩阵矩阵A A是非奇异的，则得到的新方程组与原方程组是同解的。这一章若无特别是非奇异的，则得到的新方程组与原方程组是同解的。这一章若无特别申明，总是假定方程组申明，总是假定方程组(1.1)(1.1)的系数矩阵是非奇异，因此它

7、有唯一解。的系数矩阵是非奇异，因此它有唯一解。 解方程组解方程组(1.1)(1.1)的基本的基本GaussGaussGaussGauss消去法消去法消去法消去法就是反复运用上述运算，按自然顺序就是反复运用上述运算，按自然顺序( (主对角元素的顺序主对角元素的顺序) )逐次消去未知量，将方程组逐次消去未知量，将方程组(1.1)(1.1)化为一个上三角形方程化为一个上三角形方程组，这个过程称为组，这个过程称为消元过程消元过程；然后逐一求解该上三角形方程组，这个过程称；然后逐一求解该上三角形方程组，这个过程称为为回代过程。回代过程。计算得该该上三角形方程组的解就是原方程组计算得该该上三角形方程组的解

8、就是原方程组(1.1)(1.1)的解的解. . 我们知道，线性方程组我们知道，线性方程组(1.1)(1.1)与其增广矩阵与其增广矩阵本章主要介绍求解线性方程组本章主要介绍求解线性方程组(1.1)(1.1)的直接法。所谓直接法，就是不考虑的直接法。所谓直接法，就是不考虑计算过程的舍入误差时，经有限次数的运算便可求得方程组准确解的方法计算过程的舍入误差时，经有限次数的运算便可求得方程组准确解的方法.我我们还将在们还将在55中对计算过程中的舍入误差作一些初步分析中对计算过程中的舍入误差作一些初步分析 1.1 Gauss 消去法9 9. . （1.31.3）之间有一对应关系之间有一对应关系. .不难看

9、出不难看出: : （1 1）交换矩阵）交换矩阵(1.3)(1.3)的第的第p,q两行两行( (记作记作 ) )相当于交换方程组相当于交换方程组(1.1)(1.1)的第的第p,q两个方程；两个方程； （2 2）用一个非零数）用一个非零数 乘矩阵乘矩阵(1.3)(1.3)的第的第p行行( (记作记作 ) )相当于用相当于用 乘乘方程组方程组(1.1)(1.1)的第的第p个方程；个方程； （3 3）矩阵）矩阵(1.3)(1.3)的第的第q行减去第行减去第p行的行的 倍倍( (记作记作 ) )相当于方程相当于方程组组(1.1)(1.1)的第的第q个方程减去第个方程减去第p个方程的个方程的 倍倍. .

10、因此，解线性方程组因此，解线性方程组(1.1)(1.1)的基本的基本GaussGauss消去法的消元过程可以对它的增广消去法的消元过程可以对它的增广矩阵进行上述行初等变换矩阵进行上述行初等变换 (1.4) (1.4)例例1 1 用基本用基本GaussGauss消去法解线性方程组消去法解线性方程组1010. .解解 GaussGauss消去法的消元过程可对方程组消去法的消元过程可对方程组(1.4)(1.4)的增广矩阵进行初等变换：由的增广矩阵进行初等变换：由此得到与方程组此得到与方程组(1.4)(1.4)同解的上三角形方程组同解的上三角形方程组 (1.5)(1.5)消去法的回代过程是解上三角形方

11、程组消去法的回代过程是解上三角形方程组(1.5).(1.5).我们从方程组我们从方程组(1.5)(1.5)的第三个方的第三个方程解得程解得然后将它代入第二个方程得到然后将它代入第二个方程得到最后，将最后，将 代第一个方程得到代第一个方程得到在回代过程中，我们反复运用了上述的行运算（在回代过程中，我们反复运用了上述的行运算（2 2） 1111. . 现在，我们将应用于上述例现在，我们将应用于上述例1 1的基本的基本GaussGauss消去法推广到解一般的消去法推广到解一般的 nn nn 阶线性方程组阶线性方程组(1.1).(1.1). Gauss Gauss消去法的消元过程由消去法的消元过程由n

12、 n1 1步组成：步组成： 第一步第一步 设设 把增广矩阵把增广矩阵(1.3)(1.3)的第一列中元素的第一列中元素 消为零为此，消为零为此，令令 从从 的第的第i(i2，n)行分别减去第一行的行分别减去第一行的 倍，得到倍，得到其中其中1212. . 第二步第二步 设设 把矩阵把矩阵 的第二列中元素的第二列中元素 消消为零为零. . 仿此继续进行消元，假设进行了仿此继续进行消元，假设进行了kl步，得到步，得到 第第 k步步 设设 把把 的第的第k列的元素列的元素 消为零，得到消为零，得到1313. .其中其中规定规定1414. . (1.9) (1.9)式是消元过程的一般计算公式式是消元过程

13、的一般计算公式. .式中作分母的元素式中作分母的元素 称为称为( (第第k k步的步的) )主元素主元素( (简称简称主元主元).).若若 则则 中至少有一中至少有一个元素，比方说个元素，比方说 不为零不为零( (否则否则, ,方程组方程组(1.1)(1.1)的系数矩阵的系数矩阵A A奇异奇异).).这样这样, ,我们可取我们可取 作为主元作为主元 . .然后然后, ,交换矩阵交换矩阵 的第的第 k k行与第行与第 r r行行, ,把它交换到把它交换到(k,k)(k,k)的位置上的位置上. . 称为称为乘子乘子. . 进行进行n n1 1步消元后，我们便得到一个上梯形矩阵步消元后，我们便得到一

14、个上梯形矩阵 这里这里, ,我们假设整个消元过程中没有进行过矩阵的行交换我们假设整个消元过程中没有进行过矩阵的行交换. . 是一个上是一个上三角矩阵三角矩阵. .与上与上 相应的上三角方程组相应的上三角方程组1515. . (1.11) (1.11)和方程组和方程组(1.1)(1.1)同解同解. . Gauss Gauss消去法的回代过程是解上三角形方程组消去法的回代过程是解上三角形方程组(1.11).(1.11).容易得到它的解的容易得到它的解的分量计算公式为分量计算公式为.(1.12).(1.12)便是线性方程组便是线性方程组(1.1)(1.1)的解的解. .我们也称我们也称 为主元为主元

15、. . 应用应用GaussGauss消去法解一个消去法解一个n n阶线性方程组总共需乘除法运算次数为阶线性方程组总共需乘除法运算次数为1616. .1.2 Gauss 列主元消去法在在GaussGauss消去法的消元过程中，我们逐次选取主对角元素消去法的消元过程中，我们逐次选取主对角元素 作为主元。作为主元。然而，若然而，若 相对其它元素相对其它元素( (例如例如, ,与同列的与同列的 , , , 比较比较) )绝对值绝对值较小，则舍入误差影响很大。在这种情形下，会使得计算结果精确度不高，较小，则舍入误差影响很大。在这种情形下，会使得计算结果精确度不高，甚至消元过程无法进行到底。甚至消元过程无

16、法进行到底。1717. .举例（二）解：q例：例：采用十进制八位浮点数，分别用采用十进制八位浮点数，分别用Gauss消去法和消去法和列主元列主元Gauss消去法求解线性方程组消去法求解线性方程组:精确解为精确解为，8个个8个个Gauss消去法：消去法：9个个小主元小主元可可能导致计能导致计算失败。算失败。1818. . 从上面的例子看到，为了使消元过程不至于中断和减小舍入误差的影响，从上面的例子看到，为了使消元过程不至于中断和减小舍入误差的影响，我们不按自然顺序进行消元。这就是说，不逐次选取主对角元素作为主元，我们不按自然顺序进行消元。这就是说，不逐次选取主对角元素作为主元，例如，第例如，第k

17、 k步，我们不一定选取步，我们不一定选取 作主元，而从作主元，而从 中中选取绝对值最大的元素，即使得选取绝对值最大的元素，即使得 的元素的元素 作主元，又称它为作主元，又称它为( (第第k k步的步的) )列主元列主元。增广矩阵中主元所在的行。增广矩阵中主元所在的行称为称为主行主行，主元所在的列称为，主元所在的列称为主列主列。并且，在进行第。并且，在进行第k k步消元之前，交换矩步消元之前，交换矩阵的第阵的第k k与第与第r r行。可能有若干个不同的行。可能有若干个不同的i i值使值使 为最大值，则取为最大值，则取r r为这些为这些i i值中的最小者。经过这样修改过的值中的最小者。经过这样修改

18、过的GaussGauss消去法消去法, ,称为称为GaussGauss列主元消去法列主元消去法。 线性方程组线性方程组(1.1)(1.1)的右端项作为增广矩阵的第的右端项作为增广矩阵的第n n十十1 1列。使用计算机求解方列。使用计算机求解方程组时，常常将程组时，常常将 记作记作 为了节约计算机存贮单元，在用为了节约计算机存贮单元，在用消去法解方程组的计算过程中，得到消去法解方程组的计算过程中，得到 仍然可以存放到原来的增广矩阵的仍然可以存放到原来的增广矩阵的相应位置上。因此可将相应位置上。因此可将 的右上角标记去掉，并将公式的右上角标记去掉，并将公式(1.9)(1.9)和和(1.12)(1.

19、12)中中的等号的等号“”改成赋值号改成赋值号“ ”。 算法算法3.1 3.1 应用应用GaussGauss列主元消去法解列主元消去法解n n阶线性方程组阶线性方程组 ，其中，其中 输入输入 方程组的阶数方程组的阶数n n；增广矩阵；增广矩阵A A，b. b. 1919. . 输出输出 方程组的解方程组的解 或系数矩阵奇异的信息。或系数矩阵奇异的信息。 stepl对对k k=1,21,2，n n-l l做做step2 2-5 5。 step 2 2 选主元：求选主元：求 使使 step 3 3 若若 ，则输出（，则输出（A is singularA is singular）；停机。）；停机。

20、step 4 4 若若 , ,则则（交换增广矩阵的第（交换增广矩阵的第 行与第行与第 k k 行）行） step5对对 i ik k1 1，n n 做做 step6-76-7。 step6step7对对step8。step9对对。step10输出输出；停机。停机。2020. . 在在GaussGauss消去的消元过程的第消去的消元过程的第k k步，若从步，若从 中选取中选取绝对最大的元素作主元，即若绝对最大的元素作主元，即若则选取则选取 作主元，称它为作主元，称它为( (第第k k步步) )行主元行主元，并且在进行第，并且在进行第k k步消元之前交步消元之前交换增广矩阵的第换增广矩阵的第k k

21、列与第列与第 列列( (必须记录这种交换信息，以便整理解之用必须记录这种交换信息，以便整理解之用) )。经这样修改的经这样修改的GaussGauss消去称为消去称为GaussGauss行主元消去法行主元消去法。 应用应用GaussGauss列或行主元消去法解一个线性方程组时，在消元过程中选取主列或行主元消去法解一个线性方程组时，在消元过程中选取主元后作行或列交换不会改变前面各步消为零的元素的分布状况。据此，在消元后作行或列交换不会改变前面各步消为零的元素的分布状况。据此，在消元过程的第元过程的第k k步，我们还可以从系数矩阵的最后步，我们还可以从系数矩阵的最后n nk k1 1行和列中选取绝对

22、值行和列中选取绝对值最大的元素作主元，即若最大的元素作主元，即若则选取则选取 作为主元，并且在消元之前交换增广矩阵的第作为主元，并且在消元之前交换增广矩阵的第k k行与第行与第 行行, ,以以及第及第k k列与第列与第 列。经过这样修改的列。经过这样修改的GaussGauss消去法称为消去法称为GaussGauss全主元消去法全主元消去法。 GaussGauss全主元消去法与列主元和行主元消去法相比，工作量要大得多，而全主元消去法与列主元和行主元消去法相比，工作量要大得多，而行主元消去法则要记录列交换信息，因此行主元消去法则要记录列交换信息，因此GaussGauss列主元消去法是解线性方程组列

23、主元消去法是解线性方程组的实用方法之一。的实用方法之一。 2121. .1 1.3 Gauss1 1.3 Gauss按比例列主元消去法按比例列主元消去法 P51P52 1.3 Gauss 1.3 Gauss 按比例列主元消去法按比例列主元消去法 对于某些情形，列主元消法不是十分令人满意的。方程组对于某些情形，列主元消法不是十分令人满意的。方程组 （1.151.15）等价于方程组等价于方程组(1.13).(1.13).应用应用GaussGauss列主元消去法列主元消去法, ,进行第一步消元后增广矩阵是进行第一步消元后增广矩阵是由此可见，第二步的主行是第二行。消元过程结束后，由回代过程得到的计由此

24、可见，第二步的主行是第二行。消元过程结束后，由回代过程得到的计算解与例算解与例2 2 中应用基本中应用基本GaussGauss消去法得到的计算解相同。这个例子说明消去法得到的计算解相同。这个例子说明,Gauss,Gauss列主元消去法也会使计算结果产生较大的误差。我们看到，方程组列主元消去法也会使计算结果产生较大的误差。我们看到，方程组(1.15)(1.15)是是由由(1.13)(1.13)的头两个方程乘的头两个方程乘 得到的。因此，在消元过程第得到的。因此，在消元过程第k k步，若第步，若第k k列的第列的第k k至第至第n n个元素中某个元素与其所在行的个元素中某个元素与其所在行的“大小大

25、小”之比为最大者，就选它作为之比为最大者，就选它作为主主元，这种选主元的方法似乎是合理的。经过这样修改的元，这种选主元的方法似乎是合理的。经过这样修改的列主元消去法称为列主元消去法称为按比例列主元消去法按比例列主元消去法。2222. . 第三章第三章 1 1.3 P1 1.3 P52 更具体地说，更具体地说，GaussGauss按比例列抗消去法在消元过程第一步之前，对按比例列抗消去法在消元过程第一步之前，对i=1,2,i=1,2,n ,n 计算方程组的系数矩阵的第计算方程组的系数矩阵的第i i行的大小行的大小在第在第k k步，求最小的步，求最小的 使使 以第以第r r行作为主行，然后交换增广矩

26、阵的第行作为主行，然后交换增广矩阵的第k k行与第行与第r r行。行。 算法算法3.2 3.2 应用应用GaussGauss按比例列主元消去法解按比例列主元消去法解n n阶线性方程组阶线性方程组AxAxb b，其，其中中 输入输入 方程组的阶数方程组的阶数 n n ；增广矩阵；增广矩阵A A，b b。 输出输出 方程组的解方程组的解 或系数矩阵奇异的信息。或系数矩阵奇异的信息。 step1对对i=1,2,i=1,2,n ,n 若若 ，则输出（，则输出（A is singularA is singular ）；停机。）；停机。 step2对对k1，2，n1做做 step3- -7。step3选主

27、元选主元: :求求r,r,使使2323. . 第三章第三章 1 1.3 P1 1.3 P52下下step4若若，则输出（，则输出（Aissingular）；停机。）；停机。step5若若 , , 则则step6对对j=k,n+1(交换增广矩阵的第交换增广矩阵的第k行与第行与第r行行)。step7对对i=k+1,n做做step8-9.step8step9对对j=k+1,n+1step10step11对对k=n-1,12424. . 第三章第三章 1 1.3 P1 1.3 P53step12输出输出；停机。停机。 例例3 3 应用应用GaussGauss按比例列主元消去法解方程组按比例列主元消去法

28、解方程组开始，我们计算得开始，我们计算得由于由于 因此因此, ,第二行为主行第二行为主行, ,即即 为第一步消元的主元为第一步消元的主元. .交换交换 与与 得得 ， 。交换增广矩阵。交换增广矩阵A,bA,b的第的第2 2行与第行与第1 1行，即行，即 2525. . 第三章第三章 1 1.3 P1 1.3 P53下下计算乘子计算乘子进行第一步消元后，增广矩阵化为进行第一步消元后，增广矩阵化为 第二步，我们计算得第二步，我们计算得 因而，第三行为主行，因而，第三行为主行， 为主元。交换为主元。交换 与与 得得 交换交换增广矩阵的第增广矩阵的第3 3行与第行与第2 2行（此例中把行（此例中把 和

29、和 也交换），即也交换），即2626. . 第三章第三章 1 1.3 P1 1.3 P54计算乘子计算乘子 经第二步消元后，增广矩阵化为经第二步消元后，增广矩阵化为 最后，由回代过程计算得最后，由回代过程计算得 2727. . 第三章第三章 1 1.3 P1 1.3 P54下下 算法算法3.2 3.2 中，中， 若不进行增广矩阵的行交换，则可引进一个向量若不进行增广矩阵的行交换，则可引进一个向量 来记录行交换。来记录行交换。 的分量最初为的分量最初为 即即 。若在消元过程的第。若在消元过程的第k k步需要交换增广矩阵的第步需要交换增广矩阵的第k k行与第行与第r r行行, ,则交换则交换的第的

30、第k k与第与第r r个分量个分量. .消元过程结束时消元过程结束时, ,向量向量 便给出消元过程中便给出消元过程中一组主行的指示。这样，最后的一组主行的指示。这样，最后的 指示原始增广矩阵在第一步被选为主行的指示原始增广矩阵在第一步被选为主行的行，行， 指示第二步被选为主行的行，等等。在消元过程中，对增广矩阵进行指示第二步被选为主行的行，等等。在消元过程中，对增广矩阵进行行交换的目的是把系数矩阵化为一个上三角阵。由此可知，最后一个方程仅行交换的目的是把系数矩阵化为一个上三角阵。由此可知，最后一个方程仅含含 ，倒数第一个方程含，倒数第一个方程含 和和 等等。但是等等。但是 的最后元素也给出这种

31、的最后元素也给出这种信息：第信息：第 个方程仅含个方程仅含 ，第，第 个方程含个方程含 和和 ，等等。由于在消，等等。由于在消元过程中我们保存了元素元过程中我们保存了元素 ，因此可在消元结束后对方程组的右端向量，因此可在消元结束后对方程组的右端向量 进进行变换。这样，我们来修改算法行变换。这样，我们来修改算法3.23.2。2828. . 第三章第三章 1 1.3 P1 1.3 P54P55 算法算法 3.33.3 应用应用GaussGauss按比例列主元消去法按比例列主元消去法( (不作矩阵行交换不作矩阵行交换) )解解 n n 阶线阶线性方程组性方程组 其中其中 输入输入 方程组的阶数方程组

32、的阶数 n n；系数矩阵；系数矩阵 A A；右端向量；右端向量 b b。 输出输出 方程组的解方程组的解 或系数矩阵奇异的信息。或系数矩阵奇异的信息。step1对对i=1,2,i=1,2,n ,n 若若 ，则输出（，则输出（A is singularA is singular ）；停机；）；停机； step2对对k1，2，n1做做 step3- -6。step3选主元选主元: :求求r,r,使使step4若若，则输出（，则输出（Aissingular）；停机。）；停机。step5若若 , , 则则2929. . 第三章第三章 1 1.3 1 1.3 P55step6对对i=k+1,n做做ste

33、p7-8。step7对对i=k+1,n做做step8-9。step8对对j=k+1,nstep9step10对对i=2，3，nstep11step12对对i=n-1，n-2，1step13输出输出；停机。停机。例例4 4 我们应用我们应用 算法算法3.33.3 解解 例例3 3 的方程组的方程组3030. . 第三章第三章 1 1.3 P1 1.3 P55P56 开始，向量开始，向量 。计算得。计算得由于由于因此因此 是第一步消元的主行。我们把是第一步消元的主行。我们把 修改为修改为 ，并且计，并且计算的乘子算的乘子 经第一步消元后，把系数矩阵修改为经第一步消元后，把系数矩阵修改为 第二步，计

34、算得第二步，计算得3131. . 第三章第三章 1 1.3 1 1.3 P56因而因而 是主行。我们把是主行。我们把 修改为修改为 ，并且计算得乘子，并且计算得乘子最后的矩阵是最后的矩阵是 现在，我们计算修改的向量现在，我们计算修改的向量 b b。我们有。我们有 最后，由回代过程计算得最后，由回代过程计算得3232. . 第三章第三章 1 1.3 P1 1.3 P56P57 对于手算来说，对于手算来说，算法算法3.33.3 无疑是麻烦的。然而，在计算机上，它比同类无疑是麻烦的。然而，在计算机上，它比同类的应用矩阵交换的算法则更为有效。的应用矩阵交换的算法则更为有效。3333. .1 1.4 G

35、auss-Jordan 1 1.4 Gauss-Jordan 消去法消去法 P57P57 1.4 Gauss-Jordan 消去法 解线性方程组（解线性方程组（1.11.1）的）的 Gauss-JordanGauss-Jordan消去法消去法实际上是无回代过程的实际上是无回代过程的GaussGauss消去法。为了不进行回代过程，只要在消元过程的每一步将主列中除主消去法。为了不进行回代过程，只要在消元过程的每一步将主列中除主元以外的其余元素均消为零。在实际计算中，第元以外的其余元素均消为零。在实际计算中，第k k步消元之前不必将主元交换步消元之前不必将主元交换到（到（k k，k k）位置上，可以

36、根据每一步选取的主元所在位置找出方程组的解。）位置上，可以根据每一步选取的主元所在位置找出方程组的解。 类似于公式类似于公式(1.9)(1.9)的推导，容易导出的推导，容易导出Gauss-JordanGauss-Jordan消去法（按列选主元）消去法（按列选主元）的计算公式。我们将方程组的右端项记作的计算公式。我们将方程组的右端项记作 ，并，并设第设第k k步选取的主元为步选取的主元为 （列主元），则在消元过程中有（列主元），则在消元过程中有 其中其中3434. . 第三章第三章 1 1.4 P1 1.4 P57 方程组的解为方程组的解为 算法算法 3.33.3 应用应用Gauss-Jorda

37、nGauss-Jordan列主元消去法解列主元消去法解 n n阶线性方程组阶线性方程组 其中其中 输入输入 方程组的阶数方程组的阶数 n n；增广矩阵；增广矩阵AA，bb。 输出输出 方程组的解方程组的解 或系数矩阵奇异的信息。或系数矩阵奇异的信息。step1对对k=1,2,=1,2,n ,n 做做step2-4。step2选主元选主元: :求求 , ,使使 step3若若 ，则输出（，则输出（A is singularA is singular ）；）； 停机。停机。 3535. . 第三章第三章 1 1.4 P1 1.4 P58step4对对，做做 step5- -6。step5step6

38、对对step7对对step8输出输出；停机。停机。3636. .1 1.5 矩阵方程的解法 P58 P58 现在，我们应用现在，我们应用G Gaussuss消去法来解矩阵方程消去法来解矩阵方程，（1.18）其中其中。假如按照自然顺序进行消元，。假如按照自然顺序进行消元，则类似于公式（则类似于公式（1 1.9 9），在消元过程的第），在消元过程的第k k 步得到步得到其中规定其中规定。由回代过程得到方程（由回代过程得到方程（1 1.1818）的解）的解X X 的元素的元素 的计算公式为的计算公式为注意注意,逐步计算得逐步计算得存放到存放到的位置上，的位置上，存放到存放到 的位置上，最后的位置上，

39、最后的解的解还可存放到还可存放到 的位置上。同解线性方程组的位置上。同解线性方程组 的情形完全一的情形完全一样，一般需要选主元。因此我们可以用样，一般需要选主元。因此我们可以用G Gaussuss列主元消去法列主元消去法或或G Gaussuss-J Jordrdan n列主元消去法解矩阵方程（列主元消去法解矩阵方程（1 1.1818）。）。3737. .1 1.6 Gauss 1 1.6 Gauss 消去法的矩阵表示形式消去法的矩阵表示形式 P58P581.6 Gauss 消去法的矩阵表示形式 应用基本应用基本GaussGauss消去法（假设没有进行行交换）解线性方程组（消去法（假设没有进行行

40、交换）解线性方程组（1.11.1）或）或（1.21.2），消元过程的第一步得到），消元过程的第一步得到 即有即有 （ 1.21 1.21 ） 其中其中 第二步得到第二步得到 即有即有3838. . 第三章第三章 1 1.6 P591 1.6 P59假设进行了假设进行了k-1k-1步，得到步，得到即有即有或写成或写成其中其中 （1.221.22） 第第k k步则有步则有即有即有其中其中3939. . 第三章第三章 1 1.6 P59 1 1.6 P59 下下其中其中经过经过 n-1 n-1 步消元后，我们得到步消元后，我们得到即即 是一个上三角阵。回代过程是解上三角阵方程组（是一个上三角阵。回代

41、过程是解上三角阵方程组（1.251.25）。）。 矩阵矩阵 称为称为 GaussGauss变换矩阵变换矩阵 或或 消元矩阵消元矩阵。我们可以把它写成。我们可以把它写成其中其中I I为为n n阶单位阵，阶单位阵， 是第是第k k个分量是个分量是1 1而其余分量全为而其余分量全为0 0的的n n维向量，以及维向量，以及4040. . 第三章第三章 1 1.6 P591 1.6 P59特别地，若令特别地，若令 ，则有，则有 这就是说，这就是说， 把把 的后的后 个分量都消为零。个分量都消为零。 由于由于 ，因此有，因此有 从而从而其次，当其次，当 时，由于时，由于则有则有4141. . 第三章第三章

42、 1 1.6 P601 1.6 P60它是一个单位下三角阵。它是一个单位下三角阵。4242. . 第三章第三章 1 1.6 P601 1.6 P60P61P61 记记 ，据（，据（1.241.24）和（）和（1.251.25）式有）式有 因此因此 这样，我们把矩阵这样，我们把矩阵A A分解成一个单位下三角阵和一个上三角阵的乘积。分解成一个单位下三角阵和一个上三角阵的乘积。 为了使基本为了使基本GaussGauss消去法（不作行交换）能进行到底，我们假定了主元消去法（不作行交换）能进行到底，我们假定了主元 全不为零。自然，我们要问在什么情形下这些主元全不零全不为零。自然，我们要问在什么情形下这些

43、主元全不零？都是非奇异，此处都是非奇异，此处 。 证明证明 对对k k用归纳法证明。当用归纳法证明。当 时，时， ，定理结论显然成立。，定理结论显然成立。假设定理直到假设定理直到 成立，即成立，即 全不为零的充分必要条件是全不为零的充分必要条件是顺序主子矩阵顺序主子矩阵 都非奇异。因此，无论是假定都非奇异。因此，无论是假定 全不为零或是全不为零或是 都非奇异，都非奇异，GaussGauss消去法的消元过程总可进行消去法的消元过程总可进行k k1 1步，据步，据(1.22)(1.22)式式 4343. . 第三章第三章 1 1.6 P611 1.6 P614444. . 第三章第三章 1 1.6

44、 P61 1 1.6 P61 下下4545. . 第三章第三章 1 1.6 P621 1.6 P624646. . 第三章第三章 1 1.6 P611 1.6 P61P62P624747. . 第三章第三章 1 1.6 P62 1 1.6 P62 P634848. .2 直接三角分解法 2.1 2.1 矩阵三角分解法矩阵三角分解法 2.2 Court 2.2 Court 方法方法 2.3 Cholesky 2.3 Cholesky 分解分解 2.4 2.4 分解分解 2.5 2.5 对称正定带状矩阵的对称分解对称正定带状矩阵的对称分解 2.6 2.6 解三对角线性方程组的三对角算法解三对角线性

45、方程组的三对角算法（追赶法）（追赶法）4949. .2 2.1 2 2.1 直接三角分解法直接三角分解法 P63P63 2.1 矩阵三角分解法2 直接三角分解法5050. . 第三章第三章 2 2.1 P632 2.1 P635151. . 第三章第三章 2 2.1 P63 2 2.1 P63 P645252. . 第三章第三章 2 2.1 2 2.1 P645353. . 第三章第三章 2 2.1 P64 2 2.1 P64 P655454. . 第三章第三章 2 2.1 2 2.1 P655555. . 第三章第三章 2 2.1 2 2.1 P65中中5656. .2 2.2 Crout2

46、 2.2 Crout方法方法 P65P652.2 Crout方法5757. . 第三章第三章 2 2.2 P66 2 2.2 P66 上上5858. . 第三章第三章 2 2.2 P66 2 2.2 P66 中中5959. . 第三章第三章 2 2.2 P66 2 2.2 P66 P676060. . 第三章第三章 2 2.2 2 2.2 P676161. . 第三章第三章 2 2.2 2 2.2 P67下下6262. . 第三章第三章 2 2.2 2 2.2 P686363. . 第三章第三章 2 2.2 2 2.2 P68下下6464. . 第三章第三章 2 2.2 2 2.2 P68P6

47、96565. . 第三章第三章 2 2.2 2 2.2 P696666. . 第三章第三章 2 2.2 2 2.2 P69P706767. . 第三章第三章 2 2.2 2 2.2 P706868. . 第三章第三章 2 2.2 2 2.2 P70下下6969. .2 2.3 Cholesky2 2.3 Cholesky分解分解 P71 P71 2.3 Cholesky分解 P71 7070. . 第三章第三章 2 2.3 2 2.3 P717171. . 第三章第三章 2 2.3 2 2.3 P727272. . 第三章第三章 2 2.3 2 2.3 P72下下7373. . 第三章第三章

48、2 2.3 2 2.3 P737474. . 第三章第三章 2 2.3 2 2.3 P72P737575. . 第三章第三章 2 2.4 2 2.4 P747676. .2 2.4 2 2.4 分解分解 P73P73P74P742.4 分解7777. . 第三章第三章 2 2.4 2 2.4 P747878. . 第三章第三章 2 2.4 2 2.4 P74下下7979. . 第三章第三章 2 2.4 2 2.4 P758080. . 第三章第三章 2 2.4 2 2.4 P75下下8181. . 第三章第三章 2 2.4 2 2.4 P75P768282. . 第三章第三章 2 2.4 2

49、2.4 P768383. . 第三章第三章 2 2.4 2 2.4 P76下下8484. .2 2.5 2 2.5 对称正定带状矩阵的对称分解对称正定带状矩阵的对称分解 P77P772.5 2.5 对称正定带状矩阵的对称分解对称正定带状矩阵的对称分解8585. . 第三章第三章 2 2.5 P77 2 2.5 P77 下下8686. . 第三章第三章 2 2.5 P772 2.5 P77P788787. . 第三章第三章 2 2.5 2 2.5 P788888. . 第三章第三章 2 2.5 P782 2.5 P78P798989. . 第三章第三章 2 2.5 2 2.5 P799090.

50、.2 2.6 2 2.6 解三对角线性方程组的三对角算法（追赶法）解三对角线性方程组的三对角算法（追赶法）P79 P79 下下2.6 解三对角线性方程组的三对角算法（追赶法）9191. . 第三章第三章 2 2.6 2 2.6 P809292. . 第三章第三章 2 2.6 2 2.6 P80下下9393. . 第三章第三章 2 2.6 2 2.6 P819494. . 第三章第三章 2 2.6 2 2.6 P81下下9595. . 第三章第三章 2 2.6 2 2.6 P829696. .3 行列式和逆矩阵的计算 设设 是是n n阶矩阵。这一节，我们讨论矩阵阶矩阵。这一节，我们讨论矩阵A A

51、的行的行列式列式detA detA 和逆矩阵和逆矩阵 的计算。的计算。 3.1 3.1 行列式的计算行列式的计算 3.2 3.2 逆矩阵的计算逆矩阵的计算9797. .3 3.1 3.1 行列式的计算行列式的计算 P82 P82 下下3.1 行列式的计算9898. . 第三章第三章 3 3.1 3 3.1 P839999. .3 3.2 3 3.2 逆逆 n n矩阵的计算矩阵的计算 P83P843.2 逆矩阵的计算100100. . 第三章第三章 3 3.2 3 3.2 P84101101. . 第三章第三章 3 3.2 3 3.2 P84P85102102. . 第三章第三章 3 3.2 3

52、 3.2 P85103103. . 第三章第三章 3 3.2 3 3.2 P85P86104104. . 第三章第三章 3 3.2 3 3.2 P86105105. . 第三章第三章 3 3.2 3 3.2 P86P87106106. .4 向量和矩阵的范数 4.1 4.1 向量范数向量范数 4.2 4.2 矩阵范数矩阵范数 4.3 4.3 向量和矩阵的极限向量和矩阵的极限 4.4 4.4 条件数和摄动理论初步条件数和摄动理论初步 在数值代数，误差分析与微分方程的数值解法中，都要用到向量在数值代数，误差分析与微分方程的数值解法中，都要用到向量和矩阵的和矩阵的“大小大小”即即 范数以及极限概念。

53、这一节，我们来讨论这些范数以及极限概念。这一节，我们来讨论这些问问题。题。107107. .4.1 4.1 向量范数向量范数 P87 4.1 向量范数108108. . 第三章第三章 4 4.1 4 4.1 P87P88109109. . 第三章第三章 4 4.1 4 4.1 P88110110. . 第三章第三章 4 4.1 4 4.1 P88P89111111. . 第三章第三章 4 4.1 4 4.1 P89P90112112. . 第三章第三章 4 4.1 4 4.1 P90113113. . 第三章第三章 4 4.1 4 4.1 P90下下114114. . 第三章第三章 4 4.1

54、 4 4.1 P91115115. .4 4.2 4 4.2 矩阵范数矩阵范数 P91 P91 下下116116. . 第三章第三章 4 4.2 4 4.2 P91P92117117. . 第三章第三章 4 4.2 4 4.2 P92118118. . 第三章第三章 4 4.2 4 4.2 P92P93119119. . 第三章第三章 4 4.2 4 4.2 P93120120. . 第三章第三章 4 4.2 4 4.2 P94121121. . 第三章第三章 4 4.2 4 4.2 P94P95122122. . 第三章第三章 4 4.2 4 4.2 P95123123. . 第三章第三章

55、4 4.2 4 4.2 P95P96124124. . 第三章第三章 4 4.2 4 4.2 P96125125. . 第三章第三章 4 4.2 4 4.2 P96P97126126. . 第三章第三章 4 4.2 4 4.2 P97127127. . 第三章第三章 4 4.2 4 4.2 P98128128. . 第三章第三章 4 4.2 4 4.2 P98下下129129. .4 4.3 4 4.3 向量和矩阵的极限向量和矩阵的极限 P98P98130130. . 第三章第三章 4 4.3 P994 4.3 P99131131. . 第三章第三章 4 4.3 P99 4 4.3 P99 P

56、100132132. . 第三章第三章 4 4.3 4 4.3 P100133133. . 第三章第三章 4 4.3 4 4.3 P100P101134134. . 第三章第三章 4 4.3 4 4.3 P101P102135135. . 第三章第三章 4 4.3 4 4.3 P102136136. . 第三章第三章 4 4.3 4 4.3 P102P103137137. . 第三章第三章 4 4.34 4.3P103138138. .4.4 4.4 条件数和摄动理论初步条件数和摄动理论初步 P103P103P1044.4 条件数和摄动理论初步 在线性代数计算中，计算结果通常是近似的。这是因为

57、，在计算在线性代数计算中，计算结果通常是近似的。这是因为，在计算过程中，由于计算机的字长有限，不可避免地产生舍入误差；另一方过程中，由于计算机的字长有限，不可避免地产生舍入误差；另一方面，由于问题的初始数据，例如线性方程组的系数矩阵和右端项，往面，由于问题的初始数据，例如线性方程组的系数矩阵和右端项，往往不是准确给出的，因此使计算结果产生误差。或者说，如果初始数往不是准确给出的，因此使计算结果产生误差。或者说，如果初始数据有摄动，那么计算结果亦将产生摄动。据有摄动，那么计算结果亦将产生摄动。139139. . 第三章第三章 4 4.44 4.4P104140140. . 第三章第三章 4 4.

58、44 4.4P105141141. . 第三章第三章 4 4.44 4.4P105P106142142. . 第三章第三章 4 4.44 4.4P106143143. . 第三章第三章 4 4.44 4.4P106P107144144. . 第三章第三章 4 4.44 4.4P107145145. . 第三章第三章 4 4.44 4.4P107P108146146. . 第三章第三章 4 4.44 4.4P108147147. .5 Gauss 5 Gauss 消去法的浮数舍入误差分析消去法的浮数舍入误差分析 P108 P108 P1095 Gauss 消去法的浮数舍入误差分析148148.

59、. 第三章第三章 55P109P109149149. . 第三章第三章 55P109 P109 P110150150. . 第三章第三章 55P110151151. . 第三章第三章 55P111152152. . 第三章第三章 55P111P112153153. . 第三章第三章 55P112P112154154. . 第三章第三章 55P112 P112 P113155155. . 第三章第三章 55P113156156. . 第三章第三章 55P113P114157157. . 第三章第三章 55P114158158. . 第三章第三章 55P114P115159159. . 第三章第三章 55P115P116160160. . 第三章第三章 55P116161161. .