初中数学八年级下册初中数学八年级下册（苏科版）（苏科版）4.24.2一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的解法根的判别式根的判别式根的判别式根的判别式1 知识回顾知识回顾1.1.一元二次方程的求根公是什么？一元二次方程的求根公是什么？一般地，对于一元二次方程一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（（a≠0），当），当b2-4ac≥0时，它的根是时，它的根是2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，进而确定进而确定a、、b、、c的值，再求出的值，再求出b2-4ac的值，的值， 当当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；的前提下，再代入公式求解； 当当b2-4ac＜＜0时，方程无实数时，方程无实数 解解(根根) 2 知识回顾知识回顾3.3.用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：⑴⑴ x2＋＋x－－1 = 0 ⑵⑵ x2－－2 ⑶⑶ 2x2－－2x＋＋1 = 0 x＋3 = 0 观察上面解一元二次方程的过程，一元二次观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关 系不解方程得出方程的解的情况呢？系不解方程得出方程的解的情况呢？3 尝试尝试：：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴⑴ x2＋＋2x－－8 = 0 ⑵⑵ x2 = 4x－－4 ⑶⑶ x2－－3x = －－3（（3）没有实数根）没有实数根 答案：（答案：（1）有两个不相等的实数根；）有两个不相等的实数根；（（2）有两个相等的实数根；）有两个相等的实数根；你能得出什么结论？你能得出什么结论？ 可以发现可以发现b2－－4ac的符号的符号决定着方程的解。
决定着方程的解4 概括总结概括总结，x2=2 由此可以发现一元二次方程由此可以发现一元二次方程ax2＋＋bx＋＋c = 0（（a≠0）的根的情况可由）的根的情况可由b2－－4ac来判定来判定 当当b2－－4ac＞＞0时，方程有时，方程有两个不相等的实数根两个不相等的实数根 当当b2－－4ac = 0时，方程有时，方程有两个相等的实数根两个相等的实数根 当当b2－－4ac ＜＜ 0时，方程时，方程没有实数根没有实数根我们把我们把b2－－4ac叫做一元二次方程叫做一元二次方程ax2＋＋bx＋＋c = 0（（a≠0））的根的判别式的根的判别式 若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？判别式的值的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－－4ac＞＞0 当一元二次方程有两个相等的实数根时，当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－－4ac = 0 当一元二次方程没有实数根时，当一元二次方程没有实数根时，b2－－4ac ＜＜ 05 概念巩固概念巩固1.方程方程3x2+2=4x的判别式的判别式b2-4ac= ，，所以方程的根的情况是所以方程的根的情况是 .2.下列方程中，没有实数根的方程是（下列方程中，没有实数根的方程是（ ））A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0 -8方程无实数根方程无实数根D3.方程方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式有实数根，那么总成立的式子是（子是（ ））A.b2-4ac＞＞0 B. b2-4ac＜＜0 C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0D6 典型例题典型例题例例1 1不解方程，判断下列方程根的情况：不解方程，判断下列方程根的情况：（（1 1））-x-x2 2+ x-6=0+ x-6=0（（2 2））x x2 2+4x=2+4x=2（（3 3））4x4x2 2+1=-3x+1=-3x（（4 4））x x2 2-2mx+4-2mx+4（（m-1m-1））=0=0解解（（1））∵ ∵b2-4ac=24-4×（（-1））×（（-6））=0∴ ∴该方程有两个相等的实数根该方程有两个相等的实数根（（2）） 移项，得移项，得x2+4x-2=0 ∵ ∵b2-4ac=16-4×1×（（-2））=16-（（-8）） =16+8=24＞＞0 ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根该方程有两个不相等的实数根7 典型例题典型例题例例1不解方程，判断下列方程根的情况：不解方程，判断下列方程根的情况：（（3））4x2+1=-3x（（4））x2-2mx+4（（m-1））=0解（解（3）移项，得）移项，得4x2+3x+1=0 ∵ ∵b2-4ac=9-4×4×1=9-16=-7＜＜0 ∴ ∴该方程没有实数根该方程没有实数根（（4））∵ ∵b2-4ac=（（2m））2-4×1×4（（m-1）） =4m2-16（（m-1）） =4m2-16m+16 =（（2m-4））2≥0 ∴ ∴该方程有两个实数根该方程有两个实数根 8 典型例题典型例题例例2 ：：m为任意实数，试说明关于为任意实数，试说明关于x的方程的方程x2-（（m-1））x-3（（m+3））=0恒有两个不相等恒有两个不相等的实数根。
的实数根解：解： ∵ ∵不不论论m m取任何取任何实实数，数，总总有（有（m+5m+5））2 2≥0≥0 ∴b ∴b2 2-4ac=-4ac=（（m+5m+5））2 2+12≥12+12≥12＞＞0 0∴ ∴不论不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根 9 典型例题典型例题例例3：：m为何值时，关于为何值时，关于x的一元二次方程的一元二次方程 2x2-（（4m+1））x+2m2-1=0：：（（1）有两个不相等的实数根？）有两个不相等的实数根？（（2）有两个相等的实数根？）有两个相等的实数根？（（3）没有实数根？）没有实数根？ 解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9 （（1）若方程有两个不相等的）若方程有两个不相等的实实数根，数根，则则b2-4ac c＞＞0 0，，即即8m+98m+9＞＞0 ∴m0 ∴m＞＞（（2 2）若方程有两个相等的）若方程有两个相等的实实数根，数根，则则b b2 2-4ac=0-4ac=0即即8m+9=0 ∴m=8m+9=0 ∴m=（（3 3）若方程没有）若方程没有实实数根，数根，则则b b2 2-4ac-4ac＜＜0 0即即8m+98m+9＜＜0 ∴m0 ∴m＜＜∴∴当当m m＞＞ 时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；当当m= 时，时，方程有两个相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；当m＜＜ 时，方程没有实数根时，方程没有实数根10 练一练练一练 例例4：已知关于：已知关于x的方程的方程kx2－（－（2k＋＋1））x＋＋k＋＋3 = 0有两个不相等的实数有两个不相等的实数根，求根，求k的取值范围。
的取值范围解：解：∵ ∵方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根即即k＜＜∴ ∴（（2k+1））2-4k（（k+3）＞）＞04k2+4k+1-4k2-12k＞＞0-8k+1＞＞011 练一练练一练1.1.不解方程，判断方程根的情况：不解方程，判断方程根的情况：（（1 1））x x2 2+3x-1=0;+3x-1=0;(2)x(2)x2 2-6x+9=0;-6x+9=0;(3)2y(3)2y2 2-3y+4=0-3y+4=0(4)x(4)x2 2+5= x+5= x12 练一练练一练2.k取什么值时，方程取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的有两个相等的实数根？求这时方程的根实数根？求这时方程的根3.已知已知a、、b、、c分别是三角形的三边，则关于分别是三角形的三边，则关于x的一的一元二次方程（元二次方程（a+b））x2+2cx+（（a+b））=0的根的情况的根的情况是（是（ ））A、没有实数根、没有实数根 B、可能有且仅有一个实数根、可能有且仅有一个实数根C、有两个相等的实数根、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根。
有两个不相等的实数根13 归纳总结归纳总结一元二次方程的根的情况与系数的关系？一元二次方程的根的情况与系数的关系？ b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式利用根的叫做一元二次方程根的判别式利用根的判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知b2-4ac的符号，进而得出方程中未知字母的取值的符号，进而得出方程中未知字母的取值情况。