8.1.2,样本的相关系数,学习目标,1.,结合实例,了解两个随机变量间的样本相关系数的含义,了解样本相关系数与,“,标准化,”,处理后的成对数据两分量向量夹角的关系,;,2.,会利用公式求出相关系数,r,，并能利用相关系数,r,判断两个随机变量间线性相关程度的大小,.,3.,核心素养,:,直观想象、数据分析、,逻辑推理、数学运算,.,一、回顾旧知,1.,变量的相关关系,2.,散点图,3,.,变量相关关系的分类,正相关和负相关,线性相关和非线性相关,像这样,两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为,相关关系,.,成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了统计图,.,我们把这样的统计图叫做,散点图,4.,两个变量之间相关关系的确定,(1).,经验作出推断,(2).,通过,样本数据分析，,从数据中提取信息，并,构建适当的模型，,再利用模型进行,估计或推断,平移,绘制散点图为,二、探究新知,1.,如何引入一个恰当的,“,数字特征,”,，对成对样本数据的相关程度进行定量分析,?,如果变量,x,和变量,y,负相关,那么关于均值平移后的大多数点 将分布在,第二、四象限,，对应的成对数据,异号居多,.,一般地,如果变量,x,和变量,y,正相关,那么 均值平移后的大多数点将分布在,第一、三象限,，对应的成对数据,同号居多,；,根据散点图特征，初步,构造统计量,.,利用散点 的横纵坐标,是否同号,可以构造一个量,一般情况下，表明成对样本数据,正相关,;,0,表明成对样本数据,负相关,;,0,在研究体重与身高之间的相关程度时,如果,体重的单位,不变,把身高单位由米改为厘米,单位的改变不会改变体重与身高之间的相关程度,.,你认为,的大小一定能度量出成对,样本数据的相关程度吗,?,我们发现,的大小与数据的度量单位有关，所以,不能直接用它度量成对样本数据相关程度的大小,.,为了消除单位的影响，进一步做,“,标准化,”,处理,当,r,0,时，称成对样本数据,正相关,；,当,r,0,时，称成对样本数据,负相关,我们称,r,为变量,x,和变量,y,的,样本相关系数,.,样本相关系数,r,是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征：,2.,样本相关系数,标准化处理后的成对样本数据,:,设其第一分量为,设其第二分量为,样本相关系数,r,的大小与成对样本数据的相关程度有什么内在联系呢,?,样本相关系数,r,的取值范围,样本相关系数,r,的取值范围为,-1,1,当,|r|=1,时，成对样本数据之间具有怎样的关系？,所以,当,|r|=1,时,，向量,与,共线,。
即存在实数,使得,成对样本数据,(x,i,y,i,),都落在直线,上,成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系,由此可见，样本相关系数r的取值范围为,-1，1,样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度：,当,|r|越接近1,时，成对样本数据的,线性相关程度越强;,当,|r|越接近0,时，成对样本数据的,线性相关程度越弱,.,样本相关系数r,有时也称,样本线性相关系数,|r|刻画了样本点集中于某条直线的程度.当r=0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系,，,但,不排除它们之间有其他相关关系,.,两个随机变量的,相关性,可以通过,散点图,对成对样本数据进行分析，而样本相关系数,r,可以反映两个随机变量之间的,线性相关程度,：,r,的符号反映相关关系的正负性，,|r|,的大小反映两个变量线性相关的程度，即散点集中于一条直线的程度,.,判断线性相关程度,:,散点图,+r,年龄,23,27,39,41,45,49,50,脂肪,9.5,17.8,21.2,25.9,27.5,26.3,28.2,年龄,53,54,56,57,58,60,61,脂肪,29.6,30.2,31.4,30.8,33.5,35.2,34.6,三、巩固新知,1.,例,1.,根据下表中脂肪含量和年龄的样本数据,推断,两个变量是否线性相关,计算样本相关系数,并推断,它们的相关程度,.,参考数据,:,1.,例,1.,根据下表中脂肪含量和年龄的样本数据,推断两个变量,是否线性相关,计算样本相关系数,并推断它们的相关程度,.,解：先画出散点图,如下图所,示,观察散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断脂肪含量和年龄,线性相关,.,由样本相关系数,可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强。
脂肪含量与年龄变化趋势相同,.,散点图,可以从直观上判断,成对样本,数据的相关性,，通过,样本相关系数,则可以从定量的角度刻画成对样本数据相关的,正负性,和,线性相关程度,.,解,:,2.,例,2.,有人收集了某城市居民收入,(,所有居民在一年内收入的总和,),与,A,商品销售额的,10,年数据，如下表所示,.,第,n,年,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,居民年收入,/,亿元,32.2,31.1,32.9,35.8,37.1,38,39,43,44.6,46,A,商品销售额,/,万元,25.0,30.0,34.0,37.0,39.0,41.0,42.0,44.0,48.0,51.0,画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收入与,A,商品销售额的相关程度和变化趋势的异同,.,从散点图看，,A,商品销售额与,居民年收入,的样本数据呈现线性相关关系,.,居民年收入,/,亿元,50,45,40,35,20,30,25,30,35,40,45,50,55,A,商品销售额,/,万元,2.,例,2.,有人收集了某城市居民收入,(,所有居民在一年内收入的总和,),与,A,商品销售额的,10,年数据，如下表所示,.,第,n,年,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,居民年收入,/,亿元,32.2,31.1,32.9,35.8,37.1,38,39,43,44.6,46,A,商品销售额,/,万元,25.0,30.0,34.0,37.0,39.0,41.0,42.0,44.0,48.0,51.0,3,例,3.,在某校高一年级中随机抽取,25,名男生,测得他们的身高、体重、臂展等数据,如下表所示,.,体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性,?,解,:,通过计算得到,体重与身高,、,臂展与身高,的样本相关系数分别约为,0.34,和,0.78,都为正相关,.,其中,臂展与身高的相关程度更高,.,对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是,(,),A,r,2,r,4,0r,3,r,1,B,r,4,r,2,0r,1,r,3,C,r,4,r,2,0r,3,r,1,D,r,2,r,4,0r,1,0,时，称成对样本数据正相关；当,r,0,时，称成对样本数据负相关,(2)r 的取值范围为,-1，1,(3)当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强;当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.,四、课堂小结,。