薄壁结构的构造和传力许震宇 薄板弯曲 板受轴压的稳定性 薄板的屈曲Ø能量法计算板的弹性失稳荷载主要内容: Ø不同面内荷载作用下板的弹性失稳Ø小挠度理论板的弹性曲面微分方程Ø几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件Ø板稳定理论在钢结构设计中的应用 Ø 钢结构中板的分类：ü厚板： 受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不 能忽略剪切变形的影响ü薄板： 受力特点：横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计ü薄膜： 受力特点：没有抗弯刚度，依靠薄膜拉力与横向荷载平衡 Ø 板失稳的特点：ü板屈曲时产生出平面的双向弯曲变形（凸曲现象），故板上任何一 点的弯矩 、 和扭矩 以及板的挠度 都与此点的坐标有关ü板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理 想矩形板可直接求解分叉屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条 件的板，用平衡法很难求解；需用能量法或数值法求解ü理想薄板失稳属于稳定的分叉失稳对于有刚强侧边支撑的板，会 产生薄膜应力，提高钢板屈曲后的强度（屈曲后强度）ü按照小挠度理论分析只能得到板的分叉屈曲荷载，根据大挠度理论 分析才能得到板的屈曲后强度和板的挠度。
Ø 小挠度理论板的弹性曲面微分方程u基本假定：ü垂直于中面方向的正应变很小，可以忽略即中面任何一根法线上， 薄板全厚度内的所有点具有相同的挠度；且可以忽略中面因弯曲变 形伸长而产生的薄膜应力ü应力分量 、 和 远小于 、 和 ，故可以忽略他们产生的 正应变 、剪应变 和 薄板小挠度弯曲问题可简化为平面应 力问题ü薄板弯曲时，中面内各点不产生平行于中面的应变即在xy平面上 的投影形状不变类似于受弯构件平截面假定ü板为各向同性的弹性体，应力与应变关系服从虎克定律 Ø 小挠度理论板的弹性曲面微分方程ü弹性曲面微分方程 以弯曲变形后的状态建立x、y、z方向力的平衡方程和绕x轴、y轴的 力矩的平衡方程，合并后有：为板的抗弯刚度；为板中面沿x、y轴方向单位长度上的应力；为板中面单位长度上的剪力 Ø 小挠度理论板的弹性曲面微分方程ü单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载 单向（x方向）均匀受压四边简支板， 由均匀受压简支板 Ø 小挠度理论板的弹性曲面微分方程ü单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载 边界条件：、 时：、 时：代入平衡方程有：满足上式的唯一条件是每一项系数中括号内的式子为零：或 Ø 小挠度理论板的弹性曲面微分方程ü单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载 临界荷载为板保持微弯曲状态的最小荷载，故取n＝1； k为屈曲系数，且： 由 ，有均匀受压板的屈曲应力与板的宽厚比的平方成反比，而与板的长度无关。
Ø 小挠度理论板的弹性曲面微分方程ü单向均匀受压简支板的弹性失稳荷载板件屈曲系数（四边简支） Ø 能量法计算板的弹性失稳荷载 板在微弯状态时的总势能为： Ø 能量法计算板的弹性失稳荷载ü瑞利-里兹法要求假定的挠曲面函数符合板的几何边界条件假定挠曲面函数为：代入总势能公式，积分后利用势能驻值原理，有：系数行列式为零板的屈曲方程 Ø 能量法计算板的弹性失稳荷载ü瑞利-里兹法算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载板的两加载边和 一个非加载边简支，另一非加载边自由假定挠曲面函数为：代入总势能公式，积分后有： 由 ，有总势能为：由势能驻值原理，有： Ø 能量法计算板的弹性失稳荷载ü瑞利-里兹法若取 ，则： 令 ，可得px的最小值：均匀受压三边简支一边自由 Ø 能量法计算板的弹性失稳荷载ü迦辽金法要求假定的挠曲面函数符合板的几何和自然边界条件假定挠曲面函数为：板的平衡微分方程为：积分关于Ai的线性方程组建立迦辽金方程组：系数行列式为零板的屈曲方程 Ø 能量法计算板的弹性失稳荷载ü迦辽金法算例Ⅰ：求解单向均匀受压矩形板的屈曲荷载。
板的两加载边 简支，两非加载边固定假定挠曲面函数为：建立迦辽金方程： 板的平衡微分方程：由 ，有： Ø 能量法计算板的弹性失稳荷载ü不同边界条件单向均匀受压板的屈曲系数屈曲系数 与 的关系对于很宽的薄板，采用纵向加劲肋减小宽度b是有效的加载边固定与加载边简支对屈曲系数的影响：当a/b<2时提高幅度很大对于单向均匀受压的狭长板，用横向加劲肋减小比值a/b从而提高屈曲系数并无明显效果；如把加劲肋间距取得小于2b又很不经济 Ø 不同面内荷载作用下板的弹性失稳ü单向非均匀受压板的弹性失稳规定压应力为正值，拉应力为负值，应力梯度为：非均匀受压简支板距离上边缘y处的应力为：为均匀受压；为纯弯矩作用F用里兹法求解屈曲荷载假定符合简支边界条件的挠曲面函数为： Ø 不同面内荷载作用下板的弹性失稳ü单向非均匀受压板的弹性失稳作用于板中面单位长度荷载为：由总势能公式有（ ）：带入w及px Ø 不同面内荷载作用下板的弹性失稳ü单向非均匀受压板的弹性失稳取二重三角级数的前三项，且m＝1；由势能驻值原理有：由系数行列式为零，即可求出屈曲荷载。
Ø 不同面内荷载作用下板的弹性失稳ü单向非均匀受压板的弹性失稳临界应力为：其中屈曲系数为：时，令 ，则纯弯曲板的屈曲荷载为：纯弯曲板的屈曲系数 Ø 不同面内荷载作用下板的弹性失稳ü均匀受剪板的弹性失稳非均匀受压简支板对角线方向因受压而屈曲，板屈曲波长与另一对角线方向的拉力有关，对于长板，屈曲时的半波长度约为板宽的1.25倍F用迦辽金法求解屈曲荷载板的平衡方程为：板中面力为： ， 假定挠曲面函数为：建立迦辽金方程组：Ø 不同面内荷载作用下板的弹性失稳ü均匀受剪板的弹性失稳积分后有：屈曲方程 对于矩形板，精确分析后可知：Ø 不同面内荷载作用下板的弹性失稳ü均匀受剪板的弹性失稳临界应力为：均匀受剪板的屈曲系数ks为剪切屈曲系数（P141，表6.1） Ø 不同面内荷载作用下板的弹性失稳ü一个边缘受压的四边简支板的临界应力非均匀受压当压应力非均匀分布时，四边简支板：当压应力均匀分布时：吊车梁腹板：均匀受压设计中考虑翼缘对腹板的约束，对k修正 Ø 几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件ü用横向加筋肋加强的梁腹板设置横向加劲肋的梁梁腹板同时受弯曲正应力、均布剪应力，还可能存在边缘压应力。
当这些应力达到某种组合的一定值时，腹板将由平板稳定状态变为微曲的平衡状态临界状态的相关方程为：腹板受力为由平均弯矩产生的腹板计算高度边缘的弯曲应力；为由平均剪力产生的腹板平均剪应力；为腹板边缘的局部压应力； Ø 几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件ü同时用横向加筋肋和纵向加筋肋加强的梁腹板加劲肋的设置区隔Ⅰ：腹板受力区隔Ⅱ： Ø 几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件ü同时用横向加筋肋、受压区纵向加筋肋、短加筋肋加强的梁腹板加劲肋的设置区隔Ⅰ：区隔Ⅱ： Ø 几种边缘荷载共同作用下薄板的临界条件ü偏心受压柱的腹板偏心受压柱的腹板，不能忽略剪应力的影响，应按承受单向线性分布压力和均布剪应力共同作用的薄板考虑临界状态的相关方程为：偏心受压柱的腹板为应力梯度； Ø 板稳定理论在钢结构设计中的应用ü轴心受压构件中板件的局部稳定设计考虑板件之间的相互约束作用，可得到板件临界应力的一般公式为：局部失稳临界应力不小于构件整体稳定应力：轴心受压构件的局部失稳 Ø 板稳定理论在钢结构设计中的应用ü轴心受压构件中板件的局部稳定设计不考虑腹板对翼缘的约束作用，弹性约束（嵌固）系数取1.0，屈曲系数为0.425：F工字型截面翼缘宽厚比考虑翼缘对腹板的约束作用，弹性约束（嵌固）系数取1.3，屈曲系数为4：F工字型截面腹板高厚比其他构件截面板件宽厚比限值见表6.2（P151）。
Ø 板稳定理论在钢结构设计中的应用ü受弯构件中板件的局部稳定设计热轧型钢：板件宽厚比较小，能够满足局部稳定要求；冷弯薄壁型钢：参考《冷弯薄壁型钢技术规范》GB50018钢结构焊接组合梁：分别考虑翼缘和腹板的局部稳定梁的局部失稳 Ø 板稳定理论在钢结构设计中的应用梁的受压翼缘受均布压应力作用，不考虑腹板对翼缘的约束作用，弹性约束（嵌固）系数取1.0，屈曲系数为0.425，弹性模量折减系数取0.25，代入临界应力公式，有：F受压翼缘的局部稳定设计当梁在绕强轴的弯矩作用下的强度按弹性设计时，宽厚比可放宽为：ü受弯构件中板件的局部稳定设计箱形梁翼缘板在两腹板之间的部分，弹性约束（嵌固）系数取1.0，屈曲系数为4，弹性模量折减系数取0.25，代入临界应力公式，有： Ø 板稳定理论在钢结构设计中的应用F腹板的局部稳定设计ü受弯构件中板件的局部稳定设计根据规范布置加劲肋，计算各区隔板的各种应力和临界应力，使其满足稳定条件腹板加劲肋的布置 Ø 板稳定理论在钢结构设计中的应用ü压弯构件中板件的局部稳定设计与梁的受压翼缘相同受力与偏心受压柱腹板相同，工字型截面在平均剪应力和不均匀正应力的作用下，临界条件为：F腹板的高厚比 工字型截面经分析，平均剪应力取腹板弯曲应力的0.3倍，即可得到：弹性塑性F翼缘的宽厚比 Ø 板稳定理论在钢结构设计中的应用ü压弯构件中板件的局部稳定设计当 时，腹板宽厚比限值采用与翼缘相同；当 时，放宽此限值，见表6.4（P155）。
FT形截面的腹板考虑两腹板受力可能不一致，且翼缘对腹板的约束也不如工字型截面（单侧角焊缝），箱形截面腹板高厚比限值取工字型截面的0.8倍F箱形截面的腹板F圆管截面直径与厚度之比的限值与轴心受压构件相同 壳体 作业： 。