一一一一. . 无穷积分的性无穷积分的性无穷积分的性无穷积分的性质质质质§2 无穷积分的收敛性质与判别无穷积分的收敛性质与判别收敛的充要条件是收敛的充要条件是: :(无穷积分收敛的柯西准则无穷积分收敛的柯西准则) )无穷积分无穷积分 定理定理11.111.1 性质１性质１性质性质2其中右边第一项为定积分其中右边第一项为定积分. . 注注性质３说明：绝对收敛的级数自身一定收敛．性质３说明：绝对收敛的级数自身一定收敛．我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛．我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛．性质性质3但自身收敛的级数但自身收敛的级数, 不一定绝对收敛．不一定绝对收敛． 二二二二. . 比较判别法比较判别法比较判别法比较判别法1 1、定理、定理11.2 11.2 （比较准则）（比较准则） 2 2、推论、推论1 1 3 3、柯西判别法、柯西判别法推论推论2 2 推论推论3则有则有: :(i)(i)当当 时时, , 收敛收敛; ;(ii)(ii)当当 时时, , 发散发散. . 定理定理11.3 (狄利克雷判别法狄利克雷判别法) 三三. 狄利克雷达判别法与阿贝尔判别狄利克雷达判别法与阿贝尔判别法法若若在在上有界上有界, ,在在上当上当时单调趋于时单调趋于0,0,则则收敛收敛. . 证证: :由条件设由条件设任给任给由于由于因此存在因此存在当当时时, ,有有又因又因为单调函数为单调函数, ,利用积分第二中值定理利用积分第二中值定理, ,对于任何对于任何存在存在使得使得于是有于是有根据柯西准则根据柯西准则: :收敛收敛. . 定理定理11.4 (阿贝尔判别法阿贝尔判别法) 例例1 1 讨论讨论与与的收的收敛敛性性. .解解 (i)(i) 当当时时绝对绝对收收敛敛. .因因为为而而当当时时收收敛敛, ,故由比故由比较较法法则则推知推知收收敛敛. . (ii)(ii) 当当而而当当时单调趋于时单调趋于故由狄利克雷判别法推知故由狄利克雷判别法推知当当时总是收敛的时总是收敛的. .又由于又由于其中其中满足狄利克雷判别条件满足狄利克雷判别条件, , 是收敛的是收敛的, , 而而是发散的是发散的, ,因此当因此当时该无穷积分不是绝对收敛的时该无穷积分不是绝对收敛的. .所以它是条件收敛的所以它是条件收敛的. . 例例2. 讨论下列无穷积分的收敛性， 讨论下列无穷积分的收敛性，解解(1)：：根据柯西判别法根据柯西判别法解解(２２)：：根据柯西判别法根据柯西判别法 例例3解解根据比较原则，根据比较原则， 例例4解解根据极限判别法，所给反常积分发散．根据极限判别法，所给反常积分发散．例例5解解根据极限判别法，所给反常积分发散．根据极限判别法，所给反常积分发散． 证证即即收敛收敛. 例例5解解所以所给反常积分收敛所以所给反常积分收敛. 。