第三章恒定电流场

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1、第三章第三章 恒定电流场恒定电流场3.1 3.1 恒定电场中恒定电场中J J与与E E的关系的关系3.2 3.2 电流连续性原理电流连续性原理3.3 3.3 恒定电场中的边界条件恒定电场中的边界条件3.4 3.4 静电场与恒定电场的比拟静电场与恒定电场的比拟Steady Electric Field1.1.电流及电流强度电流及电流强度 分类：分类：传导电流传导电流与与运流电流运流电流。 传导电流传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形成的电流运动形成的电流。 运流电流运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成是

2、电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。的电流。3.1 3.1 恒定电场中恒定电场中J J与与E E的关系的关系 电流强度：电流强度：单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流，单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流，以以 I 表示。电流的单位为表示。电流的单位为A（安培安培）。 因此，电流因此，电流 I 与电荷与电荷 q 的关系为的关系为 电流密度：电流密度：是一个矢量，以是一个矢量，以 J 表示。电流密度的方向为表示。电流密度的方向为正正电荷电荷的运动方向，其大小为单位时间内的运动方向，其大小为单位时间内垂直垂直穿过单位面积的电荷量。穿过单位面积的电荷量。 因此，穿过任一

3、有向面元因此，穿过任一有向面元 dS 的电流的电流 dI 与与电流密度电流密度 J 的关系为的关系为 那么，穿过任一截面那么，穿过任一截面 S 的电流的电流 I 为为此式表明，此式表明，穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的通量通量。 在在外外源源的的作作用用下下，大大多多数数导导电电媒媒质质中中某某点点的的传传导导电电流流密密度度 J 与与该该点的电场强度点的电场强度 E 成正比，即成正比，即式中式中 称为电导率，其单位为称为电导率，其单位为 S/m 。 值愈大表明导电能力愈强，值愈大表明导电能力愈强，即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。

4、即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。上式又称为欧姆定律上式又称为欧姆定律 的微分形式。的微分形式。 电导率为无限大的导体称为电导率为无限大的导体称为理想导电体理想导电体。显然，在理想导电体。显然，在理想导电体中，无需电场推动即可形成电流。由上式可见，在理想导电体中是中，无需电场推动即可形成电流。由上式可见，在理想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为电导率为零的媒质，不具有导

5、电能力，这种媒质称为理想介质理想介质。 媒媒 质质电导率电导率(S/m)媒媒 质质电导率电导率(S/m)银银海海 水水4紫紫 铜铜淡淡 水水金金干干 土土铝铝变压器油变压器油黄黄 铜铜玻玻 璃璃铁铁橡橡 胶胶 运流电流运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能不同方向与电场强度的方向也可能不同。可以证明。可以证明运流电流的电流密度运流电流的电流密度J 与运动速度与运动速度 v 的关系为的关系为 式中式中 为电荷密度。为电荷密度。 与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均与介质的极化特性一样，媒质的

6、导电性能也表现出均匀与非均匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。义与前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。 3.2 恒定电场基本方程恒定电场基本方程 设闭合面设闭合面 S 包围的体积包围的体积 V 中驻立电荷的体密度为中驻立电荷的体密度为 ，则，则那么，那么，1.1.电流连续性原理电流连续性原理电流流出来为正，电量是减少的，电流流出来为正，电量是减少的，根据高斯定理，求得根据高斯定理，求得 上式为电荷守恒原理的微分形式。因此，对于恒定电流场，得上式为电荷守恒原理的

7、微分形式。因此，对于恒定电流场，得此式表明，此式表明，恒定电流场是无散的恒定电流场是无散的。 已知恒定电流场中的电荷分布与时间无关，即已知恒定电流场中的电荷分布与时间无关，即 ，由此得，由此得 此此式式表表明明，在在恒恒定定电电流流场场中中，电电流流密密度度通通过过任任一一闭闭合合面面的的通通量量为为零零。如如果果以以一一系系列列的的曲曲线线描描述述电电流流场场，令令曲曲线线上上各各点点的的切切线线方方向向表表示示该该点点电电流流密密度度的的方方向向，这这些些曲曲线线称称为为电电流流线线。那那么么，电电流流线线是是连连续续闭闭合合的的。它它和和电电场场线线不不同同，电电流流线线没没有有起起点点

8、和和终终点点，这这一一结结论论称称为为电流连续性原理电流连续性原理。2. 电动势电动势 如如图图所所示示，首首先先将将外外接接的的导导电电媒媒质质移移去去，讨讨论论开开路路情情况况下下外外源源内内部部的作用过程。的作用过程。 在外源中在外源中非静电力非静电力作用下，正电荷不作用下，正电荷不断地移向正极板断地移向正极板 P ，负电荷不断地移向负负电荷不断地移向负极板极板 N。极板上的电荷在外源中形成电场极板上的电荷在外源中形成电场 E ，其方向由正极板指向负极板，而且随其方向由正极板指向负极板，而且随着极板上电荷的增加不断增强。着极板上电荷的增加不断增强。E导电媒质PNE外 源 显然，由极板上电

9、荷产生的电场力阻显然，由极板上电荷产生的电场力阻止正电荷继续向正极板移动，同时也阻止止正电荷继续向正极板移动，同时也阻止负电荷继续向负极板移动，一直到极板电负电荷继续向负极板移动，一直到极板电荷产生的电场力等于外源中的非电力时，荷产生的电场力等于外源中的非电力时，外源的电荷运动方才停止，极板上的电荷外源的电荷运动方才停止，极板上的电荷也就保持恒定。也就保持恒定。 既然外源中的非静电力表现为对于电荷的作用力，因此，通常认既然外源中的非静电力表现为对于电荷的作用力，因此，通常认为这种非静电力是由外源中存在的外电场产生的，其电场强度仍然定为这种非静电力是由外源中存在的外电场产生的，其电场强度仍然定义

10、为对于单位正电荷的作用力，以义为对于单位正电荷的作用力，以 E表示。由于外电场使正电荷移表示。由于外电场使正电荷移向正极板，负电荷移向负极板，因此，外电场的方向由负极板指向正向正极板，负电荷移向负极板，因此，外电场的方向由负极板指向正极板。可见，在外源中外电场极板。可见，在外源中外电场 E 的方向与极板电荷形成的电场的方向与极板电荷形成的电场 E 的的方向恰好相反。当外源中的外电场与极板电荷的电场等值反向时，外方向恰好相反。当外源中的外电场与极板电荷的电场等值反向时，外源中合成电场为零，电荷运动停止。源中合成电场为零，电荷运动停止。 若外源的极板之间接上导电媒质，正极板上的正电荷通过导电媒若外

11、源的极板之间接上导电媒质，正极板上的正电荷通过导电媒质移向负极板；负极板上的负电荷通过导电媒质移向正极板。因而导质移向负极板；负极板上的负电荷通过导电媒质移向正极板。因而导致极板上电荷减少，使得外源中由极板电荷形成的电场致极板上电荷减少，使得外源中由极板电荷形成的电场 E 小于外电场，小于外电场，外电场又使外源中的正负电荷再次移动，外源不断地向正极板补充新外电场又使外源中的正负电荷再次移动，外源不断地向正极板补充新的正电荷，向负极板补充新的负电荷。的正电荷，向负极板补充新的负电荷。 由上可见，极板上的电荷通过导电媒质不断流失，外源又不由上可见，极板上的电荷通过导电媒质不断流失，外源又不断地向极

12、板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此，为断地向极板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此，为了在导电媒质中产生连续不断的电流，必须依靠外源。了在导电媒质中产生连续不断的电流，必须依靠外源。 当达到当达到动态平衡动态平衡时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极板电荷在外源中以及在导电媒质中产生板电荷在外源中以及在导电媒质中产生恒定电场恒定电场，且在外源内部，且在外源内部保持保持 ，在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒定的电流。，在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒定的电流。 注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不注意，极板上的电荷

13、分布虽然不变，但是极板上的电荷并不是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这种电荷称为种电荷称为驻立电荷驻立电荷。驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外。驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。 外电场由负极板外电场由负极板 N 到正极板到正极板 P 的线积分称为外源的的线积分称为外源的电动势电动势，以，以e 表示，即表示，即 达到动态平衡时，在外源内部达到动态平衡时，在外源内部 ，所以上式又可写为，所以上式又可写为 考虑到导电媒质中，考虑到导电媒质中， ，那么，

14、上式可写成，那么，上式可写成 驻驻立立电电荷荷产产生生的的恒恒定定电电场场与与静静止止电电荷荷产产生生的的静静电电场场一一样样，也也是是一种保守场。因此，它沿任一闭合回路的线积分应为零，即一种保守场。因此，它沿任一闭合回路的线积分应为零，即对于均匀导电媒质，上式变为对于均匀导电媒质，上式变为 根据斯托克斯定理，求得上两式的微分形式如下：根据斯托克斯定理，求得上两式的微分形式如下：可见，均匀导电媒质中，恒定电流场是无旋的。可见，均匀导电媒质中，恒定电流场是无旋的。 恒定电场的基本方程：恒定电场的基本方程：3.3 恒定电流场在不同介质边界上的边界条件恒定电流场在不同介质边界上的边界条件已知恒定电流

15、场方程的积分形式为已知恒定电流场方程的积分形式为 对应的微分形式为对应的微分形式为 由由积积分分形形式式的的恒恒定定电电流流场场方方程程导导出出边边界界两两侧侧电电流流密密度度的的切切向向分量分量关系为关系为而边界两侧电流密度的法向分量关系为而边界两侧电流密度的法向分量关系为 由由此此可可见见，在在两两种种导导电电媒媒质质的的边边界界上上，电电流流密密度度矢矢量量的的切切向向分分量量是是不连续的，但其法向分量连续不连续的，但其法向分量连续。 已知已知 ，那么根据上述恒定电流场的边界条件可以导出导，那么根据上述恒定电流场的边界条件可以导出导电媒质中恒定电场的边界条件为电媒质中恒定电场的边界条件为

16、 已已知知理理想想导导电电体体内内部部不不可可能能存存在在电电场场，那那么么，理理想想导导电电体体表表面面不不可可能能存存在在切切向向电电场场，因因而而也也不不可可能能存存在在切切向向恒恒定定电电流流。当当电电流流由由理理想想导导电电体体流流出出进进入入一一般般导导电电媒媒质质时时，电电流流线线总总是是垂垂直直于于理理想导电体表面。想导电体表面。例例1 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示。其介其介电常数分别为电常数分别为 1 和和 2 ，电导率分别为，电导率分别为 1 和和 2 ，厚度分别为，厚度分别为 d1 和和 d2 。当外加恒

17、定电压为当外加恒定电压为 V 时，试求两层介质中的电场强度。时，试求两层介质中的电场强度。 1 1 2 2d1d2U解解 由于电容器外不存在电流，可以由于电容器外不存在电流，可以认为电容器中的电流线与边界垂直，认为电容器中的电流线与边界垂直，求得求得 又又由此求出两种介质中的电场强度分别为由此求出两种介质中的电场强度分别为 例例2 2 设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之间的电阻。之间的电阻。 Uyxtabr0(r,)0解解 显然，必须选用圆柱坐标系。设两显然，必须选用圆柱坐标系。设两个端面之间的电位差为个端面之间的电位差为

18、U，且令且令 当角度当角度 时，电位时，电位 。当角度当角度 时，电位时，电位 。那那么么，由由于于导导电电媒媒质质中中的的电电位位 仅仅与与角角度度 有有关关，因因此此电电位位满满足足的方程式为的方程式为此式的通解为此式的通解为 仿照静电场的处理，引入标量电位函数仿照静电场的处理，引入标量电位函数 ( (r r) )作为辅助场量，即令作为辅助场量，即令E E = -= - ，可得，可得电位电位 满足拉普拉斯方程，即满足拉普拉斯方程，即 2 2 = 0= 0 利用给定的边界条件，求得利用给定的边界条件，求得 导电媒质中的电流密度导电媒质中的电流密度 J 为为 那么由那么由 的端面流进该导电媒质

19、的电流的端面流进该导电媒质的电流 I 为为 因此该导电块的两个端面之间的电阻因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为为 3.4 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中均匀介质内的静电场方程如下：均匀介质内的静电场方程如下： 恒定电流场恒定电流场静电场静电场可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度 J 相当于静电场的电相当于静电场的电场强度场强度 E，电流线相当于电场线。电流线相当于电场线。 因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电

20、流密度的因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为静电比拟静电比拟。 例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：例如，两电极间的电流场与静电场对应

21、分布如下图示： PN电流场PN静电场那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。 利用两种场方程，可以求出两个电极之间的电阻及电导与电容利用两种场方程，可以求出两个电极之间的电阻及电导与电容的关系为的关系为若已知两电极之间的电容，根据上述两式，即可求得两电极间的若已知两电极之间的电容，根据上述两式，即可求得两电极间的电电阻阻及及电导电导。 例如，已知面积为例如，已知面积为 S ，间距为间距为 d 的平板电容器的容的平板电容器的容 ，若填充的非理想介质的电导率为若填充的非理想介质的电导率为 ，则平板电容器极板间的漏电导，则平板电容器极板间的

22、漏电导为为 又又知知单单位位长长度度内内同同轴轴线线的的电电容容 。那那么么，若若同同轴轴线线的填充介质具有的电导率为的填充介质具有的电导率为 ，则单位长度内同轴线的漏电导，则单位长度内同轴线的漏电导思考题思考题 半径分别为半径分别为a a和和b b的同轴线，外加电压的同轴线，外加电压U U，求这种同轴线单，求这种同轴线单位长度上的电容，若漏电导率为位长度上的电容，若漏电导率为，求单位长度上的电阻，求单位长度上的电阻R R。例例 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示。其介其介电常数分别为电常数分别为 1 和和 2 ，电导率分别为，电导率分别为 1 和和 2 ，厚度分别为，厚度分别为 d1 和和 d2 。当外加恒定电压为当外加恒定电压为 V 时，试求介质分界面的自由电荷面电荷。时，试求介质分界面的自由电荷面电荷。 1 1 2 2d1d2U