定积分的换元法与分部积分法

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1、定积分之换元法定积分之换元法与分部积分法与分部积分法考察定积分考察定积分记记变上限定积分变上限定积分积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数变下限定积分变下限定积分变上限定积分和变下限定积分通称为变限定积分变上限定积分和变下限定积分通称为变限定积分(x)和和(x)是是a,b上的上的连续函数。函数。定理定理 如果函数如果函数f(x)在区间在区间 a,b上连续，则变上限定积分上连续，则变上限定积分 在在a,b上可上可导，且它的，且它的导数是数是即即(x)是是f(x)在在a,b上的一个原函数。上的一个原函数。证证由由积分中值定理积分中值定理得得例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数解解解解解解（1

2、 ）（2） 例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数解解（3 ）解解（4 ） 如果变速直线运动物体的运动方程是如果变速直线运动物体的运动方程是如果变速直线运动物体的运动方程是如果变速直线运动物体的运动方程是 S=S(t)S=S(t)，则在时间，则在时间，则在时间，则在时间段段段段TT1 1,T,T2 2 内所发生的位移变化为内所发生的位移变化为内所发生的位移变化为内所发生的位移变化为S(TS(T1 1)-S(T)-S(T2 2) )如果物体的运动方程为如果物体的运动方程为如果物体的运动方程为如果物体的运动方程为V=V(t)V=V(t)，则由定积分可知，则由定积分可知，则由定积分可知，则由定积分

3、可知 连续函数连续函数连续函数连续函数 在区间在区间在区间在区间 上的定积分等于它的一个上的定积分等于它的一个上的定积分等于它的一个上的定积分等于它的一个原函数原函数原函数原函数 在积分区间上的增量在积分区间上的增量在积分区间上的增量在积分区间上的增量微积分基本公式微积分基本公式而而？设设设设 在区间在区间在区间在区间 上上上上连续连续连续连续， 是它的是它的是它的是它的任意一个原函数，任意一个原函数，任意一个原函数，任意一个原函数，则有则有则有则有微积分基本公式微积分基本公式牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式证明思路证明思路 记作记作 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式微积分基本公式表明：微积分

4、基本公式表明：注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题. .例例2 求下列定积分求下列定积分解解 因为因为 在在 上连续，上连续， 是它的一个原函数是它的一个原函数 所以所以 解解 原式原式 解解解解 解解 原式原式 解解 原式原式 解解设设，求，求分段函数的积分分段函数的积分计算，应分区间计算，应分区间选取相应的函数选取相应的函数解解例例3 3 求求 解解由图形可知由图形可知例例4 4 求求解解分析：这是分析：这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则. .例例1 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 不换元则不变限不换元则不变限不

5、换元则不变限不换元则不变限 凑微分凑微分凑微分凑微分 另解另解另解另解 原式原式原式原式 解解解解 原式原式原式原式 ？解解 原式原式 积分积分 变量变量变变，积分区间积分区间变变 定积分的换元法定积分的换元法定理定理应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意: :（2 2）（1 1）例例2 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 解解解解 令令令令 原式原式原式原式 换元换元换元换元 换限换限换限换限 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 解解解解 原式原式原式原式 解解令令原式原式 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 证证例例5 对称区间上对称

6、区间上对称区间上对称区间上偶函数的积分性质偶函数的积分性质偶函数的积分性质偶函数的积分性质解解解解 原式原式原式原式 偶次方化倍角偶次方化倍角偶次方化倍角偶次方化倍角 解解 原式原式 定积分的换元积分法小结定积分的换元积分法小结定积分的换元积分法小结定积分的换元积分法小结 1 1、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同；2 2、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须

7、回代， 但必须做到但必须做到但必须做到但必须做到换元同时换限换元同时换限。定积分的分部积分法定积分的分部积分法定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式例例6解解解解 原式原式原式原式 已积出的部分已积出的部分 要求值要求值 解解 定积分的分部积分法定积分的分部积分法已积出的部分要求值已积出的部分要求值 解解 定积分的分部积分法定积分的分部积分法已积出的部分要求值已积出的部分要求值 定积分的分部积分法定积分的分部积分法已积出的部分要求值已积出的部分要求值 解解解解 原式原式原式原式 解解解解 原式原式原式原式 所以所以所以所以 定积分的分部积分法小结定积分的分部积分法小结 1 1、u u与与与与dvdv的的的的选择规律选择规律选择规律选择规律，与不定积分的规律，与不定积分的规律，与不定积分的规律，与不定积分的规律完全相同完全相同完全相同完全相同；2 2、不同之处，仅在于：定积分的计算需要计算原函、不同之处，仅在于：定积分的计算需要计算原函、不同之处，仅在于：定积分的计算需要计算原函、不同之处，仅在于：定积分的计算需要计算原函 数的函数值之差。数的函数值之差。数的函数值之差。数的函数值之差。