第四讲第四讲 隐函数及参数方程隐函数及参数方程所确定的函数的导数所确定的函数的导数 一、隐函数的求导法一、隐函数的求导法1.1.显函数、隐函数的概念显函数、隐函数的概念(1) (1) 显函数显函数: :我们把函数我们把函数y可由自变量可由自变量x的解析式的解析式称称为为显函数显函数. .(2)(2)隐函数隐函数: :若变量若变量y与与x之间的函数关系是由某之间的函数关系是由某一个一个方程方程0),(= =yxF所确定所确定, ,那么这种函数称为由方程那么这种函数称为由方程0),(= =yxF所确定的所确定的 隐函数隐函数. .也可以确定一个函数也可以确定一个函数, , 因为当因为当来表示的这种函数来表示的这种函数, 把一个把一个 隐函数隐函数 化为化为 显函数显函数,称为称为 隐函数的显化隐函数的显化注意注意: :并不是所有的隐函数都可化为显函数并不是所有的隐函数都可化为显函数. .如如方程方程0= =+ +- -yxeexy所确定的隐函数就不能显化所确定的隐函数就不能显化2 2、隐函数求导法、隐函数求导法隐函数求导法隐函数求导法,就是不管隐函数能否显化就是不管隐函数能否显化,直直x接在方程接在方程0),(= =yxF的两端对的两端对求导求导, 由此得到隐由此得到隐函数的导数，函数的导数，若若 y 是由是由0),(= =yxF所确定的函数所确定的函数,将方程两边对将方程两边对x求导求导,但但 要要 把把 y 看成看成 中间变量中间变量,应用复合函数求导应用复合函数求导法法则进行求导。
则进行求导 例例1 求由方程求由方程222Ryx= =+ +所确定所确定 隐隐 函数的导数函数的导数dxdy解解 这里这里2y可以看作是以可以看作是以 y为中间变量的复合函数为中间变量的复合函数运用复合函数的求导法则运用复合函数的求导法则,在方程两边对在方程两边对x 求导求导, ,隐函数求导的结果中隐函数求导的结果中, ,可能会含有变量可能会含有变量y y. . . .它它 与显函数不同与显函数不同,显函数求导结果中显函数求导结果中,只含有自变只含有自变 量量 x注意注意: : 例例2求由方程求由方程0= =+ +- -yxeexy所确定所确定隐隐函数的导数函数的导数解解运用复运用复合函数求导法则合函数求导法则,在方程两边对在方程两边对x 求导求导, ,得得00= == =xy,可以看作可以看作y为中间变量的复合函数为中间变量的复合函数, 例例3 求求由方程由方程422= =+ ++ +yxyx确定的曲线上点确定的曲线上点)2, 2(- -处的切线方程和法线方程，处的切线方程和法线方程，解解 方程两边对方程两边对x求导求导,于是于是故曲线上在点故曲线上在点)2, 2(- -处切线的处切线的斜率为斜率为 22- -= == =¢ ¢= =yxyk2222- -= == =+ ++ +- -= =yxyxyx1= =切线的方程为切线的方程为法线的方程为法线的方程为 02)1(22= =+ ++ +xyx解解yyxarctan)2(+ += =解解练习练习求由下列方程所确定的隐函数的导数求由下列方程所确定的隐函数的导数 下面介绍对数求导法下面介绍对数求导法 ，， 它可以用来解决两种类型函数它可以用来解决两种类型函数的求导问题。
的求导问题解解等式两边取对数得等式两边取对数得例例1（隐函数）（隐函数） 例例2 2 已知已知函数函数解解等式两边取自然对数得等式两边取自然对数得 求求 y¢ ¢xxylnln = =得得化简化简得得练习练习解解等式两边取自然对数得等式两边取自然对数得 (2) 由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的求导问题求导问题解解等式两边取自然对数：等式两边取自然对数： 等式两边取对数得等式两边取对数得解解练习练习 二、由参数方程所确定的函数的求导法二、由参数方程所确定的函数的求导法例如例如, 由参数方程由参数方程)20(sincosp p< <£ £î îí íì ì= == =ttRytRx所确定的函数是所确定的函数是222Ryx= =+ +,这表明由参数方程可这表明由参数方程可以确定函数以确定函数. .一般地一般地,如果如果 参数方程参数方程确定了确定了 y是是x的函数的函数)(xfy= =,则称此函数为由参数则称此函数为由参数方程所确定的函数方程所确定的函数. .下面讨论参数方程的求导法下面讨论参数方程的求导法. 在参数方程在参数方程中，中，则参数方程所确定的则参数方程所确定的即即运用复运用复合函数求导法则合函数求导法则, 如果函数如果函数具有二阶导数具有二阶导数,由一阶导数由一阶导数和和)(txj j= =还可以组成还可以组成参数方程参数方程再用参数方程的求导方再用参数方程的求导方法法得二阶导数得二阶导数 例例1 求由求由参数方程参数方程所确所确定函数的一阶导数定函数的一阶导数和二阶导数和二阶导数解解 由参数方程的求导方法由参数方程的求导方法,得一阶导数得一阶导数或或tdxdycot- -= =再由一阶导数再由一阶导数tdxdycot- -= =和和tRxcos= =组成参数方组成参数方程程再用参数方程的求导方法再用参数方程的求导方法 , , 得二阶得二阶导数导数 例例2 求摆线求摆线î îí íì ì- -= =- -= =)cos1()sin(tayttax在在2p p= =t处的切线方程处的切线方程和法线方程和法线方程解解 由参数方程的求导方法由参数方程的求导方法,得得摆线上点摆线上点当当时时,处切线斜率为处切线斜率为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为 练习练习1. 求下列参数方程所确定的函数的导数求下列参数方程所确定的函数的导数注意：注意：注意：注意： 解解当当时时,处切线斜率处切线斜率切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为 小结小结一、隐函数的求导法一、隐函数的求导法二、由参数方程所确定的函数的求导法二、由参数方程所确定的函数的求导法参数方程参数方程，，注意：注意： 。