第三节 函数的极限本节内容提要：一、当 时，函数的极限二、当 时函数的极限三、再讨论函数的极限四、当 时,f(x)的左极限与右极限五、函数极限的性质 本节重点：函数极限的概念，函数的极限的计算. 本节难点：函数极限的概念教学方法：启发式教学手段：多媒体与面授教学时数：2学时返回 一、 当 时，函数 的极限 考察 时，函数 的变化趋势，由图1-17可以看出， y 1 0 图1-17当x的绝对值无限增大时， 的值无限接近于零，即当 时， f (x)→01. 函数极限的一般定义定义：如果当x绝对值无限增大即 时，对应的函数值 无限趋近于一个确定的常数Ａ，则称函数 当.时以A为极限，记作： 或 根据上述定义２．函数极限的 定义定义:设函数f(x)在｜x|>M处有定义，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数Ｚ（Ｚ≧Ｍ），使得适合不等式｜x|>Z 的所有X对应的函数值f(x)都满足或 注注：： 的几何意义是：做直线y=A＋ε和y=A-ε,则总有一个正数Ｚ存在，使当X<-Z或Ｘ>Z时，函数y=f(x)的图形位于这两条平等直线之间（图1-18） yA+εεA A y=f(x)y=f(x)A-εε -z 0 z x图1-17⑵ 定义中，自变量x的绝对值无限增大指的是 x取正值而无限增大（记为x→+∞）,同时也取负值而绝对值无限增大（记作X→-∞），但有时x的变化趋向只能或只需取这两种变化中的一种情形. 定义：如果当x→+∞(或X→-∞)时，函数无限接近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数 当x→+∞（或X→-∞）时的极限，记作：或例如： y o x 图1-18及两个极限值相等，因此（如图） 又如： 及 y y=arctanx o x （图1-19）所以 不存在（图1- 19）由此得出由此得出：如果 和 都存在并且相等，那么也存在并且与它们相等。
如果 和都存在但不相等，那么 不存在. 例 例1 求 和 解：如图1-20所示 例2 讨论当 时，函数 的极限 解：因为 和都存在，但不相等，所以 不存在 y y=e-x y=ex X 0 图1-20返回 二、当 时函数 的极限例３ 考察当 时函数 的变化 解 函数 在 有定义设Ｘ从３的左侧无限接近于３，即Ｘ取值及对应的函数如下表 …2.9 2.992.999……3.0013.013.1……2.972.9972.9997……3.00033.0033.03…可以看出，当x越来越接近于3时， 的值无限接近于3 y 3 x 3 x X 图1-21 例3 考察当 时，函数 的变化趋势。
解 函数 在 内有定义 设x从1的左、右两侧无限接近于1时，对应的函数 如表1-3X…0.90.990.999… 1 …1.0011.011.1……1.91.991.999… 2 …2.0012.012.1…可以看出，当Ｘ越来越接近于1时 的值无限接近于2(图1-22). 0 1 2 3图1-2221 定义 设函数ƒ(x)在点 的某一空心邻域内有定义，如果当X无限接近于 （但不等于 ）时 ƒ(x)无限趋近于某个确定的常数A，称当X趋近于 时函数以A为极限，记作 或 由此可知 返 三，再讨论函数的极限1. 定义：设函数 在X的某一邻域内有定义（在 可以没有定义），若对任一 存在 使得当 时，有 则称函数 当 时以A为极限。
例5 证明 证明 对任意给定的 存在 则当 时 所以 例6 证明 （C为常数）证 对任意给定的 存在 当 时有所以 例7 证明 证 对任意给定的 存在 当 时有所以2. 函数 当χ→ 时极限为A的极限的几何解释由二直线 与 为边界所构成的宽为的带形区域，不论怎样狭窄，总存在以 为中心，以 为半径邻域，当x落在此邻域内时 相应的函数图形都落这个带形区域内如图1-23. yA+εAA-ε 0 x0-δ x0 x0+δ x 图 1-23返回 四、当 时, 的左极限与右极限 定义 如果当 时，函数 无限趋近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数 当 时的左极限，记作 或 定义 如果当 时，函数 无限趋近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数 当 时的左极限，记作 或由图（1-21）函数 当 左极限为 右极限为即注：①函数 当 时极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在且相等，即②当 都存在，但不相等，或者 至少一个不存在时 在X0处极限不存在. 例８ 设函数证明：当X—>0时， F（Ｘ）的极限不存在证明 由图１－24可知，因为F（０＋０）≠F（０－０），所以 不存在 例９，设函数 求， 并由此判断极限是否存在。
解：即f(1+0)= f(1-0)=2由函数f(x)在Ｘ＝１处极限存在的充要条件知， 返回 五，函数极限的性质 性质1 如果 (或 )存在，那么极限是惟一的性质2 如果 （或 ），那么存在一个正数M，使得函数在点X0（可以不包括X0）的某一领域内（或存在一个正数N），当|X|>N时总有|f(x)|≤M性质3 如果 且A>0,(或A<0),则在点X0的某一邻域内（可以不包括X0）总有f（X）>0（或f（X）<0）若在X0的某邻域内有f(x) ≥0(或f(x) ≤0)，且有f(x) ≥0(或f(x) ≤0)，且则A≥0（或A≤0 小结⑴ , 极限的两种定义⑵ ， 时， 的极限⑶ 会求 时 的极限⑷ 函数极限的性质完 。