高等代数课件第三章线性方程组167;3.6线性方程组解的结构

§3.6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构1．解的性质．解的性质性质性质1 (1)的两个解的和还是(1) 的解;性质性质2 (1)的一个解的倍数还是(1)的解;性质性质3 (1)的解的任一线性组合还是(1)的解．2 ．基础解系．基础解系定义定义 齐次线性方程组(1)的一组解1,2,…,r，若满足 1) 1,2,…,r线性无关； 2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可由1,2,…,r线性表出； 则称1,2,…,r为齐次线性方程组(1) 的一个基础解系； 4 ．基础解系存在性．基础解系存在性定理定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于nr, 其中r 为方程组系数矩阵的秩证证：若r=n, 方程组只有零解，不存在基础解系若R(A) =r

② 任取(1)的一个解,可由1,2,…,n-r线性表出．由于1,2,…,n-r是(1)的解,所以线性组合cr+11 + cr+22 + …+cnn-r也为(1)的解，比较二者的后n r个分量可知，自由未知量相同，故二者是同一个解，即是 设 =(c1,c2,…,cn)是(1)的任意一个解, = cr+11 + cr+22 + …+cnn-r由① ②， 为(1)的一个基础解系．例例1　求齐次线性方程组的基础解系．推论推论 任一线性无关的与(1)的某一基础解系等价的向量组都是(1)的基础解系．二、一般线性方程组解的结构一般线性方程组解的结构如果b1= b2=…= bs=0, 则得到方程组(1)，称齐次方程组(1)为方程组(4)的导出组 性质性质1 线性方程组(4)的任意两个解的差为其导出组(1)的解． 性质性质2 线性方程组(4)的任意一个解与导出组(1)的任意一个解之和是线性方程组(4)的解.２　解的结构２　解的结构定理定理 若0为(4)的一个特解，则方程组(4)的任一解皆可表成 = 0+ ,其中为其导出组(1)的一个解． 从而, 方程组(4)的一般解为  = 0+k11 + k22 +…+knrn r其中0为(4) 的一个特解，1,2,…,n r 为导出组的一个基础解系．推论推论 方程组(4)在有解的条件下,有唯一解(4)的导出组(1)只有零解．３　求一般线性方程组３　求一般线性方程组(4)的一般解的一般解步骤：步骤：1）求出其导出组的基础解系 1,2,…,nr2）求出(4)的一个特解0；3）写出(4)的一般解为 = 0+k11 + k22 +…+knrn r例２　求解方程组。