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1、多元函数微分学多元函数微分学2012数学竞赛辅导数学竞赛辅导 第七讲第七讲一、一、重极限、连续、偏导数、全微分重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论）（概念，理论）二、偏导数与全微分的计算二、偏导数与全微分的计算四、应用四、应用（极值、切线、切平面）（极值、切线、切平面）三、方向导数和梯度三、方向导数和梯度一、重极限、一、重极限、连续、偏、偏导数、全微分数、全微分 （概念，理（概念，理论） 是以是以“任意方式任意方式”1重极限重极限 题型一：求极限题型一：求极限常用方法：常用方法：1）四则运算法则及复合函数运算法则；）四则运算法则及复合函数运算法则；2）等价无穷小代换；）等价无穷小代换；3
2、）利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量）利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量. 4）夹逼定理；）夹逼定理；例例1. 求求0例例4 .(江苏江苏2000竞赛竞赛)A. 等于等于1； B.等于等于0； C.等于等于-1； D.不存在不存在D例例2. 求求0 例例3. 求求=e 练习 求求=0题型二：题型二：证明重极限不存在证明重极限不存在 常用方法：常用方法：1)1)沿不同路径极限不同（如：沿沿不同路径极限不同（如：沿过点点的直的直线）；）；2) 2) 沿某一路径极限不存在沿某一路径极限不存在. .例例5 5 判断函数判断函数在在点的点的连续性性. .练习练习 证明重极限不存在证明重极限不存在2.
3、 连续连续3.3.偏偏导数数例例6 练习：练习：几何意义几何意义例例7.则在下列则在下列A. B.C. D. C条件中能保证条件中能保证4.4.全微分全微分1) 1) 定定义: : 若若2) 2) 判定判定: :必要条件必要条件: : 与与都存在都存在; ;充分条件充分条件: : 和和在在连续; ;是否为零是否为零?ii）用定义判定可微性：用定义判定可微性：3) 3) 计算：算： 5.5.连续、偏、偏导存在和可微的关系存在和可微的关系题型三题型三 讨论连续性、可导性、可微性讨论连续性、可导性、可微性例例8.CD 例例9A. 极限存在但不连续极限存在但不连续B. 连续但偏导数不存在连续但偏导数不
4、存在C. 偏导存在但不可微偏导存在但不可微D. 可微可微例例10例例11练习练习设, ,其中其中在点在点的的邻域内域内连续, ,问1) 1) 应满足什么条件才能使足什么条件才能使和和都存在都存在? ? 2) 2) 在上述条件下在上述条件下在在(0,0)(0,0)点是否可微点是否可微? ? （可微）（可微）练习练习2二二 偏导数与全微分的计算偏导数与全微分的计算根据结构图，根据结构图， “分线相加，连线相乘分线相加，连线相乘” “分路偏导，单路全导分路偏导，单路全导”对抽象或半抽象函数，注意对抽象或半抽象函数，注意1. 复合函数求导复合函数求导2.全微分形式不变性全微分形式不变性3.隐函数求导法
5、隐函数求导法方法方法: :（b b）两）两边求偏求偏导（c c）利用微分形式不）利用微分形式不变性性: : (1)（a）公式）公式:(2)方法：两方法：两边求偏求偏导；利用全微分形式不变性利用全微分形式不变性 例例12 12 设求求和和.题型一题型一 求一阶偏导数与全微分求一阶偏导数与全微分设, ,且当且当 时, ,则例例13. 例例14 .(江苏江苏06竞赛竞赛) 练习：练习：已知已知是某一函数的全微分是某一函数的全微分, ,则 取取值分分别为（ ）B练习：练习：例例15. D题型二题型二 复合函数的偏导数与高阶偏导数复合函数的偏导数与高阶偏导数练习练习. (07数数一一)练习练习.练习练习
6、.设具有二具有二阶连续偏偏导数数, ,且且满足足又又, ,求求例例16例例17.注：注： 偏导数的坐标变换偏导数的坐标变换-看作复合函数求偏导看作复合函数求偏导数或全导数或全导题型三题型三 隐函数的偏导数与全微分隐函数的偏导数与全微分 例例19. A. 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数只能确定一个具有连续偏导数的隐函数B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数可确定两个具有连续偏导数的隐函数C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数可确定两个具有连续偏导数的隐函数D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数可确定两个具有连续偏导数的隐函数D例例20.例例21. 练习练习. 例例22 (99数一数一). 题型四题
7、型四 已知偏导数，求函数已知偏导数，求函数.例例23例例24.例例25.练习：练习：例例26.三、三、 方向导数和梯度方向导数和梯度1.方向导数方向导数1)定义定义:可微可微, ,则2)计算计算: 若若2.梯度梯度计算计算A)A)不不连续; B); B)偏偏导数存在数存在; ; C)C)沿任一方向的方向沿任一方向的方向导数不存在数不存在; ; D)D)沿任一方向的方向沿任一方向的方向导数均存在数均存在; ;在在点点(0,0)处处例例27 27 函数函数( )DD( )例例2828 设, ,则A) f( (x, ,y) )在在(0,0)点点连续; ; 为任一方向任一方向的方向余弦的方向余弦. .
8、B) , ,其中其中C)在在点沿点沿 轴负方向的方向方向的方向导数数为. .D)练习练习. 练习：练习：例例29练习：练习：四、四、 多元函数微分学的应用多元函数微分学的应用1. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线2. 曲线的切线与法平面曲线的切线与法平面, , ,法向量法向量: : 2) 曲面曲面1) 曲面曲面2)曲曲线, ,切向量切向量: : , ,法向量法向量: : 其中其中1)曲线曲线, , 切向量切向量: : 练习：练习：题型一题型一 建立曲面的切平面和法线方程建立曲面的切平面和法线方程 例例30. 例例31. 练习练习 练习练习 题型二题型二 建立空间曲线的切线和法平面方程建立空
9、间曲线的切线和法平面方程, ,练习 求曲求曲线在点在点处的切的切线方程和法平面方程方程和法平面方程. .练习练习(03数一数一) 3. 3. 极值与最值极值与最值1).1).无条件极无条件极值；定义定义:极大极大极小极小必要条件必要条件 充分条件充分条件2). 条件极值与拉格朗日乘数法条件极值与拉格朗日乘数法3).最大最小值最大最小值极极值点点 驻点点题型一题型一 求无条件极值求无条件极值 例例3232求由方程求由方程所确定函数所确定函数的极的极值. .1) 1) 在点在点处, ,极大极大值2) 2) 在点在点处, ,极小极小值解解2 配方配方 解解1 ： 驻点驻点例例33. D注：注： 通过
10、变形（如取对数通过变形（如取对数,去根号）去根号）,把复杂函把复杂函数转化为简单函数是极值问题的常用技巧。数转化为简单函数是极值问题的常用技巧。例例34.例例35例例36B例例37解法解法1:保号性保号性 解法解法2:排除法排除法 解法解法3：特殊函数：特殊函数D练习练习（03数一）数一）A题型三题型三 求最大最小值求最大最小值 题型二题型二 求条件极值求条件极值练习 求函数求函数在条件在条件下的极下的极值. .解法解法2: 2: 化化为无条件极无条件极值. .解法解法1: 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法,极小值极小值8, 0练习B例例38.A. 最大最小值点都在最大最小值点都在D的内部的内部;B. 最大最小值点都在最大最小值点都在D的边界上的边界上;C. 最大值点在最大值点在D的内部的内部,最小值点在最小值点在D的边界上的边界上;D. 最小值点在最小值点在D的内部的内部,最大值点在最大值点在D的边界上的边界上;例例39练习：练习：例例40.例例41：提示：提示：例例42.（5, -5), (-5,5)
