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1、3 3 方阵相似于对角矩阵的条件方阵相似于对角矩阵的条件一、相似矩阵的概念一、相似矩阵的概念.设设A、B都是都是n阶方阵阶方阵,若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵P使使则称则称B是是A的相似矩阵的相似矩阵,或说或说B与与A相似相似.可逆矩阵可逆矩阵P称为把称为把A变成变成B的的相似变换矩阵相似变换矩阵.记作记作AB.,称为对称为对A进行进行相似变换相似变换,二二 、相似矩阵的性质、相似矩阵的性质相似是矩阵之间的一种关系相似是矩阵之间的一种关系,这种关系具有以下性这种关系具有以下性质质: 性质性质1 1 相似矩阵具有相似矩阵具有1) 反身性反身性 :任意方阵任意方阵A,都有都有AA；2) 对称性对称性
2、 :若若AB,则则B A；3) 传递性传递性:若若AB,BC,则则 A C。 性质性质2 2 若若AB，则则R(A)=R(B ). 性质性质3 3 若若AB，则则|A|=|B |.即即A、B同时可逆或同时可逆或同时不可逆。同时不可逆。 性质性质4 4 若若AB，则则ATBT. 性质性质5 5 若可逆矩阵若可逆矩阵AB，则，则B也可逆，且也可逆，且A-1B-1.性质性质6 6 若若AB,则对于任意的多项式则对于任意的多项式f(),必有必有 f(A) f(B). 性质性质7 7 若若AB,则则A与与B的特征多项式相同的特征多项式相同,从而从而A与与B的的 特征值相同特征值相同（从而迹相同）（从而迹
3、相同）.值得注意的是值得注意的是，特征多项式相同的矩阵未必相似，特征多项式相同的矩阵未必相似.例如例如 显然显然A与与E的特征多项式都是的特征多项式都是(-1)2,但可以证但可以证E的矩阵只有它自身。的矩阵只有它自身。 性质性质8 8 若若n阶矩阵阶矩阵A与对角矩阵与对角矩阵相似相似,则则1，2，, n是是A的的n个特征值个特征值.定理定理 n阶方阵阶方阵A与对角矩阵相似与对角矩阵相似 (A能对角化能对角化)的的充分必要条件是充分必要条件是A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.三、相似矩阵的定理三、相似矩阵的定理 如果如果n阶矩阵阶矩阵A(在数域在数域F上上)存在存在n个互个互异特
4、征值异特征值,则则A必可必可(在数域在数域F上上)相似于对角矩阵相似于对角矩阵.补充补充 n阶方阵阶方阵A与对角矩阵相似与对角矩阵相似 的充分必要条件是的充分必要条件是A的每个的每个k重特征值重特征值 的特征矩阵的特征矩阵A- E的秩为的秩为 n-k. 下面我们举例说明下面我们举例说明,对于可以相似对角化的方阵对于可以相似对角化的方阵,其高次幂的计算可以得到简化其高次幂的计算可以得到简化. 已知已知计算计算A100 解解 A有两个互异的特征值。有两个互异的特征值。 1=1, 2=4.故故AA对应于对应于1, 2的特征的特征 向量向量1, 2为为（书（书P132）令令则应有则应有由由A=PP-1
5、可得可得类推可得类推可得经计算可得经计算可得于是于是 求一可逆矩阵求一可逆矩阵P,把把化成对角矩阵化成对角矩阵. 解解 由由|AE|=0,求求A的全部特征值的全部特征值.当当1=-1时时，解方程解方程(A+E)x=0,由于由于得基础解系得基础解系当当2= 3= 2时时，解方程解方程(A-2E)x=0,由由把把P1，P2，P3拼成矩阵拼成矩阵P，即即得基础解系为得基础解系为故故 设矩阵设矩阵A与与B相似相似,其中其中（1）求）求x和和y的值的值,（同型题：习题课教程（同型题：习题课教程P132第第11题）题） 解解 (1)因为因为AB,所以所以B的主对角线元素是的主对角线元素是A(2) 由于由于
6、AB,所以所以A的特征值为的特征值为得基础解系得基础解系:当当1=-1时，由时，由得基础解系得基础解系:当当2 2时，时，得基础解系得基础解系:当当3 -2时，时，令可逆矩阵令可逆矩阵即为所求即为所求.问当问当k为何值时为何值时,存在可逆矩阵存在可逆矩阵P,使得使得P-1AP为对角为对角阵，并求出阵，并求出 P和相应的对角阵。和相应的对角阵。 解解 由由 例例3 3.4.4 设矩阵设矩阵对于对于1= 2=-1时，有时，有得得A的特征值为：的特征值为： 1= 2=-1， 3=1.对于对于3=1时，有时，有 当当k = 0 时时,上式变为上式变为对应特征向量可取为对应特征向量可取为:因此因此,当当
7、 k = 0 时时,令令对应特征向量可取为对应特征向量可取为: : 从上面的讨论和例题可知从上面的讨论和例题可知, A有有n个单特征值个单特征值,则则A必必可对角化可对角化,而当而当 A有重特征值时有重特征值时, 就不一定有就不一定有n 个线性个线性无关的特征向量无关的特征向量 ,从而不一定能对角化从而不一定能对角化 .上次课讲例的上次课讲例的二重特征值不能对应两个线性无关的特征向量二重特征值不能对应两个线性无关的特征向量 ,所以该所以该方阵不能对角化方阵不能对角化. 而在本节例而在本节例1中中AA能对角化能对角化.例例3的讨的讨论也说明不是所有方阵都能对角化论也说明不是所有方阵都能对角化.
8、一个方阵具体什么条件才能对角化？这是一个一个方阵具体什么条件才能对角化？这是一个比较复杂的问题比较复杂的问题,我们对此不作一般性的讨论我们对此不作一般性的讨论,而而仅讨论当仅讨论当 A为实对称矩阵的情形为实对称矩阵的情形.小结小结相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩阵的各种运算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与，其方法是先通过相似变换，将矩阵变
9、成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵3 3矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件 （2 2）可逆的相似变换矩阵的构成就是）可逆的相似变换矩阵的构成就是n n个线性无个线性无 关的特征向量。关的特征向量。4 4矩阵对角化的过程矩阵对角化的过程 （1 1）计算特征根和特征向量，看是否有）计算特征根和特征向量，看是否有n n个线性个线性 无关的特征向量。无关的特征向量。 （3 3）对角阵的对角线的元素构成为）对角阵的对角线的元素构成为n n个线性无关个线性无关 的特征向量对应的特征值。的特征向量对应的特征值。
