第第2章章 静力平衡静力平衡1.1 力的基本概念1.2 力矩与力偶1.3 力系的平衡1.4 重心与形心 2.1 2.1 力的基本概念力的基本概念力的基本概念力的基本概念 力是物体之间的相互作用，其效果使物体运动状态和形状大力是物体之间的相互作用，其效果使物体运动状态和形状大小发生改变小发生改变实践证明，力对物体的作用效应取决于以下实践证明，力对物体的作用效应取决于以下三个要素三个要素：： (1) (1) 力的大小力的大小指物体间相互作用的强弱程度国际单位制指物体间相互作用的强弱程度国际单位制(SI)(SI)中，力的单位为牛中，力的单位为牛[ [顿顿](N)](N)或千牛或千牛[ [顿顿](KN)](KN) (2) (2) 力的方向力的方向通常包含力的方位和指向两个含义通常包含力的方位和指向两个含义例如重力的方向是力的方向是““铅垂向下铅垂向下””，，““铅垂铅垂””是指力的方位；是指力的方位；““向下向下””是是说力的指向说力的指向 (3) (3) 力的作用点力的作用点力的作用点是指力在物体上作用的位置力的作用点是指力在物体上作用的位置。
力系：物体所受的一群力总称为力系力系：物体所受的一群力总称为力系2.1.1 2.1.1 力和力系的概念力和力系的概念力和力系的概念力和力系的概念 力是一矢量，用数学上的矢量记号来表示，如图力是一矢量，用数学上的矢量记号来表示，如图F F 一、二力平衡公理一、二力平衡公理 作用于刚体上的两个力平衡的充分与必要作用于刚体上的两个力平衡的充分与必要条件是这两个力大小相等、方向相反、作用线条件是这两个力大小相等、方向相反、作用线在一条直线上在一条直线上二力体：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体二力体：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体二力杆2.1.2 静力学基本公理 推论推论 ( (力在刚体上的可传性力在刚体上的可传性) ) 作用于刚体上某点的力，可沿其作用线移动作用于刚体上某点的力，可沿其作用线移动到刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用到刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用效应 == =F FA AF F2 2F F1 1F FA AB BF F1 1A AB B二、加减平衡力系公理二、加减平衡力系公理 在作用于刚体上的已知力系上，加上或减在作用于刚体上的已知力系上，加上或减去任意一个平衡力系，不会改变原力系对刚体去任意一个平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。
的作用效应 A A 作用于物体上同一点的两个力可合成为作用于同作用于物体上同一点的两个力可合成为作用于同一点的一个合力合力的大小与方向由原两力为一点的一个合力合力的大小与方向由原两力为邻边而作出的平行四边形的对角线来确定邻边而作出的平行四边形的对角线来确定F F1 1F F2 2R R矢量表达式：R= FR= F1 1+F+F2 2即，合力为原两力的矢量和三、力的平行四边形法则三、力的平行四边形法则 四、三力平衡汇交定理四、三力平衡汇交定理 一刚体受不平行的三力作用而平衡时，此三力一刚体受不平行的三力作用而平衡时，此三力的作用线必共面且汇交于一点的作用线必共面且汇交于一点 五、作用力和反作用力定律五、作用力和反作用力定律 两个物体间的相互作用的一对力，总是大小相两个物体间的相互作用的一对力，总是大小相等，方向相反，作用线相同，并分别而且同时作用等，方向相反，作用线相同，并分别而且同时作用于这两个物体上于这两个物体上[ [例例] ] 吊灯 2.1.3 2.1.3 力的分解与合成力的分解与合成 平面汇交力系是简单力系，是研究复杂力系的基础。
平平面汇交力系是简单力系，是研究复杂力系的基础平面汇交力系的合成有两种方法面汇交力系的合成有两种方法1 1、几何法、几何法—用力的三角形法则或力的多边形法制求合力的用力的三角形法则或力的多边形法制求合力的方法，是一种定性的粗略的计算方法方法，是一种定性的粗略的计算方法1 1）两个汇交力的合成）两个汇交力的合成 （（2 2）） 多个多个多个多个共点力的合成共点力的合成共点力的合成共点力的合成用用几何法几何法求汇交力系合力时，应注意求汇交力系合力时，应注意分力首尾相接，分力首尾相接，合力是从第一力的箭尾指向最后一力的箭头合力是从第一力的箭尾指向最后一力的箭头Oa) 平行四边形法则F2F1R Rb) 力三角形F2R Rd) 力多边形F1OF5Oc) 汇交力系F4F2F1F3OF1F2F4F3F5R R （（1）力的分解）力的分解 ①① 若若 ，与 轴同向， 取正；反之取负； ，与 轴同向， 取正；反之取负； ②② 若若 ，与 轴同向， 取正；反之取负 ，与 轴同向， 取正；反之取负 若已知若已知 和和 ，则力 的大小和方位角为：，则力 的大小和方位角为：（（2）力的合成：）力的合成：——力力 与与 轴所夹之锐角；轴所夹之锐角； —— 正负号之规定：正负号之规定：2、解析法、解析法—定量计算合力的大小和方向的方法定量计算合力的大小和方向的方法 （（（（3 3 3 3））））合力投影定理合力投影定理合力投影定理合力投影定理：：合力在任一轴上的投影等于各分合力在任一轴上的投影等于各分合力在任一轴上的投影等于各分合力在任一轴上的投影等于各分 力在该轴上之投影的代数和力在该轴上之投影的代数和力在该轴上之投影的代数和力在该轴上之投影的代数和。
表示合力表示合力表示合力表示合力R R与与与与 x x轴所夹的锐角，轴所夹的锐角，轴所夹的锐角，轴所夹的锐角，合力的指向由合力的指向由合力的指向由合力的指向由∑ ∑X X、、、、∑ ∑Y Y的符号判定的符号判定的符号判定的符号判定由由合力投影定理合力投影定理有：有： Rx=X1+X2+…+Xn= X Ry=Y1+Y2+…+Yn= Y合力：合力： 【【例例1】】 试分别求出图2-6中各力的合力在x轴和y轴上投影已知，，，各力方向如图所示解解】 可得出各力的合力在x、y轴上的投影为 （（1）固定铰支座）固定铰支座 约束特点：约束特点：只能限制物体上下、左右的平动，而不能限制物体的转动（双向约束）只能限制物体上下、左右的平动，而不能限制物体的转动（双向约束） 反力方向：反力方向：方位是两分力正交（如 方位是两分力正交（如 、、 ，或，或 、、 等）；指向可以假设等）；指向可以假设 XCYC2.1.4 支座的约束与反力支座的约束与反力 （（2）可动铰支座）可动铰支座NA约束特点：约束特点：只能限制物体沿法线方向的平动（单向约束）。
只能限制物体沿法线方向的平动（单向约束） 反力方向：反力方向：方位为沿其法线，指向可以假设方位为沿其法线，指向可以假设 3））固定端支座固定端支座 构件的一端被牢固地嵌住而不能动构件的一端被牢固地嵌住而不能动 PPmA约束特点：约束特点：既限制物体的平动，又限制物体的转动既限制物体的平动，又限制物体的转动反力方向：反力方向：限制平动，用约束反力（限制平动，用约束反力（ 如如 XA 、、YA ）表示，指向可以假设；）表示，指向可以假设； 限制转动，用约束反力偶（如限制转动，用约束反力偶（如 mA ）表示，转向可以假设表示，转向可以假设 车刀车刀 2.1.4 物体的受力分析物体的受力分析—— 画受力图画受力图非自由体非自由体解除约束解除约束代之以约束反力代之以约束反力自由体（自由体（主动力主动力＋＋约束反力约束反力））物体受力分析物体受力分析步骤：步骤：（（1）取研究对象，简称取体；）取研究对象，简称取体； （（2）标力：主动力照搬，约束反力按类型来画标力：主动力照搬，约束反力按类型来画 要求：要求： （（1）熟练掌握；）熟练掌握； （（2）绝对正确：）绝对正确： ③③ 不错画不错画（约束反力的作用点为接触点，方向由约束类型确定。
约束反力的作用点为接触点，方向由约束类型确定②② 不多画不多画（每个力应找到施力体）；（每个力应找到施力体）；①① 不少画不少画（先画主动力，后画约束反力）；（先画主动力，后画约束反力）； 【【例例4】】一端为固定铰链，另一端为可动铰链的梁称之为简支梁，其上作用有一端为固定铰链，另一端为可动铰链的梁称之为简支梁，其上作用有一均匀分布的荷载一均匀分布的荷载 q（简称均布荷载），试画出梁的受力图简称均布荷载），试画出梁的受力图 XAYAYB【解解】1. .研究对象：梁研究对象：梁AB 2. .画受力图画受力图 —— 标力 （（1）主动力：均布荷载）主动力：均布荷载 q（（照搬照搬））（（2）约束反力：）约束反力： （按约束类型来画）（按约束类型来画） ①① 固定铰链固定铰链 A：：XA、、YA （指向可设）（指向可设）；②② 可动铰链可动铰链 B：：YB（指向可设）指向可设） 【例例5】试画出悬臂梁的受力图，梁的自重不计试画出悬臂梁的受力图，梁的自重不计 FXAYAmA 2.2 2.2 力矩与力偶力矩与力偶2.2.12.2.1力矩力矩 在力的作用下，物体将发生移动和转动。
力在力的作用下，物体将发生移动和转动力的转动效应用力矩来衡量，即的转动效应用力矩来衡量，即力矩是衡量力转动力矩是衡量力转动效应的物理量效应的物理量 讨论力的转动效应讨论力的转动效应时，主要关心力矩的大时，主要关心力矩的大小与转动方向，而这些小与转动方向，而这些与与力的大小、转动中心力的大小、转动中心（矩心）（矩心）的位置、动中的位置、动中心到力作用线的垂直距心到力作用线的垂直距离离（力臂）（力臂）有关 力的转动效应力的转动效应——力矩力矩 M 可由下式可由下式计算：算：M = ±± FP · d式中：式中：FP 是力的数值大小，是力的数值大小，d 是力臂，力矩的是力臂，力矩的正负号规定正负号规定————只要在同一问题中统一即可，只要在同一问题中统一即可，习惯上力矩的正负号往往以顺时针方向为正，习惯上力矩的正负号往往以顺时针方向为正，逆时针方向为负常用单位是逆时针方向为负常用单位是 KN-m 力矩用带箭头的弧线段表示带箭头的弧线段表示 集中力引起的力矩直接套用公式进行计算；集中力引起的力矩直接套用公式进行计算；对于均布线荷载引起的力矩，先计算其合力，再对于均布线荷载引起的力矩，先计算其合力，再套用公式进行计算。
套用公式进行计算 力矩的特性力矩的特性1、力作用线过矩心，力矩为零；、力作用线过矩心，力矩为零；2、力沿作用线移动，力矩不变力沿作用线移动，力矩不变合力矩定理合力矩定理 一个力对一点的力矩等于它的两个分力对一个力对一点的力矩等于它的两个分力对同一点之矩的代数和同一点之矩的代数和 例例 1 求图中荷载对求图中荷载对A、、B两点之矩两点之矩(a)(b)解：解：图（图（a a）：）： MA = - 8×2 = -16 kN · m MB = 8×2 = 16 kN · m图（图（b）：）： MA = - - 4××2 2×1 = = -8 -8 k kN · m m MB = 4×2×1 = 8 kN · m 例例 2 求图中力对求图中力对A点之矩点之矩解：解：将力将力F沿沿X方向和方向和Y方向方向等效分解为两个分力，由合等效分解为两个分力，由合力矩定理得：力矩定理得：由于由于 dx = 0 ，所以：，所以： 2.2.2 2.2.2 力偶和力偶矩力偶和力偶矩力偶力偶 ———— 大小相等的二个反向平行力称之为一大小相等的二个反向平行力称之为一 个力偶。
个力偶 力偶的作用效果是引起物体的转动，和力力偶的作用效果是引起物体的转动，和力矩一样，产生转动效应矩一样，产生转动效应 式中：式中：F F 是力的大小；是力的大小； d d 是力偶臂，是力偶中两是力偶臂，是力偶中两个力的作用线之间的距离；个力的作用线之间的距离； 正负号规定与力矩统一常正负号规定与力矩统一常用单位为用单位为 KNKN·m m 力偶的转动效应用力偶矩表示，它等于力偶的转动效应用力偶矩表示，它等于力偶力偶中任何一个力的大小与力偶臂中任何一个力的大小与力偶臂d d 的乘积，加上适的乘积，加上适当的正负号，当的正负号，即力偶的图例力偶的图例 力偶特性一：力偶特性一： 力偶的转动效应与转动中心的位置力偶的转动效应与转动中心的位置无关，所以力偶在作用平面内可任意移无关，所以力偶在作用平面内可任意移动力偶特性二：力偶特性二： 力偶的合力为零，所以力偶的效应力偶的合力为零，所以力偶的效应只能与转动效应平衡，即只能与力偶或只能与转动效应平衡，即只能与力偶或力矩平衡，而不能与一个力平衡。
力矩平衡，而不能与一个力平衡 力偶系的合成力偶系的合成 作用在一个物体上的一组力偶称为一个力偶系力偶系的合成结果为一个合力偶M即：力偶系的平衡力偶系的平衡 显然，当物体平衡时，合力偶必须为零，即：上式称为力偶系的解析平衡条件 2.2.3 力之平移定理力之平移定理 问题：问题：力在刚体上可沿其作用线力在刚体上可沿其作用线滑动滑动，但能否平行，但能否平行搬动搬动？？结论：结论：且且作用在作用在 A 点的力 点的力 ，是否可以平行移动至，是否可以平行移动至 B 点变成 点变成 ？？在在B点加一平衡力点加一平衡力△为一力偶为一力偶力偶矩为力偶矩为 m力之平移定理力之平移定理 牛腿柱牛腿柱 2.3.1 力系之平衡条件力系之平衡条件刚体刚体平衡平衡不能平动不能平动不能转动不能转动R＝＝0（合力为零）（合力为零）M＝＝0（合力矩为零）（合力矩为零）刚体平衡之必刚体平衡之必要且充分条件要且充分条件（（1）二力之平衡）二力之平衡两个力两个力 F1、、F2必要且充分条件必要且充分条件刚体刚体平衡平衡等值（等值（F1＝＝F2）） 反向、共线 反向、共线刚体刚体2.3 力系的平衡 力系的平衡 F3 与与 R1-2 必共线必共线（（2）三力之平衡）三力之平衡 若刚体在三力若刚体在三力F1、、F2、、F3作用下平衡，且作用下平衡，且 F1、、F2 汇交汇交 于于O 点，则点，则 F3 必过必过 O点。
点三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理F1、、F2 合为合为 R1-2三个不平行之力三个不平行之力 移移 F1、、F2 至至 O 点点①① 三个共点力并非一定是平衡力系，故三力平衡条件并非充分；三个共点力并非一定是平衡力系，故三力平衡条件并非充分；②② 若三力平衡，其合力若三力平衡，其合力 R＝＝0，则三力所构成力之三角形必自行封闭则三力所构成力之三角形必自行封闭 注意：注意： 2.3.2 力系的平衡方程力系的平衡方程1) )平面任意力系之平衡方程平面任意力系之平衡方程 设平面任意力系设平面任意力系 F1、、F2、、…Fn ，当该力系平衡时，则有，当该力系平衡时，则有 （各分力在（各分力在 x 轴上投影之代数和为零）轴上投影之代数和为零）（各分力在（各分力在 y 轴上投影之代数和为零）轴上投影之代数和为零）（各分力对任意点（各分力对任意点 O 之矩代数和为零）之矩代数和为零）基基本本式式3＝＝三个未知量三个未知量 求解求解独立的平衡方程数独立的平衡方程数 2））平面汇交力系之平衡方程平面汇交力系之平衡方程 设平面汇交力系设平面汇交力系 F1、、F2、、…Fn 交于交于 O 点，此时只能合成一个合力，不可能存在点，此时只能合成一个合力，不可能存在 合力偶。
若取汇交点合力偶若取汇交点 O 为矩心，则为矩心，则 自然满足当该力系平衡时，有自然满足当该力系平衡时，有基基本本式式独立的平衡方程数独立的平衡方程数2＝＝二个未知量二个未知量 求解求解 2.3.3 平衡方程的应用平衡方程的应用 【例例1】试求简支梁试求简支梁 A、、B 两处的约束反力两处的约束反力解解】1. .研究对象：研究对象：AB 梁梁 A 处（处（XA，，YA ）） ，， B 处处YB2. .受力分析：受力分析：均布荷载均布荷载 q ，（（q、、XA、、YA、、YB））平面任意力系平面任意力系3. .列式求解：列式求解： （（1）基本式）基本式 （（2）二矩式）二矩式 校核：校核： 【【解】】 1. .研究对象：外伸梁研究对象：外伸梁2. . 受力分析：如图示受力分析：如图示3. . 列式求解：列式求解： ( )( ) （（ ）） 4. .验算：把已知的各力对验算：把已知的各力对A点取矩，点取矩， 看是否满足 看是否满足故计算正确无误故计算正确无误验算：验算：【例例2】已知外伸梁的已知外伸梁的 M = 6KN·m，，q = 4KN/m，，P =12KN，，求求 A、、B 支座反力。
支座反力 讨论：讨论：若用二矩式，则情况如何？若用二矩式，则情况如何？（（ ）） ( )( ) 【例例5】如图所示三铰刚架，试求如图所示三铰刚架，试求 A、、E 处的处的支座反力支座反力 【解】1.取整体为研究对象，受力如图所示，则取整体为研究对象，受力如图所示，则（（A））2.取取 CDE 刚架为研究对象，刚架为研究对象，受力如图所示，则受力如图所示，则由（由（A）式）式3.验算验算（略）（略） 2.3.4 求支座反力的简易法求支座反力的简易法YA=P b / l，，YB=P a / la=1m，，b=3m，，l=4mYA=12×3/4=9kNYB=12×1/4=3kNYA=12×1/3=4kNYB=12×2/3=8kNYAYBYAYBYAYBP=YB×4/6YB=10×3/2=15kNYAYBYA=YB×2/6=5kNYA=YB×1/5=5kNQ=YB×4/5YB=20×5/4=25kN 180kN4180kNYA=YB=20×2+50/ /2=65kNYAYB4YA1YB1YA2YB2YA1=40kNkNYB1=20kNkNYA2=60kNkNYB2=120kNkNYA=100kNkNYB=140kNkNYAYBQ=40kN3mm=40kN·mYA1YB1YA2YB2YA1=30kNkNYB1=10kNkNYA2=YB2=10kNkN＝＝＋＋ 2.42.4 重心重心 2.4.12.4.1 重心的概念重心的概念 地地球球上上的的任任何何物物体体都都受受到到地地球球引引力力的的作作用用，，这这个个力力称称为为物物体体的的重重力力。
可可将将物物体体看看作作是是由由许许多多微微小小部部分分组组成成，，每每一一微微小小部部分分都都受受到到地地球球引引力力的的作作用用，，这这些些引引力力汇汇交交于于地地球球中中心心但但是是，，由由于于一一般般物物体体的的尺尺寸寸远远比比地地球球的的半半径径小小得得多多，，因因此此，，这这些些引引力力近近似似地地看看成成是是空空间间平平行行力力系系这这些些平平行行力力系系的的合合力力就就是是物物体体的的重重力力由由实实验验可可知知，，不不论论物物体体在在空空间间的的方方位位如如何何，，物物体体重重力力的的作作用用线线始始终终是是通通过过一一个个确确定定的的点点，，这这个个点点就就是是物物体体重重力力的的作作用用点，称为物体的点，称为物体的重心重心 重心重心 形心形心 重力的作用点重力的作用点 几何形体之中心几何形体之中心2.4.2 重心和形心的关系重心和形心的关系 1））重心重心 W●W●W●W●重心越低，稳定性越好重心越低，稳定性越好2））形心形心 几何形体之中心几何形体之中心 物体的形状大小和尺寸物体的形状大小和尺寸有关有关均质物体均质物体 重心＝形心重心＝形心 2.4.3 2.4.3 物体重心的坐标公式物体重心的坐标公式 为为确确定定物物体体重重心心的的位位置置，，将将它它分分割割成成n个个微微小小块块，，各各微微小小块块重重力力分分别别为为Gl、、G2、、…………Gn，，其其作作用用点点的的坐坐标标分分别别为为(X1、、Y1、、z1)、、(X2、、Y2、、z2)……(Xn，，Yn、、Zn)，，各各微微小小块块所所受受重重力力的的合合力力W即即为为整整个个物物体体所所受受的的重重力力G ＝＝ΣGi，，其其作作用用点点的的坐坐标标为为C(xc，，yc、、zc)。
则：则： 2.4.4 形心位置的确定形心位置的确定 1））平面图形的形心平面图形的形心 设任意一个平面图形的面积为设任意一个平面图形的面积为 A，各微小部分的，各微小部分的面积分别为面积分别为 △△A1、、 △△A1、、… △△An，，C 点为平面图形点为平面图形的形心的形心 形心形心坐标坐标公式公式 2））用对称性确定形心用对称性确定形心 球球C●C●C●C●C●形心在对称轴上形心在对称轴上 3））用分割法确定形心用分割法确定形心 复杂均质体复杂均质体分割分割几个简单的形体几个简单的形体形心位置易求或已知形心位置易求或已知形心坐标公式形心坐标公式形心位置形心位置【例例1】求图示均质求图示均质 L 形板的形心形板的形心 C 位置单位单位:mmA1A2C1●C2●【解解】A1＝＝ 600 mm2A2＝＝ 800 mm2x1＝＝5 mmy1＝＝30 mmx2＝＝50mmy2＝＝5 mmC●xCyC 4））用负面积法确定形心用负面积法确定形心均质体均质体面积为负值面积为负值挖去一部分挖去一部分负面积法负面积法形心位置形心位置 【例例 2】如图所示圆形平面，半径为如图所示圆形平面，半径为 R，被挖去，被挖去一个半径为一个半径为 r 的小圆，两圆心之距离为的小圆，两圆心之距离为 a，求该平面图，求该平面图形的形心位置。
形的形心位置 【解解】设大圆（没被挖时）的面积为设大圆（没被挖时）的面积为 A1，形心坐标，形心坐标为为 x1、、y1 ；；又设小圆的面积为又设小圆的面积为 A2，形心坐标为，形心坐标为 x2、、y2 则C● 分布荷载可分为均布荷载和非均布荷载：分布荷载可分为均布荷载和非均布荷载：（（a）凡集度为常数的分布荷载，）凡集度为常数的分布荷载， 皆称为均布荷载皆称为均布荷载b）若构件上各处的荷载集度不是常数，）若构件上各处的荷载集度不是常数， 则称为非均布荷载则称为非均布荷载求三角形荷载合力大小及作用点位置求三角形荷载合力大小及作用点位置合力大小合力大小 ：：合力作用点位置：合力作用点位置： 三角形面积三角形面积到底边距离为高的到底边距离为高的1/ /3底边底边高高2.4.5 分布荷载的重心分布荷载的重心 【【例例 1.1】】钢筋混凝土过梁，梁上有较高的墙体，若墙体的荷载传给过梁以图中虚线钢筋混凝土过梁，梁上有较高的墙体，若墙体的荷载传给过梁以图中虚线内的重量计之，则过梁上的线荷载可以简化为三角形，其集度最大值内的重量计之，则过梁上的线荷载可以简化为三角形，其集度最大值q ，求荷载的合力。
求荷载的合力 解解】】R设整个三角形荷载之合力为设整个三角形荷载之合力为 R，则，则其作用线位置在梁之中点其作用线位置在梁之中点 C 处 R=ql/2 谢谢 谢！谢！ 。