抛物线定义及性质 平面内到一个定点平面内到一个定点F F和一条和一条定直线定直线l l的距离相等的点的轨迹的距离相等的点的轨迹叫做抛物线叫做抛物线一、定义oLF注：如果定点注：如果定点F在定直线在定直线l上，所求的轨迹是上，所求的轨迹是？？▲▲定点定点F F 叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点▲▲定直线定直线l l 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线过定点过定点F垂直于直线垂直于直线l的一条直线的一条直线x 求标准方程求标准方程··FMlN如何建立直角坐标系？如何建立直角坐标系？想想一一想想 设设︱︱KF︱︱= p则则F（（ ，，0），），l：：x = - p2p2设动点设动点M的坐标为（的坐标为（x，，y），）， 由定义可知，由定义可知，化简得化简得 y2 = 2px（（p＞＞0））xyo··FMlNK过过F做直线做直线FK垂直于直线垂直于直线l，垂足为，垂足为K以直线KF为为x轴，线段轴，线段KF的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直轴，建立如图所示的直角坐标系角坐标系xOy 方程方程 y2 = 2px（（p＞＞0））叫做叫做抛物线的标准方程。
抛物线的标准方程其中其中 p 为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是:焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离 yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒ 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线 标准方程标准方程 二、抛物线的性质二、抛物线的性质抛物线抛物线 的几何性质：的几何性质：(p＞＞0) 它在它在 轴的右边，向右上方轴的右边，向右上方和右下方无限伸展和右下方无限伸展1 1、抛物线的范围、抛物线的范围、抛物线的范围、抛物线的范围2 2、抛物线的对称性：、抛物线的对称性：、抛物线的对称性：、抛物线的对称性：关于关于 轴对称轴对称这条对称轴叫抛物线的轴这条对称轴叫抛物线的轴注意：注意：抛物线只有一条对称轴；抛物线只有一条对称轴；没有对称中心没有对称中心.FOxy3 3、抛物线的顶点：、抛物线的顶点：、抛物线的顶点：、抛物线的顶点：抛物线和轴的交点原抛物线和轴的交点原点点O（（0，，0））4、抛物线的离心率、抛物线的离心率 y2=2px离心率都是离心率都是 1 图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（（p>0））y2 = -2px（（p>0））x2 = 2py（（p>0））x2 = -2py（（p>0））x≥0y∈∈Rx≤0y∈∈Ry≥0x∈∈Ry ≤ 0x∈∈R(0,0)x轴轴y轴轴1 2、通径：、通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。
PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔3、焦半径：、焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的叫做抛物线的焦半径焦半径焦半径公式：焦半径公式： 下面请大家推导出其余三种标准方程下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的抛物线的焦半径公式焦半径公式 例例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线求下列抛物线的焦点坐标和准线. 1、、2、、练习练习1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： . 例例2 根据下列条件写出抛物线的标准方程：根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点是焦点是F(0,-2)；； (2)准线方程是准线方程是 ；；(3)焦点到准线的距离是焦点到准线的距离是2. (2)抛物线抛物线 上与焦点的距离等于上与焦点的距离等于9的点的的点的坐标是坐标是___________；；例例3 (1)抛物线抛物线上一点上一点M到焦点的距离是到焦点的距离是,则点则点M到准线的距离是到准线的距离是________,点点M的横坐标是的横坐标是_____.a 如图如图,M点是抛物线点是抛物线 上一点上一点,F是抛物线是抛物线的焦点的焦点, 以以Fx为始边为始边,FM为终边的角为终边的角 ,求求 .练习练习24 例例4 4. .点点M M与点与点F(4,0)F(4,0)的距离比它到直线的距离比它到直线l:x+5=0l:x+5=0的距离小的距离小1,1,求点求点M M的轨迹方程的轨迹方程. . 分析：分析： 如图可知如图可知原原条条件件等等价价于于M M点点到到F F（（4 4，，0 0））和和到到x x＝－＝－4 4距离相等，距离相等，-4-4由抛物线的定义，点由抛物线的定义，点M M的的轨迹是以轨迹是以F F（（4 4，，0 0））为焦点，为焦点，x x＝－＝－4 4为准线为准线的抛物线．所求方程是的抛物线．所求方程是y y2 2＝＝1616x x．． 。