第二节 一元二次不等式及其解法 三年三年1919考考 高考指数高考指数:★★★★:★★★★1.1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系；二次方程的关系；3.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图解的程序框图. . 1.1.以考查一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、以考查一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等知识；根的存在性及二次函数的图象与性质等知识；2.2.以集合为载体，考查一元二次不等式的解法及集合的运算；以集合为载体，考查一元二次不等式的解法及集合的运算；3.3.以函数、数列、解析几何为载体，以二次不等式的解法为手以函数、数列、解析几何为载体，以二次不等式的解法为手段，考查求参数的范围问题；段，考查求参数的范围问题；4.4.以选择题、填空题为主，有时穿插于解答题中考查，难度中以选择题、填空题为主，有时穿插于解答题中考查，难度中等等. . 1.1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表表 【【即时应用即时应用】】(1)(1)不等式不等式x x2 2-3x+2-3x+2＜＜0 0的解集为的解集为______.______.(2)(2)设二次不等式设二次不等式axax2 2+bx+1+bx+1＞＞0 0的解集为的解集为{x|-1{x|-1＜＜x x＜＜ },},则则abab的的值为值为______.______.(3)(3)函数函数 的定义域是的定义域是______.______. 【【解析解析】】(1)(1)原不等式等价于原不等式等价于(x-1)(x-2)(x-1)(x-2)＜＜0,0,即即1 1＜＜x x＜＜2.2.(2)(2)由题意可知由题意可知a a＜＜0,0,且且-1, -1, 是方程是方程axax2 2+bx+1=0+bx+1=0的两个根的两个根. .故故 解得解得(3)(3)由由x x2 2+x-12≥0,+x-12≥0,即即(x+4)(x-3)≥0,(x+4)(x-3)≥0,得得x≤-4x≤-4或或x≥3.x≥3.答案：答案：(1)(1,2) (2)6(1)(1,2) (2)6(3)(-∞,-4]∪[3,+∞)(3)(-∞,-4]∪[3,+∞) 2.2.一元二次不等式一元二次不等式axax2 2+bx+c>0(a>0)+bx+c>0(a>0)的求解过程用程序框图表示的求解过程用程序框图表示为为 【【即时应用即时应用】】思考：上述不等式中思考：上述不等式中a a＞＞0,0,若若a a＜＜0 0时解集的情况又将如何？时解集的情况又将如何？提示：提示：若若a a＜＜0,0,则一般先将不等式进行转化，使则一般先将不等式进行转化，使x x2 2的系数转化为的系数转化为正后再求解正后再求解, ,但一定要注意转化过程中不等号的变化，但一定要注意转化过程中不等号的变化，Δ≤0Δ≤0时时解集为解集为Ø Ø,Δ,Δ＞＞0 0时解集为时解集为{x|x{x|x1 1＜＜x x＜＜x x2 2}.}. 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法【【方法点睛方法点睛】】解一元二次不等式的一般步骤解一元二次不等式的一般步骤(1)(1)变形，使一端为变形，使一端为0 0且二次项系数大于且二次项系数大于0 0；；(2)(2)计算相应的判别式；计算相应的判别式；(3)(3)当当Δ≥0Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；时，求出相应的一元二次方程的根；(4)(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集. .【【提醒提醒】】当不等式的系数为字母时，需要对字母进行分类讨论当不等式的系数为字母时，需要对字母进行分类讨论. . 【【例例1 1】】解下列不等式：解下列不等式：(1)x(1)x2 2+3x+4+3x+4＜＜0 0(2)-3x(2)-3x2 2-2x+8≤0-2x+8≤0(3)12x(3)12x2 2-ax-ax＞＞a a2 2(a∈R)(a∈R)【【解题指南解题指南】】(1)(1)先判断先判断““ΔΔ””，而后获解，而后获解. .(2)(2)先将先将x x2 2的系数转化为正数的系数转化为正数, ,而后因式分解求解而后因式分解求解. .(3)(3)将不等式转化后进行因式分解将不等式转化后进行因式分解, ,比较两根大小分类求解比较两根大小分类求解. . 【【规范解答规范解答】】(1)(1)由由Δ=9-16=-7Δ=9-16=-7＜＜0,0,故不等式的解集为故不等式的解集为Ø Ø. .(2)(2)原不等式等价于原不等式等价于3x3x2 2+2x-8≥0+2x-8≥0⇔⇔(x+2)(3x-4)≥0(x+2)(3x-4)≥0⇔⇔x≤-2x≤-2或或x≥x≥故不等式的解集为故不等式的解集为(-∞,-2]∪[ +∞).(-∞,-2]∪[ +∞).(3)(3)原不等式可化为原不等式可化为12x12x2 2-ax-a-ax-a2 2＞＞0 0⇔⇔(4x+a)(3x-a)(4x+a)(3x-a)＞＞0,0,令令(4x+a)(3x-a)=0(4x+a)(3x-a)=0得得①①a a＞＞0 0时时, , 此时不等式等价于此时不等式等价于②②a=0a=0时时, ,不等式等价于不等式等价于x x2 2＞＞0 0⇔⇔x≠0.x≠0.③a③a＜＜0 0时时, , 此时不等式等价于此时不等式等价于 综上所述综上所述, ,当当a a＞＞0 0时时, ,不等式的解集为不等式的解集为当当a=0a=0时时, ,不等式的解集为不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);(-∞,0)∪(0,+∞);当当a a＜＜0 0时时, ,不等式的解集为不等式的解集为 【【反思反思··感悟感悟】】1.1.对于本例对于本例(3)(3)中分类讨论后中分类讨论后, ,在写不等式解在写不等式解集时集时, ,也可以将也可以将a=0a=0的情况与的情况与a a＞＞0 0或或a a＜＜0 0结合起来写结合起来写. .如可写为如可写为a≥0a≥0时不等式的解集为时不等式的解集为 a a＜＜0 0时不等式的解时不等式的解集为集为 2.2.含参数的不等式解法：含参数的不等式解法：解含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式, ,要把握好分类讨论的层次，一般要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：按下面次序进行讨论：(1)(1)根据二次项系数的符号进行分类，根据二次项系数的符号进行分类，(2)(2)根据根是否存在，即根据根是否存在，即ΔΔ的符号进行分类，的符号进行分类，(3)(3)在根存在时，在根存在时，根据根的大小进行分类讨论根据根的大小进行分类讨论. .讨论时对字母的范围需要做到不讨论时对字母的范围需要做到不重不漏重不漏. . 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题【【方法点睛方法点睛】】恒成立问题及二次不等式恒成立的条件恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数元，谁是参数. .一般地一般地, ,知道谁的范围知道谁的范围, ,就选谁当主元就选谁当主元, ,求谁的范求谁的范围围, ,谁就是参数谁就是参数. .(2)(2)对于二次不等式恒成立问题对于二次不等式恒成立问题, ,恒大于恒大于0 0就是相应的二次函数就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在的图象在给定的区间上全部在x x轴上方轴上方, ,恒小于恒小于0 0就是相应的二就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在次函数的图象在给定的区间上全部在x x轴下方轴下方. . (3)(3)一元二次不等式恒成立的条件一元二次不等式恒成立的条件①①axax2 2+bx+c+bx+c＞＞0(a≠0)0(a≠0)恒成立的充要条件是：恒成立的充要条件是：a a＞＞0 0且且b b2 2-4ac-4ac＜＜0(x∈R).0(x∈R).②ax②ax2 2+bx+c+bx+c＜＜0(a≠0)0(a≠0)恒成立的充要条件是：恒成立的充要条件是：a a＜＜0 0且且b b2 2-4ac-4ac＜＜0(x∈R).0(x∈R). 【【例例2 2】】已知不等式已知不等式mxmx2 2-2x-m+1-2x-m+1＜＜0 0，，(1)(1)若对任意实数若对任意实数x x不等式恒成立不等式恒成立, ,求求m m的取值范围的取值范围. .(2)(2)若对一切若对一切m∈[-2,2]m∈[-2,2]不等式恒成立不等式恒成立, ,求求x x的取值范围的取值范围. .【【解题指南解题指南】】(1)(1)讨论讨论m m的情况的情况, ,结合二次函数图象求解结合二次函数图象求解. .(2)(2)变换主元将其看成关于变换主元将其看成关于m m的一元一次不等式的一元一次不等式, ,利用其定利用其定义范围义范围[-2,2][-2,2]求参数求参数x x的取值范围的取值范围. . 【【规范解答规范解答】】(1)(1)不等式不等式mxmx2 2-2x-m+1-2x-m+1＜＜0 0恒成立恒成立, ,即函数即函数f(xf(x)=mx)=mx2 2-2x-m+1-2x-m+1的图象全部在的图象全部在x x轴下方轴下方. .当当m=0m=0时时, ,不等式变为不等式变为1-2x1-2x＜＜0 0，对任意实数，对任意实数x x不恒成立不恒成立, ,故故m m＝＝0 0不满足；不满足；当当m≠0m≠0时时, ,函数函数f(xf(x)=mx)=mx2 2-2x-m+1-2x-m+1为二次函数为二次函数, ,需满足图象开口向需满足图象开口向下且方程下且方程mxmx2 2-2x-m+1-2x-m+1＝＝0 0无解无解, ,即即 则则m m无解无解. .综上可知不存在这样的综上可知不存在这样的m,m,使不等式恒成立使不等式恒成立. . (2)(2)设设g(mg(m)=(x)=(x2 2-1)m+(1-2x),-1)m+(1-2x),当当x x2 2-1=0-1=0时，即时，即x=x=±±1,1,检验得检验得x=1x=1时符合题意时符合题意, , 当当x x2 2≠1≠1时时, ,则其则其为一个以为一个以m m为自变量的一次函数为自变量的一次函数, ,其图象是直线其图象是直线, ,由题意知该直由题意知该直线当线当-2≤m≤2-2≤m≤2时在时在x x轴下方轴下方, , 解解①①, ,得得 或或解解②②, ,得得由由①②①②, ,得得 且且x≠1,x≠1,综上得综上得x x的取值范围为的取值范围为 【【反思反思··感悟感悟】】解决不等式恒成立问题解决不等式恒成立问题, ,通常有两种思路：通常有两种思路：(1)(1)转化成含有参数的不等式转化成含有参数的不等式, ,借助对应函数图象借助对应函数图象, ,找到满足题找到满足题目要求的条件目要求的条件, ,构造含参数的不等式构造含参数的不等式( (组组) )，求得参数范围；，求得参数范围；(2)(2)分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围. . 一元二次不等式的实际应用一元二次不等式的实际应用【【方法点睛方法点睛】】解不等式应用题的一般步骤解不等式应用题的一般步骤阅读理解、认真审题，把握问题中的关阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系键量，找准不等关系将文字语言转化为符号语言，用不等式将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型表示不等关系，建立相应的数学模型解不等式，得到数学结论，要注意数学解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义模型中元素的实际意义回归实际问题，将数学结论还原为实际回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果问题的结果读读建建解解答答 【【例例3 3】】汽车在行驶中汽车在行驶中, ,由于惯性的作用，刹车后还要继续向前由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住滑行一段距离才能停住, ,我们称这段距离为我们称这段距离为““刹车距离刹车距离””. .刹车刹车距离是分析事故的一个重要因素距离是分析事故的一个重要因素. . 在一个限速为在一个限速为40 km/h40 km/h的弯道上的弯道上, ,甲、乙两辆汽车相向而行，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对发现情况不对, ,同时刹车同时刹车, ,但还是相碰了但还是相碰了. .事后现场勘查测得甲事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过车的刹车距离略超过12 m,12 m,乙车的刹车距离略超过乙车的刹车距离略超过10 m,10 m,又知甲、又知甲、乙两种车型的刹车距离乙两种车型的刹车距离s(ms(m) )与车速与车速x(km/hx(km/h) )之间分别有如下关之间分别有如下关系：系：s s甲甲＝＝0.1x+0.01x0.1x+0.01x2 2,s,s乙乙=0.05x+0.005x=0.05x+0.005x2 2. .问：甲、乙两车有问：甲、乙两车有无超速现象？无超速现象？ 【【解题指南解题指南】】由题意只需利用刹车距离与车速的关系，与实际由题意只需利用刹车距离与车速的关系，与实际刹车距离构建不等关系求解即可刹车距离构建不等关系求解即可. .【【规范解答规范解答】】由题意知由题意知, ,对于甲车对于甲车, ,有有0.1x+0.01x0.1x+0.01x2 2＞＞12,12,即即x x2 2+10x-1 200+10x-1 200＞＞0,0,解得解得x x＞＞30,30,或或x x＜＜-40(-40(不合实际意义不合实际意义, ,舍去舍去).).这表明甲车的车速超过这表明甲车的车速超过30 km/h.30 km/h.但根据题意刹车距离略超过但根据题意刹车距离略超过12 m,12 m,由此估计甲车车速不会超过限速由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.40 km/h.对于乙车对于乙车, ,有有0.05x+0.005x0.05x+0.005x2 2＞＞10,10,即即x x2 2+10x-2 000+10x-2 000＞＞0,0,解得解得x x＞＞40,40,或或x x＜＜-50(-50(不合实际意义不合实际意义, ,舍去舍去).).这表明乙车的车速超过这表明乙车的车速超过40 km/h,40 km/h,超过规定限速超过规定限速. . 【【反思反思··感悟感悟】】不等式应用题多是解决现实生活、生产、科技不等式应用题多是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题中的最优化问题, ,本题即是利用一元二次不等式解决现实生活本题即是利用一元二次不等式解决现实生活中常见的交通事故责任调查与取证的问题中常见的交通事故责任调查与取证的问题, ,其关键是正确确定其关键是正确确定不等关系不等关系. . 【【创新探究创新探究】】一元二次不等式在二元二次方程中的应用一元二次不等式在二元二次方程中的应用【【典例典例】】(2011(2011··浙江高考浙江高考) )若实数若实数x x、、y y满足满足x x2 2+y+y2 2+xy+xy＝＝1,1,则则x+yx+y的最大值是的最大值是______.______.【【解题指南解题指南】】本例可令本例可令x+yx+y=t=t，利用直线与曲线必有交点，利用直线与曲线必有交点, ,即联即联立消元后方程必有解可求立消元后方程必有解可求, ,亦可利用基本不等式放缩后解不等亦可利用基本不等式放缩后解不等式求解式求解. . 【【规范解答规范解答】】方法一：令方法一：令x+yx+y=t,=t,则则y=y=t-xt-x，代入，代入x x2 2+y+y2 2+xy=1+xy=1，整，整理得：理得：x x2 2-tx+t-tx+t2 2-1=0,-1=0,则方程必有实根，即则方程必有实根，即Δ=tΔ=t2 2-4(t-4(t2 2-1)≥0,-1)≥0,即即 解得解得故故x+yx+y的最大值为的最大值为方法二：由方法二：由x x2 2+y+y2 2+xy=1+xy=1得得1=(x+y)1=(x+y)2 2-xy,-xy,∴(x+y)∴(x+y)2 2=1+xy≤=1+xy≤ 即即 故故∴∴x+yx+y的最大值为的最大值为答案：答案： 【【阅卷人点拨阅卷人点拨】】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨与备考建议：新点拨与备考建议： 创创新新点点拨拨本题主要有以下创新点：本题主要有以下创新点：(1)(1)结合不等式与解析几何及方程综合命制结合不等式与解析几何及方程综合命制, ,把对一元把对一元二次不等式的考查以新的形式呈现，具有知识交汇、二次不等式的考查以新的形式呈现，具有知识交汇、解法新颖的特点；解法新颖的特点；(2)(2)通过曲线有交点转化为方程有根，从而转化为不等通过曲线有交点转化为方程有根，从而转化为不等式求解式求解. . 备备考考建建议议关于本类问题的解法，主要有以下备考建议：关于本类问题的解法，主要有以下备考建议：(1)(1)在解决此类不等式与方程与解析几何结合的综合问在解决此类不等式与方程与解析几何结合的综合问题时，要明确已知什么，求什么题时，要明确已知什么，求什么, ,应用到哪一块知识，应用到哪一块知识，采取何种方法采取何种方法, ,从而进行有效转化求解从而进行有效转化求解. .(2)(2)对于创新型命题对于创新型命题, ,要抓住其万变不离其宗的特点要抓住其万变不离其宗的特点, ,善善于揭去其神秘的面纱，与已学的基础知识联系起来，于揭去其神秘的面纱，与已学的基础知识联系起来，如本例通过换元把问题转化为最基本的一元二次不等如本例通过换元把问题转化为最基本的一元二次不等式问题求解式问题求解. . 1.(20111.(2011··广东高考广东高考) )不等式不等式2x2x2 2-x-1-x-1＞＞0 0的解集是的解集是( )( )(A)( 1)(A)( 1)(B)(1,+∞)(B)(1,+∞)(C)(-∞,1)∪(2,+∞)(C)(-∞,1)∪(2,+∞)(D)(-∞, )∪(1,+∞)(D)(-∞, )∪(1,+∞)【【解析解析】】选选D.D.由由2x2x2 2-x-1-x-1＞＞0 0得得(x-1)(2x+1)(x-1)(2x+1)＞＞0,0,解得解得或或x x＞＞1,1,从而得原不等式的解集为从而得原不等式的解集为 2.(20112.(2011··江西高考江西高考) )若集合若集合A A＝＝{x|-1≤2x+1≤3},B{x|-1≤2x+1≤3},B＝＝则则A∩BA∩B＝＝( )( )(A){x|-1≤x(A){x|-1≤x＜＜0} (B){x|00} (B){x|0＜＜x≤1}x≤1}(C){x|0≤x≤2} (D){x|0≤x≤1}(C){x|0≤x≤2} (D){x|0≤x≤1}【【解析解析】】选选B.∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0B.∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0＜＜x≤2},x≤2},∴A∩B={x|0∴A∩B={x|0＜＜x≤1}.x≤1}. 3.3.（（20122012··衡阳模拟）不等式衡阳模拟）不等式axax2 2+(ab+1)x+b>0+(ab+1)x+b>0的解集为的解集为{x|1