线性方程组1.矩阵消元法.ppt

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1、 上一章的克莱姆法则只能解决部分适合条件方程上一章的克莱姆法则只能解决部分适合条件方程个数与未知量个数个数与未知量个数相等相等的线性方程组。科学技术和的线性方程组。科学技术和经济管理中的许多问题往往可以归结为解一个线性经济管理中的许多问题往往可以归结为解一个线性方程组，一般这样的方程组中方程个数与未知量个方程组，一般这样的方程组中方程个数与未知量个数是数是不同的不同的， 对这种方程组的研究在理论上和应用对这种方程组的研究在理论上和应用上都具有重要意义，也是本章的主要任务。上都具有重要意义，也是本章的主要任务。 本章主要解决两个问题本章主要解决两个问题 ：1 . 线性方程组线性方程组求解方法求解

2、方法 矩阵消元法矩阵消元法及及解的结构解的结构 。2 . 为了解决第一个问题为了解决第一个问题, 需要引进需要引进 n 维向量的概念，维向量的概念， 并讨论并讨论 n 维向量的维向量的 线性关系线性关系 。1 第一节：矩阵消元法第一节：矩阵消元法 本节主要介绍以下两点本节主要介绍以下两点一：矩阵消元法矩阵消元法 解线性方程组的一种最古老但解线性方程组的一种最古老但 仍然被广泛使用的方法之一仍然被广泛使用的方法之一 。 (引入矩阵及矩阵的初等行，列变换引入矩阵及矩阵的初等行，列变换)二：二：线性方程组解的情况线性方程组解的情况 初探初探 。* 矩阵消元法矩阵消元法也被称为高斯消元法也被称为高斯消

3、元法 ，但是我国古代，但是我国古代的算书的算书九章算术九章算术中早已有了许多线性方程组的中早已有了许多线性方程组的应用题应用题 ，而且有了解线性方程组的消元法，而且有了解线性方程组的消元法 ，这比，这比高斯整整早了一千年高斯整整早了一千年 。2一：矩阵消元法矩阵消元法 . 在中学里在中学里 ，我们已经学过用加减消元法，我们已经学过用加减消元法 解二解二 ,三元线性方程组三元线性方程组 ， 下面先看一个例子下面先看一个例子 。例例 1 . 解线性方程组解线性方程组解解 ：-3-2符号符号-3表示第二个方表示第二个方程减去第一个方程的程减去第一个方程的 3 倍倍 3符号符号(-1/5 )表示第表示

4、第3 的方程乘的方程乘(-1/5)。 符号符号(,)表示互换第表示互换第2 ， 第第3 两个方程的位置。两个方程的位置。(-1/5)(,)4这种形式的线这种形式的线性方程组一般性方程组一般称为称为阶梯形方阶梯形方程组程组 , 特点是特点是：自上而下的各自上而下的各个方程所含未个方程所含未知量的个数知量的个数依次减少依次减少 。+75 由由原原方程组化为阶梯形方程组的过程方程组化为阶梯形方程组的过程称为称为消元过程消元过程 ，而由阶梯形方程组逐次求得各未知，而由阶梯形方程组逐次求得各未知量的过程称为量的过程称为回代过程回代过程 。 在求解过程中在求解过程中 ，对方程组反复施行了以下三种，对方程组

5、反复施行了以下三种变换变换 称为称为方程组的初等变换方程组的初等变换 。1.交换两个方程的位置交换两个方程的位置 。2.用一个非零数乘某个方程的两边用一个非零数乘某个方程的两边 。3.用一个数乘某个方程加到另一个方程上用一个数乘某个方程加到另一个方程上 。 方程组的初等变换方程组的初等变换具有可逆性具有可逆性 ，即若即若方程组方程组 经过方程组的初等变换经过方程组的初等变换 变为方程组变为方程组 ，则方程组，则方程组 必可经过方程组的初等变换必可经过方程组的初等变换 还原还原成方程组成方程组 。6 在例在例 1 的求解过程中的求解过程中 ，我们只对未知量的系数与常数项进行运算我们只对未知量的系

6、数与常数项进行运算 ， 因此求解过程可以写的更简单因此求解过程可以写的更简单 。线性方程组线性方程组 可以用下面的矩形数表来表示可以用下面的矩形数表来表示 ：(它的每一行表示一个方程它的每一行表示一个方程 ) 数表数表 中的横排称为行中的横排称为行 ，纵排称为列，纵排称为列 。这样的这样的三行四列数表就称为一个三行四列矩阵，简称三行四列数表就称为一个三行四列矩阵，简称 3 4 矩阵矩阵 ，且称其为线性方程组，且称其为线性方程组 的的增广矩阵增广矩阵 。7 对方程组对方程组 施以方程组的初等变换施以方程组的初等变换 ，就相当于对，就相当于对矩阵矩阵 的各行施以相应的变换的各行施以相应的变换 ，它

7、们都称为矩阵的，它们都称为矩阵的初等行变换初等行变换 。 利用矩阵的记号利用矩阵的记号 ，例，例 1 的消元过程可以写成的消元过程可以写成如下形式如下形式 。83232 (-1/5) (-1/5)9(, )(, )+7+710 最后一个矩阵称为最后一个矩阵称为 阶梯形矩阵阶梯形矩阵 ，其特点是，其特点是 自上而下的各行中自上而下的各行中 ，每行第一个非零元素，每行第一个非零元素 左边零的个数随行数的增加而严格增加左边零的个数随行数的增加而严格增加 。 元素全为零的行元素全为零的行 ( 如果有的话如果有的话 ) 位于矩阵的下边位于矩阵的下边 。11由最后一个矩阵可得原方程组的解由最后一个矩阵可得

8、原方程组的解 ：x1= 2 ,x2= 0 ,x3= -1 .(唯一解唯一解)这个阶梯这个阶梯 形矩阵形矩阵称为称为简化简化阶梯形阶梯形矩阵矩阵 。12解解 ：对方程组的增广矩阵：对方程组的增广矩阵 (是一个是一个 3 5 的矩阵的矩阵)施以施以 矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换 ，将其化为阶梯形矩阵，将其化为阶梯形矩阵 ，过程，过程 如下如下 ： 在在求解求解未知量个数与方程个数不等的线性方程组未知量个数与方程个数不等的线性方程组时时 ，也可以用上述的矩阵形式，也可以用上述的矩阵形式 。 32132(, )14所以原方程组也无解所以原方程组也无解 。 这是一个矛盾方程组这是一个矛盾方程组 ，无

9、解无解 。15解解 ：对方程组的增广矩阵：对方程组的增广矩阵 (是一个是一个 4 6 的矩阵的矩阵)施以施以 矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换 ，将其化为阶梯形矩阵，将其化为阶梯形矩阵 ， (下面我们给出简化过程下面我们给出简化过程)1617阶梯形矩阵阶梯形矩阵 ，它对应的阶梯它对应的阶梯形方程组为形方程组为 其中最后一个方程已化成其中最后一个方程已化成 0 = 0 ， 说明该方程是说明该方程是“多余多余”的方程的方程 ，不再写出，不再写出 。这个阶梯形方程组还可以写成下面的形式这个阶梯形方程组还可以写成下面的形式 。18所以原方程组有所以原方程组有无穷多解无穷多解 。我们继续对阶梯形矩阵我们

10、继续对阶梯形矩阵(2)进行进行初等行变换初等行变换 ，19+93(-1)(-1/5)20(这种阶梯形矩阵这种阶梯形矩阵 称为称为简化阶梯简化阶梯 形矩阵，形矩阵，特点特点 是是 ？)221 我们称我们称 为原方程组的为原方程组的一般解一般解 ：即用自由未知即用自由未知量表示其余未知量的量表示其余未知量的表达式表达式 。22 由上面的例由上面的例 1 例例 3 ，可以看出线性方程组可能，可以看出线性方程组可能无解无解 ，也可能有解，也可能有解 ，在有解的情况下，在有解的情况下 ，可能有，可能有唯一唯一解解 ，也可能有，也可能有无穷多解无穷多解 。 将矩阵消元法小结如下将矩阵消元法小结如下 ：1.

11、写出线性方程组的写出线性方程组的增广矩阵增广矩阵,一般用一般用 表示。表示。2. 对对 用矩阵的初等用矩阵的初等行行变换化为阶梯形矩阵或变换化为阶梯形矩阵或 简化简化 阶梯形矩阵阶梯形矩阵 。3. 判断线性方程组是否有解判断线性方程组是否有解 ，有解时，给出相应的解，有解时，给出相应的解 。(有无穷多解时，给出一般解有无穷多解时，给出一般解。)23定义定义 ： 为了便于讨论一般的线性方程组解的情况为了便于讨论一般的线性方程组解的情况 ，现在引入矩阵的概念。现在引入矩阵的概念。24 有时为了说明矩阵的行数与列数也可以用有时为了说明矩阵的行数与列数也可以用 Amn 或或 A=(ai j)mn 来表

12、示一个来表示一个mn 矩阵。矩阵。 其中的横排称为矩阵的行其中的横排称为矩阵的行 ，纵排称为矩阵的列，纵排称为矩阵的列 。矩阵中的数矩阵中的数 定义：对一个矩阵可以施以下述三种变换定义：对一个矩阵可以施以下述三种变换25 这三种变换中的每一种都称为矩阵的这三种变换中的每一种都称为矩阵的初等行初等行(列列)变换变换 ，矩阵的初等行变换，矩阵的初等行变换 ，初等列变换统称为，初等列变换统称为矩阵的矩阵的初等变换初等变换 。 (具有可逆性具有可逆性)* 解方程组时，只用其中的初等解方程组时，只用其中的初等行行变换变换 。26 方程组中未知量的系数可以组成数域方程组中未知量的系数可以组成数域 F 上的

13、一上的一个个 m n 矩阵矩阵27 矩阵矩阵A 称为线性方程组称为线性方程组(1)的的系数系数矩阵矩阵 ，而称而称 m (n+1) 矩阵矩阵 为线性方程组为线性方程组(1) 的的 增广增广矩阵矩阵 。请比较请比较系数系数矩阵矩阵与与增增广广矩阵矩阵的相同与不同之处的相同与不同之处 。为了讨论线性方程组为了讨论线性方程组(1) 的解的情况的解的情况 ，2829 由后由后 m 1 行行 ，右边的，右边的 n 列可以组成一个列可以组成一个( m 1 ) n 矩阵矩阵 ，对此矩阵继续，对此矩阵继续施以上述变换施以上述变换 ，必要时可以重新排列未知量的顺序必要时可以重新排列未知量的顺序 ，直到将其化为，

14、直到将其化为如下形式的如下形式的阶梯形矩阵阶梯形矩阵为止为止 ：(想一想是否一定可以化为想一想是否一定可以化为阶梯形阶梯形 ? 若能若能 ，请给出证明。，请给出证明。)30阶梯形矩阵阶梯形矩阵它它对应的对应的阶梯形方程组阶梯形方程组为为3132 因为消元过程因为消元过程只是对只是对线性方程组的线性方程组的系数（含常数项）系数（含常数项）进行运算而与方程中进行运算而与方程中未知量的取值未知量的取值无关无关 ， 所以上面的所以上面的阶梯形线性方程组阶梯形线性方程组 与原线性方程组与原线性方程组 同解同解 。我们只要对。我们只要对阶梯形线性方程组阶梯形线性方程组 讨论就可讨论就可以知道原线性方程组解

15、的情况以知道原线性方程组解的情况 。 由消元过程不难得出必有由消元过程不难得出必有 r n。(关于这一点关于这一点你能否想清楚你能否想清楚) 这时可能出现下述情况这时可能出现下述情况 ：331) 如果如果 r = n 则线性方程组则线性方程组 相当于相当于 对对 式，由式，由 可以可以 自下而上的依次求出自下而上的依次求出34 写出写出 式对应的阶梯形矩阵式对应的阶梯形矩阵 ，自下而上逐次施，自下而上逐次施以矩阵的初等以矩阵的初等行行变换变换 ，进一步化为，进一步化为简化阶梯形矩简化阶梯形矩阵阵 ，可得线性方程组，可得线性方程组 的的 唯一解唯一解 。 线性方程组线性方程组 有唯一解有唯一解，

16、因而线性方程组，因而线性方程组 也也有有唯一解唯一解。这一过程。这一过程也可以也可以用下法代替用下法代替 。用下图表示用下图表示 。35简简化化阶阶梯梯形形矩矩阵阵36记为记为 其中其中 xr+1 , xr+2 . . . xn 称为称为自由未知量自由未知量 ，任，任 意意取定自由未知量的一组值取定自由未知量的一组值 ，都可以，都可以 唯一的确定唯一的确定其其余未知量余未知量 x1 , x2 . . . xr (不自由不自由) 的一组值的一组值 ， 从而可得线性方程组的一组解从而可得线性方程组的一组解 。37 因此原来的线性方程组因此原来的线性方程组有无穷多组解有无穷多组解 。此时，对。此时，

17、对阶梯形方程组阶梯形方程组 对应的对应的阶梯形矩阵可以经过矩阵的阶梯形矩阵可以经过矩阵的初等初等行行变换进一步化为变换进一步化为简化阶梯形简化阶梯形矩阵矩阵 ：38由此可得原线性方程组的由此可得原线性方程组的一般解一般解 ： 对于具体的线性方程组对于具体的线性方程组 ，若有无穷多解时，若有无穷多解时 ，自由自由未知量的选取未知量的选取要根据要根据具体题目具体分析具体题目具体分析 ，不一定取，不一定取后面的未知量为自由未知量后面的未知量为自由未知量 ！ 但是但是 ，自由未知量的，自由未知量的个数个数是唯一确定的是唯一确定的 ！39且有且有 ：自由未知量的：自由未知量的个数个数 = 线性方程组线性

18、方程组中中未知量未知量 的的个数个数 n - (简化简化) 阶梯形矩阵阶梯形矩阵中中非零行的非零行的 行数行数 r ，非零行非零行是指是指 - - 不全为零的行不全为零的行 。总结一下总结一下 ， 我们有下述结论我们有下述结论 ： 线性方程组线性方程组 的增广矩阵经过矩阵的初等行变换的增广矩阵经过矩阵的初等行变换 , 可以化为阶梯形可以化为阶梯形 (或简化阶梯形或简化阶梯形) 矩阵矩阵 ，对应的阶梯，对应的阶梯形形方程组与原线性方程组同解，方程组与原线性方程组同解， 并且有：并且有： 1 . 当当 d r+1 0 时时 ，线性方程组，线性方程组 无解无解 。2 . 当当 d r+1=0 时时

19、且且 r =n 时，线性方程组时，线性方程组 有有 唯一解唯一解 。3 .当当 d r+1=0 时且时且 rn 时，线性方程组时，线性方程组 有有 无穷多解无穷多解 - - - 用用一般解一般解表示表示 。40注意注意 恒有解恒有解,如果还有其它的解如果还有其它的解 ，则称为，则称为非零解非零解 。它有它有 m 个方程个方程 ，n 个未知量个未知量 .41 则有下述结论则有下述结论 ：1.r=n时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组 有有 唯一零解唯一零解 。 2.rn时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组 有无穷多解有无穷多解 ，3. 即有即有 非零解非零解 。定理定理1 ：齐次线性方程组：齐次

20、线性方程组 ，当当 mn (即方程个数小于未知量个数即方程个数小于未知量个数) 时时 ， 必有必有非零解非零解 。证明证明 ：显然：显然 的增广矩阵化为阶梯形矩阵后的增广矩阵化为阶梯形矩阵后 , 其中非零行的行数其中非零行的行数 r 矩阵的行数矩阵的行数 m , 从而从而 阶梯形矩阵中非零行的行数阶梯形矩阵中非零行的行数 r n . 齐次线性方程组齐次线性方程组 有无穷多解有无穷多解 ，即有，即有非零解非零解 。42这个齐次线性方程组这个齐次线性方程组 方程个数方程个数等于等于未知量个数未知量个数 = n 。定理定理2 ：齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解的充分有非零解的充分 必要条件是必

21、要条件是 的系数行列式的系数行列式43证明证明：(必要性必要性) 若若 D 0 ，则由克莱姆法则则由克莱姆法则 齐次线性方程组齐次线性方程组 有唯一零解有唯一零解 ， 矛盾矛盾 ，所以，所以 D = 0 。 (充分性充分性) 假设假设齐次线性方程组齐次线性方程组 经过经过 初等行变换化成的阶梯形初等行变换化成的阶梯形方程组仍有方程组仍有 n 个个 ，44它的行列式它的行列式设设为为 ：45 的方程个数必小于未知量个数的方程个数必小于未知量个数 ，根据，根据定理定理1 齐次线性方程组齐次线性方程组 必有非零解必有非零解 ，从而齐次线性方，从而齐次线性方程组程组 也有非零解也有非零解 。例例1：a

22、 取何值时取何值时 ，下面的线性方程组有解，下面的线性方程组有解 ， 并求出这个方程组的解并求出这个方程组的解 。 D 必是必是 D 的非零常数倍，由条件的非零常数倍，由条件 D=0 ，而而 D0，从而产生矛盾，所以在阶梯形方程组从而产生矛盾，所以在阶梯形方程组 中去掉多余方程中去掉多余方程 0=0 以后，以后，但是但是 D 可以由可以由 D 用行列式的性质得到用行列式的性质得到 ，所以，所以46解解 ：对线性方程组的増广矩阵施以初等行变换：对线性方程组的増广矩阵施以初等行变换 ， 将其化成阶梯形矩阵将其化成阶梯形矩阵 。 2 4 34731(, )(1/7)48显然显然 当当 a- 4 时时

23、 ，原方程组无解，原方程组无解 ， 当当 a- 4 时时 ，原方程组有解，原方程组有解 。 把把 a = - 4 代入阶梯形矩阵代入阶梯形矩阵 ，继续进行初，继续进行初等行变换将其化成等行变换将其化成简化简化阶梯形矩阵阶梯形矩阵 。49未知量未知量个数个数 n = 4 , 阶梯形阶梯形 矩阵中矩阵中非零行非零行数数 r = 3 .50例例2 ：试确定试确定 的值的值 ，使齐次线性方程组，使齐次线性方程组有非零解有非零解 。注意注意 ：x 3 ，x 4 均与均与 自由未知量自由未知量 x 2 无关无关 ！ 51解解 ：对方程组的增广矩阵施以矩阵的初等行：对方程组的增广矩阵施以矩阵的初等行 变换变

24、换 ，将其化为阶梯形矩阵，将其化为阶梯形矩阵 ，(2 )(1)52将将 = -2 代入阶梯形矩阵代入阶梯形矩阵 进一步化成简进一步化成简 化阶梯形化阶梯形矩阵矩阵得得 ： 由阶梯形矩阵可以看出由阶梯形矩阵可以看出 ，当，当 或或 时原方程组有非零解时原方程组有非零解 。53类似的有，当类似的有，当 时时 ，有，有54另解另解*：方程组的系数：方程组的系数行列式行列式 - - - 见第一见第一 章章 。注意注意 ：后一种方法：后一种方法只适用只适用于于方程个数方程个数与与 未知量个数未知量个数相等相等的线性方程组的线性方程组 。55 小结小结 ：1 . 熟练应用矩阵消元法求解线性方程组熟练应用矩阵消元法求解线性方程组 。2 . 用阶梯形矩阵判断线性方程组是否有解用阶梯形矩阵判断线性方程组是否有解 ， 在线性方程组有在线性方程组有无穷解无穷解时时 ，给出其，给出其一般解一般解 。 用自由未知量表示用自由未知量表示其余未知量的表达式其余未知量的表达式 ！56