第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章第一章 （（Existence criteria for limits & Two important limits））二、两个重要极限二、两个重要极限一、极限存在的两个准则一、极限存在的两个准则三、内容小结三、内容小结8/20/20241: 1. 夹逼准则夹逼准则(两边夹法则两边夹法则;三明治法则三明治法则)准则准则I证证: 由条件由条件 (2) ,当当时时,当当时时,令令则当则当时时, 有有由条件由条件 (1),即即故故 8/20/20242: 我们可将准则我们可将准则I推广到函数的情形：推广到函数的情形：准则准则I′且且注意注意:准则准则I和准则和准则I′统称为夹逼准则统称为夹逼准则.,的极限是易求的的极限是易求的.与与且且与与关键关键:构造出构造出利用夹逼准则求极限的利用夹逼准则求极限的8/20/20243: 例例1解：解：由夹逼准则得由夹逼准则得8/20/20244: 解解: 运用夹逼准则运用夹逼准则 .且且由由思考题：思考题：？？1211lim222=øöçèæ++++++¥®pppnnnnnnLL8/20/20245: 夹逼准则不仅说明了极限存在，夹逼准则不仅说明了极限存在， 而且给出了求极限的而且给出了求极限的方法．方法． 下面利用它证明另一个重要的下面利用它证明另一个重要的圆扇形圆扇形AOB的面积的面积证证: 当当即即亦即亦即时，时，显然有显然有△△AOB 的面积＜的面积＜＜＜△△AOD的面积的面积故有故有(注注:运用夹逼准则可得运用夹逼准则可得),极限公式：极限公式： 8/20/20246: 例例2 求求解解: 例例3 求求解解: 令令那么那么因而因而原式原式注注: 利用变量代换，可得更一般的形式利用变量代换，可得更一般的形式8/20/20248: 例例4 求求解解:例例5 求求解解:8/20/20249: 2. 单调有界准则单调有界准则数列数列单调增加单调增加单调减少单调减少准则准则I I 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限单调上升有上界数列必有极限单调上升有上界数列必有极限单调下降有下界数列必有极限单调下降有下界数列必有极限说说 明明:(1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛．定有界，但有界的数列不一定收敛．(2) 利用准则利用准则I I来判定数列收敛必须同时满足来判定数列收敛必须同时满足 数数列单调和有界这两个条件．列单调和有界这两个条件．8/20/202410: (3) 原则原则 I I只能判定数列极限的存在性，而未给出只能判定数列极限的存在性，而未给出求极限的方法．求极限的方法．例如，数列例如，数列，虽然有界但不单调；，虽然有界但不单调；，虽然是单调的，但其无界，，虽然是单调的，但其无界，易知，这两数列均发散．易知，这两数列均发散．数列数列(4) 对于准则对于准则I I ，，函数极限根据自变量的不同变化过程函数极限根据自变量的不同变化过程也有类似的也有类似的原则，原则，只是准则形式上略有不同只是准则形式上略有不同. 例如，例如，准则准则I I′ 设函数设函数在点在点的某个左邻域内单调的某个左邻域内单调在在的左极限的左极限必存在．必存在．并且有界，那么并且有界，那么8/20/202411: 作为准则作为准则I I I I 的应用，我们讨论一个重要极限：的应用，我们讨论一个重要极限：首先，证首先，证是单调的．是单调的．＝＝＝＝所以，数列所以，数列是单调增加的．是单调增加的． 8/20/202412: 显然，显然，单调性的证明可证得数列单调性的证明可证得数列是单调增加的．设数列是单调增加的．设数列由于数列由于数列是单调增加的，是单调增加的， 所以数列所以数列是单调减少的是单调减少的.又又其次，证其次，证有界．有界．类似于类似于，那么，那么那么那么. 综上，根据极限存在准则综上，根据极限存在准则I I 可知，数列是可知，数列是收敛的收敛的.8/20/202413: 通常用字母通常用字母来表示这个极限，即来表示这个极限，即也可以证明，当也可以证明，当取实数而趋于取实数而趋于或或时，函数时，函数的极限都存在且都等于的极限都存在且都等于 ，即，即利用变量代换，可得更一般的形式利用变量代换，可得更一般的形式8/20/202414: 例例6解解:例例7 求求解解:8/20/202415: 内容小结1. 极限存在的两个准则极限存在的两个准则夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .2. 两个重要极限两个重要极限或或注注: 代表相同的表达式代表相同的表达式8/20/202416: 思考与练习1. 填空题填空题 ( 1～～4 )8/20/202417: 解：解： 原式原式 =2. 求求 8/20/202418: 3. 证明证明 证明：证明： 对任一对任一，有，有，则当，则当时，有时，有于是于是, ,（（1〕当〕当时，时，由夹逼准则得由夹逼准则得（（2〕当〕当时，时，同样有同样有8/20/202419: 故极限存在，故极限存在，4. 设设 , 且且求求解：解：设设则由递推公式有则由递推公式有∴∴数列单调递减有下界，数列单调递减有下界，故故利用极限存在准则利用极限存在准则8/20/202420: 证证: 显然显然证明下述数列有极限证明下述数列有极限 .即即单调增单调增, 又又存在存在“拆项相消拆项相消” 法法 5. 设设8/20/202421: 。