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1、2.32.3直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质2.3.12.3.1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定点、直线、平面之间的位置关系 1掌握直线与平面垂直的定义及判定定理，能灵活应用判定定理证明直线和平面垂直2知道直线与平面所成角的概念，并会求简单的角基础梳理基础梳理1直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面内的_直线都_，就说直线l与平面垂直，记作_；直线l叫做平面的_；平面叫做直线l的_；直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做_(2)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直(1)任意一条垂直l垂线垂面垂足(3)判定定理：文字描述，一条直线与一个平面内
2、的_都垂直，则该直线与此平面垂直符号表示：a，b，_，_，_l.(3)两条相交直线abAlalb练习1.如下图所示，PACD，ABCD是正方形，求证：CD平面PAD.证明：因为PACD，又ABCD是正方形，所以ADCD，又PA与AD相交，所以CD平面PAD.2直线与平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但_，这条直线称为平面的_，斜线与平面的交点叫做_过斜线上_向平面引垂线，过_和_的直线叫做斜线在平面上的_平面的一条斜线和它在平面上的_所成的_，叫做直线和平面所成的角，如图，_就是斜线AP与平面所成的角(1)不垂直斜线斜足斜足以外的一点斜足垂足射影射影锐角PAO(2)特别的，当直线
3、AP与平面垂直时，它们所成的角是_；当直线与平面平行，或在平面内时，它们所成的角是_(3)直线和平面所成角的范围_练习2.直线与平面不垂直时，能否在平面内找到两条直线与这条直线垂直？练习3.两条直线垂直就一定相交吗？(2)900(3)0，90练习2.能练习3.错思考应用思考应用1“两条平行直线能确定一个平面，一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则这条直线也垂直于这个平面”这个结论对吗？解析：不正确实际上，由公理4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内的平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直2异面直线所成的角的定义及范围是什么？解析：异
4、面直线所成的角是通过作平行线得到的，即异面直线a与b所成的角，在空间中任取一点O，过O作a a，bb，则a与b的夹角就是a与b所成的角，其范围为(0，90自测自评自测自评1已知a，b是直线，是平面，则下列命题中正确的是()Aa，abb Bab，abCab，ba Da，abb2若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面()A有且只有一个B可能存在，也可能不存在C有无数多个D一定不存在D 解析：当l1l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个，当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在答案：B3如果直线l和平面内的两条平行线垂直，那么下列结论正确的是()Al Bl与相交Cl D都有可
5、能4已知a，b是异面直线，下列结论不正确的是()A存在无数个平面与a，b都平行B存在一个平面与a，b等距离C存在无数条直线与a，b都垂直D存在一个平面与a，b都垂直D D5三条直线两两垂直，下列四个命题：三条直线必共点；其中必有两条直线是异面直线；三条直线不可能在同一平面内；其中必有两条直线在同一平面内其中真命题的序号是_解析：两条直线垂直不一定相交，只有正确答案：直线和平面垂直的判定定理 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，ANPM，垂足为N. 求证：AN平面PBM.分析：要证线面垂直，根据线面垂直的判定定理需证线线垂直，已知ANPM，只需在平面PBM中再找
6、一条与PM不平行的直线与AN垂直即可证明：设圆O所在的平面为，PA，且BM，PABM.又AB为O的直径，点M为圆周上一点，AMBM.由于直线PAAMA，BM平面PAM，而AN平面PAM，BMAN.AN与PM、BM两条相交直线互相垂直故AN平面PBM.点评：判定定理需要五个条件，缺一不可，判定定理实质是把证线面垂直转化为证线线垂直问题来处理跟踪训练跟踪训练1如图，在三棱锥PABC中，已知PA平面ABC，BCAB，求证：BC平面PAB.证明：PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.又BCAB，PA平面PAB，AB平面PAB，PAABA，BC平面PAB.直线与平面所成的角 如图，在四棱锥PABCD
7、中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分别为PC、PB的中点(1)求证：PBDM；(2)求CD与平面ADMN所成的角的正弦值解析：(1)证明：N是PB的中点，PAAB，ANPB.PA平面ABCD，PAAD.又BAAD，PABAA，AD平面PAB，ADPB.又ADANA，从而PB平面ADMN.DM平面ADMN，PBDM. (2)如图，取AD的中点G，连接BG、NG，则BGCD. BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等 PB平面ADMN， BGN是BG与平面ADMN所成的角 在RtBGN中，sinBGN . 故CD与平面ADMN
8、所成角的正弦值为 . 点评：求斜线与平面所成的角要注意：一作，二证，三求三个步骤跟踪训练跟踪训练2已知：如图，MA平面ABC，RtBMC中，斜边BM5，MBC60，AB4，求MC与平面CAB所成角的正弦值解析：MA平面ABC，AC为MC在平面CAB内的射影MCA为直线MC与平面CAB所成的角又在RtMBC中，BM5，MBC60，直线和平面垂直的应用 如图：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ABC60，PA平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PAAB2.(1)证明：BC平面AMN；(2)求三棱锥NAMC的体积；(3)在线段PD上是否存在一点E，使得NM平面ACE；若存在，求出
9、PE的长，若不存在，说明理由解析：(1)证明：因为ABCD是菱形，所以ABBC.又ABC60，所以ABBCAC，又M为BC中点，所以BCAM.而PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC.又PAAMA，所以BC平面AMN.(2)因为SAMC AMCM 又PA底面ABCD，PA2，所以AN1.所以，三棱锥NAMC的体积V SAMCAN (3)存在取PD中点E，连接NE，EC，AE，因为N，E分别为PA，PD中点，所以NE綊 AD，又在菱形ABCD中，CM綊 AD，所以NE綊MC，即MCEN是平行四边形，所以，NMEC，又EC平面ACE，NM平面ACE，所以MN平面ACE，即在PD上存在一点
10、E，使得NM平面ACE，此时PE PD .跟踪训练跟踪训练3已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面为菱形，且C1CBC1CDBCD60.(1)证明：C1CBD；(2)当 的值为多少时，能使A1C平面C1BD？并证明这个结论解析：证明：(1)连接A1C1、AC，AC与BD交于点O，连接C1O，四边形ABCD为菱形，ACBD，BCCD，又C1CBC1CD，C1C为公共边，C1BCC1DC，C1BC1D.又DOOB，C1OBD，又ACBD，ACC1OO，BD平面AC1C，又C1C平面AC1C，C1CBD.(2)当 1时，能使A1C平面C1BD，证明如下：由(1)知，BD平面AC1C.A1C平面AC
11、1C，BDA1C.当 1时，四棱柱的六个面全都是菱形，同BDA1C的证法可得BC1A1C.又BDBC1B，A1C平面C1BD.1下列说法中错误的是()如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线A BC D解析：由线面垂直的判定定理可得错误答案：D2一条直线和平面所成角为，那么的取值范围是()A(0，90) B0，90C0，180 D0，180)B 1直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”这里的“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线”；“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的平面判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直，这是关键2判定线面垂直的两种方法：(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理
