数学建模与人才培养【共享精品-】

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1、 数学建模与人才培养数学建模与人才培养 浙江大学数学系杨启帆浙江大学数学系杨启帆 为什么要开设数学建模和数学实验课为什么要开设数学建模和数学实验课学校应当培养什么样的学生？学校应当培养什么样的学生？ 浙大老校长竺可桢教授曾对学生提出过这样的浙大老校长竺可桢教授曾对学生提出过这样的要求：求是创新要求：求是创新用今天的话说，就是：学习新知识，提高综合素用今天的话说，就是：学习新知识，提高综合素质与能力质与能力 新知识：新知识：数学知识、专业知识、计算机知识、数学知识、专业知识、计算机知识、外语知识、文学艺术知识等等等等外语知识、文学艺术知识等等等等 能力：能力：收集处理数据的能力、观察能力、想象收

2、集处理数据的能力、观察能力、想象能力、分析能力、逻辑推理能力、应用数学知能力、分析能力、逻辑推理能力、应用数学知识解决实际问题的能力、计算机使用与编程等识解决实际问题的能力、计算机使用与编程等能力、外语能力、写作能力、与人合作能力等。能力、外语能力、写作能力、与人合作能力等。数学建模和数学实验系列教学活动能较好数学建模和数学实验系列教学活动能较好地实现上述目标，它至少具有以下特征：地实现上述目标，它至少具有以下特征：n能培养学习兴趣（没有兴趣的学习是被动的）能培养学习兴趣（没有兴趣的学习是被动的）n数学建模课鼓励学生多动脑脑筋，（不能光老数学建模课鼓励学生多动脑脑筋，（不能光老师讲学生听，要提

3、倡让学生主动学习师讲学生听，要提倡让学生主动学习）n数学建模注重知识更新，让学生多接触前沿学数学建模注重知识更新，让学生多接触前沿学科知识，接触科研实际。科知识，接触科研实际。n数学建模为学生提供了参与科研实践的机会数学建模为学生提供了参与科研实践的机会 学习数学建模、参加数学建模实践和数学建模学习数学建模、参加数学建模实践和数学建模竞赛能使学生增长知识，得到全方位的锻炼竞赛能使学生增长知识，得到全方位的锻炼 浙江大学数学建模教学情况简介浙江大学数学建模教学情况简介（一）教材建设（教学内容选取）（一）教材建设（教学内容选取）在案例选取时要有一定的目的，如：在案例选取时要有一定的目的，如： 开拓

4、学生的视野（案例涉及面要广）开拓学生的视野（案例涉及面要广） 建模新技巧、新方法的引入建模新技巧、新方法的引入 说明某一道理等说明某一道理等尽量避免为建模而建模，避免类似方法和尽量避免为建模而建模，避免类似方法和模型的重叠，避免模型罗列。（这样做模型的重叠，避免模型罗列。（这样做可以保护和激发学生的学习积极性）可以保护和激发学生的学习积极性） 例例1 1 交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态状态亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。（引导学生培养观察能力、学会找到研究多久。（引导学生培养观察能力、学会找到研究问题的突破

5、口）问题的突破口）设想一下黄灯的作用是什么，不难看设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离离 L。这就是说，在离街口距离为。这就是说，在离街口距离为 L处处存在着一条停车线（尽管它没被画在存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能已过线的车辆，则应当保证它们仍能

6、穿过马路。穿过马路。 马路的宽度马路的宽度 D是容易测得是容易测得 的，问题的关键在的，问题的关键在 于于L的确定。为确定的确定。为确定 L，还应当将，还应当将 L划分为两段：划分为两段：L1和和L2，其中其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动后为刹车制动后车辆驶过的路程。车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过长早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也是

7、也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离。刹车距离 L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来律计算出来 （ 留作习题）留作习题）。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即的车顺利穿过马路，即T 至

8、少应当达到至少应当达到 （L+D）/v。 DL例例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为6060哩，潜水艇最哩，潜水艇最大航速为大航速为3030节而巡逻艇最大航速为节而巡逻艇最大航速为6060节，问巡逻艇应如何追赶潜节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。水艇。 （数学建模要引导学生应用数学知识去实现某种想法）（数学建模要引导学生应用数学知识去实现某种想法） 这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单

9、情形： 假设潜艇发现自己目标已暴露，立即下潜，并沿着直假设潜艇发现自己目标已暴露，立即下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方并不知道。线方向全速逃逸，逃逸方向我方并不知道。 设巡逻艇在设巡逻艇在A处发现位于处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以处的潜水艇，取极坐标，以B为极点，为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为为r=r()，见图，见图3-2。BAA1drdsd图3-2由题意，由题意， ，故，故ds=2dr图图3-2可看出，可看出， 故有故有:即即:（3.3）解为：解为：（3.4） 先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离先使自

10、己到极点的距离等于潜艇到极点的距离,然后按然后按（3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。对数螺线航行，即可追上潜艇。（用数学建模解决实际问题即用数学思想实现某种思想）（用数学建模解决实际问题即用数学思想实现某种思想）追赶方法如下：追赶方法如下：例例3 山崖高度的估算山崖高度的估算（研究问题的步步深入）（研究问题的步步深入）假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算假定你

11、能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑我有一只具有跑 表功能的计算器。表功能的计算器。方法一方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，来计算。例如， 设设t=4秒，秒，g=9.81米米/秒秒2，则可求得，则可求得h78.5米。米。 我学过微积分，我可以做我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。得更好，呵呵。 除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属属空气阻力空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻

12、力正比于石块下落的根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系速度，阻力系 数数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：为常数，因而，由牛顿第二定律可得： 令令k=K/m，解得解得 代入初始条件代入初始条件 v(0)=0，得，得c=g/k，故有，故有 再积分一次，得：再积分一次，得： 若设若设k=0.05并仍设并仍设 t=4秒，则可求秒，则可求 得得h73.6米。米。 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间反应时间 进一步深入考虑进一步深入考虑进一步深入考虑进一步深入考虑不妨设不妨设平均反应时间平均反应时间 为为0.1秒秒 ，假

13、如仍，假如仍 设设t=4秒，扣除反秒，扣除反应时间后应应时间后应 为为3.9秒，代入秒，代入 式式，求得，求得h69.9米。米。 多测几次，取平均值多测几次，取平均值再一步深入考虑再一步深入考虑再一步深入考虑再一步深入考虑代入初始条代入初始条 件件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：，得到计算山崖高度的公式： 将将e-kt用泰勒公式展开并用泰勒公式展开并 令令k 0+ ，即可，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。得出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑还应考虑回声回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间的真正时间 为为t1，声音传回来的时间记，

14、声音传回来的时间记 为为t2，还得解一个，还得解一个方程组：方程组： 这一方程组是这一方程组是非线性非线性的，求的，求解不太容易，解不太容易，为了估算崖高为了估算崖高竟要去解一个竟要去解一个非线性主程组非线性主程组似乎不合情理似乎不合情理 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次用方法二先求一次 h，令，令t2=h/340，校正，校正t，求石，求石块下落时间块下落时间 t1t-t2将将t1代入式代入式再算一次，得出再算一次，得出崖高的近似值。例如，崖高的近似值。例如， 若若h=69.9米，则米，则 t20.21秒，故秒，故 t13.69

15、秒，求得秒，求得 h62.3米。米。 例例4（最短路径）数学是一种重要工具，数学（最短路径）数学是一种重要工具，数学学得越好、基础越扎实、认识越深入学得越好、基础越扎实、认识越深入 设有一个半径为设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为的圆形湖，圆心为 O。A、B 位于湖的两侧，位于湖的两侧，AB连线过连线过O，见图。，见图。现拟从现拟从A点步行到点步行到B点，在不得进入湖中的限点，在不得进入湖中的限 制下，问怎样的路径最近。制下，问怎样的路径最近。 ABOr将湖想象成凸出地面的木桩，将湖想象成凸出地面的木桩， 在在AB间拉一根软线，当间拉一根软线，当线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象，猜测

16、线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象，猜测 可以如下得到最短路径：可以如下得到最短路径： 过过A作圆的切线切圆于作圆的切线切圆于E，过，过B作圆的切线切圆作圆的切线切圆 于于F。最短路径为由线。最短路径为由线 段段AE、弧、弧EF和线段和线段FB连接而成的连续曲线（根据对称性，连接而成的连续曲线（根据对称性，AE，弧弧EF，FB连接而成的连续曲线也是）。连接而成的连续曲线也是）。EFEF以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此，以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此，先介绍一下凸集与凸集的性质。先介绍一下凸集与凸集的性质。定义定义2.1（凸集凸集）称集合）称集合 R为

17、凸集，若为凸集，若x1、x2R及及0，1，总有总有x1+（1+）x2R。即若。即若x1、x2R，则，则x1、x2的连线必整个地落的连线必整个地落 在在R中。中。定理定理2.2（分离定理分离定理）对平面中的凸）对平面中的凸 集集R与与R外的一点外的一点K，存在直线存在直线 l , l 分离分离R与与K，即，即R与与K分别位于分别位于 l 的两侧（注：的两侧（注：对一般的凸对一般的凸 集集R与与R外的一点外的一点K，则存在超平面分，则存在超平面分 离离R与与K），见图。），见图。klR下面证明猜想下面证明猜想猜测证明如下：猜测证明如下：（方法一）（方法一）显然，显然， 由由AE、EF、FB及及AE

18、，EF，FB围成围成的区域的区域 R是一凸集。利用是一凸集。利用分离定理分离定理易证最短径不可能经过易证最短径不可能经过R外的点，若不然，设外的点，若不然，设 为最短路径，为最短路径，过过R外的一点外的一点M，则，则必存在直必存在直 线线l分离分离M与与R，由于路径，由于路径是连续曲线，由是连续曲线，由A沿沿到到M，必交，必交l于于M1，由，由M沿沿到到B又必交又必交l于于M2。这样，直线。这样，直线 段段M1M2的长度必小于路的长度必小于路 径径M1MM2的长度，与的长度，与是是A到到B的的最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集R内。内。

19、不妨设路径经湖的上方到达不妨设路径经湖的上方到达B点，则弧点，则弧EF必在路径必在路径F上，又上，又直线段直线段AE是由是由A至至E的最短路径，直线的最短路径，直线FB是由是由F到到B的最短的最短路径，猜测得证。路径，猜测得证。ABOrEFEFM1M2Ml还可用还可用微积分微积分方法求弧长，根据计算证方法求弧长，根据计算证明满足限止条件的其他连续曲线必具有明满足限止条件的其他连续曲线必具有更大的长度；此外，本猜测也可用更大的长度；此外，本猜测也可用平面平面几何几何知识加以证明等。知识加以证明等。 根据猜测不难看出，根据猜测不难看出， 例例5中的条件可以大大放中的条件可以大大放松，可以不必松，可

20、以不必 设设AB过圆心，甚至可不必设湖过圆心，甚至可不必设湖是圆形的。例如对是圆形的。例如对 下图，我们可断定由下图，我们可断定由A至至B的最短路径必的最短路径必 为为l1与与l2之一，其证明也不难类之一，其证明也不难类似给出。似给出。 ABl1l2D到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中，到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中，其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间中去。中去。1973年，年，J.W.Craggs证明了以上结果：证明了以上结果：若可行区域的边界是光滑曲面。则最短路径必由下列弧组若可行区域的边界是光滑曲面。则最短路径必由下列弧组成，它们或者

21、是空间中的自然最短曲线，或者是可行区域成，它们或者是空间中的自然最短曲线，或者是可行区域的边界弧。而且，组成最短路径的各段弧在连接点处必定的边界弧。而且，组成最短路径的各段弧在连接点处必定相切。相切。（二）在模型讲解中介绍建模方法与技巧（二）在模型讲解中介绍建模方法与技巧（初等方法）经验公式的建立、量纲分析（初等方法）经验公式的建立、量纲分析法建模、冲量分析、比例关系的利用等法建模、冲量分析、比例关系的利用等（微分方程方法建模）房室系统方法、集（微分方程方法建模）房室系统方法、集中参数法与分布参数法建模、工程师原中参数法与分布参数法建模、工程师原则、统计筹算率等则、统计筹算率等（逻辑模型）公理

22、化方法、奇偶性校验、（逻辑模型）公理化方法、奇偶性校验、对称性利用等对称性利用等例例5（希尔密码）（希尔密码） 目的：改变字母出现的频率目的：改变字母出现的频率 工具：应用矩阵乘法工具：应用矩阵乘法 困难：逆变换的实现有困难困难：逆变换的实现有困难 解决办法：以逆元素乘法代替除法（需解决办法：以逆元素乘法代替除法（需 要附一些条件）。使学生认识到有时要创要附一些条件）。使学生认识到有时要创造性地运用知识和技能。造性地运用知识和技能。例例6 从从p-p模型到一般双种群系统模型到模型到一般双种群系统模型到无圈定理（统计筹算率无圈定理（统计筹算率-工程师原则工程师原则-生态生态系统的三种极本类型系统

23、的三种极本类型-平衡点稳定性研究平衡点稳定性研究一般的双种群系统一般的双种群系统 仍用仍用x1(t)和和x2(t)记记t时刻的种群量（也可以是种群密度），时刻的种群量（也可以是种群密度），设设Ki为种群为种群i的净相对增长率。的净相对增长率。 Ki随种群不同而不同，同时也随系统状态的不同而不同，随种群不同而不同，同时也随系统状态的不同而不同，即即Ki应为应为x1、x2的函数。的函数。Ki究竟是一个怎样的函数，我们没有究竟是一个怎样的函数，我们没有更多的信息。不妨再次采用一下工程师们的原则，采用线性更多的信息。不妨再次采用一下工程师们的原则，采用线性化方法。这样，得到下面的微分方程组：化方法。这

24、样，得到下面的微分方程组： （3.33）不仅可以用来描述捕食系统。也可以用来描述相）不仅可以用来描述捕食系统。也可以用来描述相互间存在其他关系的种群系统。互间存在其他关系的种群系统。（3.33）（3.33）式的一些说明）式的一些说明 式中式中a1、b2为本种群的亲疏系数，为本种群的亲疏系数，a2、b1为两种群间的为两种群间的交叉亲疏系数。交叉亲疏系数。a2b10时，两种群间存在着相互影响，此时时，两种群间存在着相互影响，此时又可分为以下几类情况：又可分为以下几类情况： （i）a20，b10，共栖系统。，共栖系统。（ii）a20（ 或或a20，b10 ），捕食系统。），捕食系统。（iii）a20

25、，b10可推出可推出 0的置换矩阵的置换矩阵P步步2 确定确定 步步3 取取 ，用，用 代替代替步步4 若若 =0，停；否则，返回步，停；否则，返回步1。例例2. 2. 为方便起见，我们来分解一个元素均为非负整数的为方便起见，我们来分解一个元素均为非负整数的3阶双随机矩阵，阶双随机矩阵，（由（由Birkhoff定理，定理，r5）解：取解：取 ，=min 1, 3, 3 =1分解成分解成，再取，再取 因因min 5, 5, 3 = 3，又有，又有，取，取 于是又有于是又有 易得分解结果为：易得分解结果为：尚需解决的问题是如何求尚需解决的问题是如何求P，使得，使得Pij0必有必有 。读者不难发现，

26、此问。读者不难发现，此问题可以通过求解一个两分图上的最大流（或最大匹配）来实现，计算量题可以通过求解一个两分图上的最大流（或最大匹配）来实现，计算量为为O(n4)，是多项式时间可解的。具体方法为：作一两分图，若，是多项式时间可解的。具体方法为：作一两分图，若 ，则作边（则作边（i, j），令边容量为），令边容量为1，这样，可作出，这样，可作出P的充要条件是该最大流问的充要条件是该最大流问题的最大流量为题的最大流量为n。对例。对例9.33，n=3。由于所有。由于所有 ，先取，先取 ， P1为为 于是又可求得于是又可求得，相应的两分图为：，相应的两分图为： 又可得又可得 ，如此下去，直到作不出，如

27、此下去，直到作不出P为至，为至，由于由于 的特殊性质及的特殊性质及Birkhoff定理，上述分解必能在不超过定理，上述分解必能在不超过r= (n1)2 + 1步内终止。步内终止。上述开关设计方法要求在通讯卫星上设置上述开关设计方法要求在通讯卫星上设置(n1)2 + 1种不同的开关模式种不同的开关模式（即（即Pk），当），当n稍大时，稍大时，(n1)2 + 1仍显得太大而使得使用时不便。例如，仍显得太大而使得使用时不便。例如，当当n=41时，时，(n1)2 + 1=1601。为实用方便，人们研究了限止开关模式个。为实用方便，人们研究了限止开关模式个数的相应问题。数的相应问题。若要求若要求rn，即

28、要求通讯卫星上至多设置，即要求通讯卫星上至多设置n种开关模式，则问题化为令种开关模式，则问题化为令rn，求不超过，求不超过n个置换矩阵个置换矩阵Pk及及k，使之满足：，使之满足： min S.t 为了使任意一对发射法与接收站之间的传送均为可能实现的，自然应要求为了使任意一对发射法与接收站之间的传送均为可能实现的，自然应要求Pk满足满足（1） （2） （右面的矩阵有（右面的矩阵有n2个值为个值为1的分量，每一的分量，每一Pk 恰有恰有n个个1分量）故分量）故r=n。容易看出，（容易看出，（1）隐含着）隐含着T的每一元素只能被唯一的的每一元素只能被唯一的P复盖，即复盖，即T的元素在分的元素在分解中

29、是不可分割的，这当然是一个好性质，使实际操作时较为方便，但可解中是不可分割的，这当然是一个好性质，使实际操作时较为方便，但可惜的是对一般的双随机矩阵，分解很可能无解。惜的是对一般的双随机矩阵，分解很可能无解。例例3 3 若取若取， ， （注意：（注意：T已是双随机矩阵，行和列和均为已是双随机矩阵，行和列和均为10） 则min S.t 的解为的解为1=3，2=4，3=5。（大于（大于10）而）而 但等号经常并不成立。但等号经常并不成立。1985年，年，FRendel证明，在给定满足（证明，在给定满足（2）的置）的置换矩阵换矩阵P1,Pn后，求解问题（后，求解问题（1）是）是NP难的，从而不可能存

30、在多项式难的，从而不可能存在多项式时间算法，除非时间算法，除非P=NP。现要求现要求r2n一种自然而方便的开关设置为引入两组各有一种自然而方便的开关设置为引入两组各有n个开关模式的置换矩阵个开关模式的置换矩阵P1,Pn，Q1,Qn，满足下面的（，满足下面的（5.3)式：式：例如，当例如，当n=3时，可令：时，可令：（注：这种设置方法保持了其内在的对称性，不失为一种明智的做法。）（注：这种设置方法保持了其内在的对称性，不失为一种明智的做法。）现在，我们来分解例现在，我们来分解例9.33中的双随机矩阵中的双随机矩阵 ，令，令 =，得方程组，得方程组求出各对角线与反对角线上的三个元素之和，并作一些简

31、单的消去运算；求出各对角线与反对角线上的三个元素之和，并作一些简单的消去运算；将矩阵的所有元素相加，可得下面的方程组：将矩阵的所有元素相加，可得下面的方程组：注意到（注意到（5.3），易证空间），易证空间 的维数为的维数为 5，故故 之一可任取，（稍加注意即可保持非负性），之一可任取，（稍加注意即可保持非负性），例如，令例如，令3=0，求得，求得 ，故有，故有读者不难验证，上述方法可推广到读者不难验证，上述方法可推广到n是奇数的一般情况。事实，由各对角线是奇数的一般情况。事实，由各对角线元素之和可导出元素之和可导出n1个方程，由各反对角线元素之和又可导出个方程，由各反对角线元素之和又可导出n1

32、个方程，个方程，加上矩阵所有元素之和导出的等式，共计可导出加上矩阵所有元素之和导出的等式，共计可导出2 n1个方程，并易知它个方程，并易知它们是独立的。另一方面空间们是独立的。另一方面空间 的维数恰为的维数恰为2 n1，故，故 之一可任取，而通过方程组解得所有的之一可任取，而通过方程组解得所有的 ，（只须注意保持其非负性即可）（只须注意保持其非负性即可）但当但当n为偶数时，情况就不大相同了。让我们先来观察一下为偶数时，情况就不大相同了。让我们先来观察一下n=4的情况。的情况。当当n=4时，时，易见，易见， 具有非常特殊的结构，一般的偶数阶双随机矩具有非常特殊的结构，一般的偶数阶双随机矩阵，即使

33、其元素是非负整数，也无法用阵，即使其元素是非负整数，也无法用Pk、Qk来分解。来分解。当当 具有上述结构时，能否用具有上述结构时，能否用Pk和和Qk来分解呢？易见，由各对角线元素之来分解呢？易见，由各对角线元素之和可导出：和可导出：另外，由反对角线元素之和又可导出另外，由反对角线元素之和又可导出上述方程中只有上述方程中只有6个是独立的，且已不可能再得出新的独立方程，（读者可个是独立的，且已不可能再得出新的独立方程，（读者可自行分析之）故可选取其中自行分析之）故可选取其中2个的值，进而可解出其余。例如，若令个的值，进而可解出其余。例如，若令 4= 3=0，可得，可得 2=1， 1=0，进而可求得

34、，进而可求得 1=2， 4=3， 3=3及及 2=4， 已达到下界。已达到下界。易见，易见，P1 + P3 = Q2 + Q4，P2 + P4 = Q1 + Q3，故空间，故空间 的维的维数为数为6，与上面的分析是一致的。，与上面的分析是一致的。读者可将上述讨论推广到读者可将上述讨论推广到n为一般偶数的情况，分析方法是完全类似的。为一般偶数的情况，分析方法是完全类似的。易见，易见， 具有非常特殊的结构，一般的偶数阶双随机矩具有非常特殊的结构，一般的偶数阶双随机矩阵，即使其元素是非负整数，也无法用阵，即使其元素是非负整数，也无法用Pk、Qk来分解。来分解。当当 具有上述结构时，能否用具有上述结构

35、时，能否用Pk和和Qk来分解呢？易见，由各对角线元素之来分解呢？易见，由各对角线元素之和可导出：和可导出：另外，由反对角线元素之和又可导出另外，由反对角线元素之和又可导出上述方程中只有上述方程中只有6个是独立的，且已不可能再得出新的独立方程，（读者可个是独立的，且已不可能再得出新的独立方程，（读者可自行分析之）故可选取其中自行分析之）故可选取其中2个的值，进而可解出其余。例如，若令个的值，进而可解出其余。例如，若令 4= 3=0，可得，可得 2=1， 1=0，进而可求得，进而可求得 1=2， 4=3， 3=3及及 2=4， 已达到下界。已达到下界。易见，易见，P1 + P3 = Q2 + Q4

36、，P2 + P4 = Q1 + Q3，故空间，故空间 的维的维数为数为6，与上面的分析是一致的。，与上面的分析是一致的。读者可将上述讨论推广到读者可将上述讨论推广到n为一般偶数的情况，分析方法是完全类似的。为一般偶数的情况，分析方法是完全类似的。当当n是偶数时，我们虽无法将一般的双随机矩阵分解为是偶数时，我们虽无法将一般的双随机矩阵分解为Pk 、Qk的非负组合，的非负组合，但上述讨论仍然是十分有意义的。首先，要求完成的任务矩阵是但上述讨论仍然是十分有意义的。首先，要求完成的任务矩阵是T，在将，在将T转换成不小于它的双随机矩阵时我们可尽量使其具有上述的特殊结构（有转换成不小于它的双随机矩阵时我们

37、可尽量使其具有上述的特殊结构（有兴趣的读者可自行研究这一问题），只要能做到这一点，即可给出一个达兴趣的读者可自行研究这一问题），只要能做到这一点，即可给出一个达到下界的开关模式的指派方式。其次，即使这样的努力没有成功，也容易到下界的开关模式的指派方式。其次，即使这样的努力没有成功，也容易给出一个具有上述特殊结构给出一个具有上述特殊结构 矩阵，矩阵，并使并使 尽可能地小，即给出一种开关指派的近似最佳方尽可能地小，即给出一种开关指派的近似最佳方法，由此可设计出效果较好的近似算法。法，由此可设计出效果较好的近似算法。由于技术水平的提高，目前通讯卫星传送信息已允许一个发射站同时向多由于技术水平的提高，

38、目前通讯卫星传送信息已允许一个发射站同时向多个接收站发送信息，当然，同时发送的信息条数具有某一上限，例如上限个接收站发送信息，当然，同时发送的信息条数具有某一上限，例如上限为为v。1987年，年，J.L.Lewandowski和和C.L.Liu研究了如下更一般的问题：研究了如下更一般的问题：给定一正整数给定一正整数v，（，（v为通讯卫星传送容量的总限止），求开关模式为通讯卫星传送容量的总限止），求开关模式M：= ：= ; (0, 1) | , i= 1, , m; ,i= 1, , n, 的设计，要求所用的开关模式总数量的设计，要求所用的开关模式总数量r尽可能小，且尽可能小，且有解，其中有解，

39、其中T为信息传送量矩阵（需满足一定要求），为信息传送量矩阵（需满足一定要求），ak为开关模式为开关模式Mk的使的使用时间。他们设计了一个求解此问题的用时间。他们设计了一个求解此问题的O(n5)算法，有兴趣的读者可直接阅算法，有兴趣的读者可直接阅读他们的论文。读他们的论文。 小小 结：本题有许多问题值得研究，例如：结：本题有许多问题值得研究，例如：问题问题1：开关数最小（至少多少只？）：开关数最小（至少多少只？）问题问题2：化双随机矩阵的方法：化双随机矩阵的方法问题问题3：双随机矩阵空间的维数：双随机矩阵空间的维数问题问题4：怎样减少开关数量（限制开关数）：怎样减少开关数量（限制开关数） n只、

40、只、2n只，只，.问题问题5：分解方法（开关数少、使用时间短）：分解方法（开关数少、使用时间短） （1）开关确定后的分解方法）开关确定后的分解方法 （2）使卫星利用率最高）使卫星利用率最高-NP难难近似方法近似方法问题问题6：推广问题的研究：推广问题的研究 （例（例8）信息的度量与应用信息的度量与应用 怎么度量信息怎么度量信息首先分析一下问题的认识过程首先分析一下问题的认识过程1.对一问题毫无了解，对它的认识是不确定的对一问题毫无了解，对它的认识是不确定的2. 通过各种途径获得信息，逐渐消除不确定性通过各种途径获得信息，逐渐消除不确定性 3. 对这一问题非常的了解，不确定性很小对这一问题非常的

41、了解，不确定性很小黑箱黑箱不确定度不确定度A灰箱灰箱不确定度不确定度B白箱白箱不确定度不确定度C信息信息I信息信息II对于系统，可以利用守恒对于系统，可以利用守恒关系有关系有 A+I=B，得，得I=B-A。可否用消除不确定性的多少来度量信息！可否用消除不确定性的多少来度量信息！ 显然，获取可能性越小的事件已经发生所得到的显然，获取可能性越小的事件已经发生所得到的信息量就越大信息量就越大 基于前面的观点，美国贝尔实验室的学者香农基于前面的观点，美国贝尔实验室的学者香农（Shannon）应用）应用概率论知识和逻辑方法概率论知识和逻辑方法推导出了信息推导出了信息量的计算公式量的计算公式 In his

42、 words I just wondered how things were put together.Claude Elwood Shannon (April 30, 1916 - February 24, 2001) has been called the father of information theory. Shannon提出的四条提出的四条基本性质基本性质 （不妨称它们为公理（不妨称它们为公理 ）公理公理1信息量是该事件发生概率的连续函数信息量是该事件发生概率的连续函数 公理公理2如果事件如果事件A发生必有事件发生必有事件B发生，则得知事件发生，则得知事件A发生发生的信息量大于或

43、等于得知事件的信息量大于或等于得知事件B发生的信息量。发生的信息量。 公理公理3如果事件如果事件A和事件和事件B的发生是相互独立的，则获知的发生是相互独立的，则获知A、B事件将同时发生的信息量应为单独获知两事件事件将同时发生的信息量应为单独获知两事件发生的信息量之和。发生的信息量之和。 公理公理4任何信息的信息量均是有限的。任何信息的信息量均是有限的。 将某事件发生的信息记为将某事件发生的信息记为M，该事件发生的概率记为，该事件发生的概率记为p，记，记M的信息量为的信息量为I（M），香农用逻辑推理得出），香农用逻辑推理得出I(M)=Clogap 。 上述公理怎样推出信息量的计算公式呢上述公理怎

44、样推出信息量的计算公式呢平均信息量（熵）问题平均信息量（熵）问题 设某一实验可能有设某一实验可能有N种结果，它们出现的概率分别为种结果，它们出现的概率分别为p1,pN,则则事先告诉你将出现第事先告诉你将出现第i种结果的信息，其信息量为种结果的信息，其信息量为log2pi，而该，而该实验的不确定性则可用这组信息的平均信息量（或熵）实验的不确定性则可用这组信息的平均信息量（或熵） 来表示来表示例例7 投掷一枚骼子的结果有六种，即出现投掷一枚骼子的结果有六种，即出现16点、出现每点、出现每 种情况的概率均为种情况的概率均为1/6，故熵，故熵 H=log262.585（比特）。（比特）。 投掷一枚硬币

45、的结果为正、反面两种，出现的概率均为投掷一枚硬币的结果为正、反面两种，出现的概率均为1/2，故熵，故熵 H=log22=1（比特）。（比特）。 向石块上猛摔一只鸡蛋，其结果必然是将鸡蛋摔破，出向石块上猛摔一只鸡蛋，其结果必然是将鸡蛋摔破，出现的概率为现的概率为1，故熵，故熵H=log21=0 从例子可以看出，熵实质上反映的是问题的从例子可以看出，熵实质上反映的是问题的“模糊度模糊度”，熵为，熵为零时问题是完全清楚的，熵越大则问题的模糊程度也越大零时问题是完全清楚的，熵越大则问题的模糊程度也越大 例例8 有有12个外表相同的硬币，已知其中有一个是假的，可能轻个外表相同的硬币，已知其中有一个是假的

46、，可能轻些也可能重些。现要求用没有砝码的天平在最少次数中找出假些也可能重些。现要求用没有砝码的天平在最少次数中找出假币，问应当怎样称法。币，问应当怎样称法。 解解 假币可轻可重，每枚硬币都可能是假币。故此问题共有假币可轻可重，每枚硬币都可能是假币。故此问题共有 24种情况，每种情况的概率为种情况，每种情况的概率为1/24。所以此问题的熵为。所以此问题的熵为log224。 确定最少次数的下界确定最少次数的下界实验最多可能出现实验最多可能出现三种结果三种结果 ，根据定理根据定理11.3，这种实验在可，这种实验在可能出现的各种事件具有相等的概率时，所提供的平均信息量能出现的各种事件具有相等的概率时，

47、所提供的平均信息量最大，故实验提供的平均信息量不超过最大，故实验提供的平均信息量不超过log23。 设最少需称设最少需称k次，则这次，则这k次实验提供的总信息量次实验提供的总信息量 不超过不超过klog23=log23k，又问题的模糊度（熵）为又问题的模糊度（熵）为log224 必要条件必要条件: log23klog224 ，得，得 k3。（问题）怎样设计最少次数的乘法？（问题）怎样设计最少次数的乘法？（四）课堂教学、课外实践、组织学生参加建模（四）课堂教学、课外实践、组织学生参加建模竞赛相结合，通过系列教学活动培养创新人才竞赛相结合，通过系列教学活动培养创新人才n课堂教学：开拓思路、抛砖引玉

48、课堂教学：开拓思路、抛砖引玉n课外实践、参加竞赛：实践出真知，在课外实践、参加竞赛：实践出真知，在实践中经受锻炼、增长才干。实践中经受锻炼、增长才干。（我校数学建模教改和教学初见成效）（我校数学建模教改和教学初见成效）（教改）（教改）（1）2001年获国家级教学成果奖年获国家级教学成果奖（2）2004年入选首批国家级精品课程年入选首批国家级精品课程（3）出版国家级十五规划教材）出版国家级十五规划教材1本、教育科学本、教育科学十五国家级规划项目成果十五国家级规划项目成果2本、学生优秀论本、学生优秀论文点平等其他书籍文点平等其他书籍3本。在编十一五国家级本。在编十一五国家级规划教材规划教材2本。本

49、。（4）完成和在建国家级教改项目）完成和在建国家级教改项目3项（在建国项（在建国家级创新教学团队项目）家级创新教学团队项目）（人才培养效益）（人才培养效益） （1）每年有数十名学生被推荐出国深造，）每年有数十名学生被推荐出国深造，更多的人被保送或考取研究生，其中不少人更多的人被保送或考取研究生，其中不少人已成为学科带头人或科研骨干。已成为学科带头人或科研骨干。（2）许多学生在国内外大学生数学建模竞）许多学生在国内外大学生数学建模竞赛中获奖，激发了学生的创新意愿赛中获奖，激发了学生的创新意愿 1999年以来的获奖情况年以来的获奖情况美国大学生数学建模竞赛美国大学生数学建模竞赛 特等奖（兼特等奖（

50、兼INFORMS奖）奖）2项项 一等奖一等奖 28 项，项， 二等奖二等奖 22 项项全国竞赛全国竞赛 一等奖一等奖 33项，项， 二等奖二等奖47 项项全国邀请赛全国邀请赛 特等奖多项（未作统计）特等奖多项（未作统计） （五）将数学建模思想融入数学主干课程、（五）将数学建模思想融入数学主干课程、将各种数学知识与技能引入数学建模将各种数学知识与技能引入数学建模 培养人才是全体教师的共同责任，不可能由培养人才是全体教师的共同责任，不可能由少数教师、一两门课程来完成。任何教师的知少数教师、一两门课程来完成。任何教师的知识面都是有限的，不可能对学生进行全方位的识面都是有限的，不可能对学生进行全方位的

51、培养。我校数学建模方法与实践已被立项为国培养。我校数学建模方法与实践已被立项为国家级创新教学团队，下一步我们将凝聚浙大数家级创新教学团队，下一步我们将凝聚浙大数学人才培养基地数学建模、优化控制、概率统学人才培养基地数学建模、优化控制、概率统计和金融数学四个方向的骨干教师开展开展进计和金融数学四个方向的骨干教师开展开展进一步教改，探索人才培养的新途径。一步教改，探索人才培养的新途径。n总之，人类对自然界的认识过程是： 观察-分析思考-猜测-求证-应用- 在校学生既应当努力学习前人积累下来的知识，又应当去探求新知识，为后人开辟新天地，任重而道远。祝同学们在四年的大学学习中打好基础，将来能更好地报效

52、祖国！ The End 谢谢观看！谢谢观看！8A%m3wYhK2vXgJ1uWfI0tVeH+sUdG-rTcE)qSbD(pRaC*oQ9B&nP8A%mO7z$kN6y!jM5x#iL4wZhK3vYgJ2uXfI1tWeH+sVdG-rUcF)qTbE(pSaD*oR9C&nQ8B%mO7A$lN6z!kM5y#jL4xZiK3wYhJ2uXgI1tWfH0sVeG+rUdF-qTcE)pSbD(oR9C*nQ8B&mP7A%lO6z$kN5y!jM4x#iL3wYhK2vXgJ1uWfI0tVeH+sUdG-rTcE)qSbD(pRaC*oQ9B&nP8A%mO7z$lN6y!jM5x

53、#iL4wZhK3vYgJ2uXfI1tWeH+sVdG-rUcF)qTbE(pSaD*oR9C&nQ8B%mO7A$lN6z!kM5y#jL4xZiK3wYhJ2vXgI1tWfH0sVeG+rUdF-qTcE)pSbD(oR9C*nQ8B&mP7A%lO6z$kN5y!jM4x#iL3wYhK2vXgJ1uWfI0tVeH+sUdG-rTcF)qSbD(pRaC*oQ9B&nP8A%mO7z$lN6y!jM5x#iL4wZhK3vYgJ2uXfI1tWeH0sVdG-rUcF)qTbE(pSaD*oR9C&nQ8B%mO7A$lN6z!kM5y#jL4xZiK3wYhJ2vXgI1tWfH

54、0sVeG+rUdF-qTcE)pSbD(oRaC*nQ8B&mP7A%lO6z$kN5y!jM4x#iL3wYhK2vXgJ1uWfI0tVeH+sUdG-rTcF)qSbD(pRaC*oQ9B&nP8A%mO7z$lN6y!jM5x#iL4wZhK3vYgJ2uXfI1tWeH0sVdG-rUcF)qTbE(pSaD*oR9C&nQ8B%mP7A$lN6z!kM5y#jL4xZiK3wYhJ2vXgI1tWfH0sVeG+rUdF-qTcE)pSbD(oRaC*nQ8B&mP7A%lO6z$kN5y!jM4x#iL3wZhK2vXgJ1uWfI0tVeH+sUdG-rTcF)qSbD(pR

55、aC*oQ9B&nP8A%mO7z$lN6y!kM5x#iL4wZhK3vYgJ2uXfI1tWeH0sVdG-rUcF)qTbE(pSaD*oR9C&nQ8B%mP7A$lN6z!kM5y#jL4xZiK3wYhJ2vXgI1uWfH0sVeG+rUdF-qTcE)pSbD(oRaC*nQ8sUdG-rTcF)qSbE(pRaD*oQ9B&nP8A%mO7z$lN6y!kM5x#jL4wZiK3vYgJ2uXfI1tWeH0sVdG+rUcF-qTbE(pSaD*oR9C&nQ8B%mP7A$lO6z!kN5y#jL4xZiK3wYhJ2vXgI1uWfH0tVeG+rUdF-qTcE)pS

56、bD(oRaC*nQ9B&mP8A%lO6z$kN5y!jM4x#iL3wZhK2vYgJ1uXfI0tVeH+sUdG-rTcF)qSbE(pRaD*oQ9B&nP8A%mO7z$lN6y!kM5x#jL4wZiK3vYgJ2uXfI1tWeH0sVdG+rUcF-qTbE(pSaD*oR9C&nQ8B%mP7A$lO6z!kN5y#jL4xZiK3wYhJ2vXgI1uWfH0tVeG+sUdF-qTcE)pSbD(oRaC*nQ9B&mP8A%lO6z$kN5y!jM4x#iL3wZhK2vYgJ1uXfI0tVeH+sUdG-rTcF)qSbE(pRaD*oQ9C&nP8A%mO7z$

57、lN6y!kM5x#jL4wZiK3vYgJ2uXfI1tWeH0sVdG+rUcF-qTbE)pSaD*oR9C&nQ8B%mP7A$lO6z!kN5y#jL4xZiK3wYhJ2vXgI1uWfH0tVeG+sUdF-qTcE)pSbD(oRaC*nQ9B&mP8A%lO7z$kN5y!jM4x#iL3wZhK2vYgJ1uXfI0tVeH+sUdG-rTcF)qSbE(pRaD*oQ9C&nP8A%mO7z$lN6y!kM5x#jL4wZiK3vYhJ2uXfI1tWeH0sVdG+rUcF-qTbE)pSaD*oR9C&nQ8B%mP7A$lO6z!kN5y#jM4xZiK3wYhJ2

58、vXgI1uWfH0tVeG+sUdF-qTcE)pSbD(oRaC*nQ9B&mP8A%lO7z$kN5y!jM4x#iL3wZhK2vYgJ1uXfI0tWeH+sUdG-rTcF)qSbE(pRaD*oQ9C&nP8A%mO7z$lN6y!kM5x#jL4wZiK3vYhJ2uXfI1tWeH0sVdG+rUcF-qTbE)pSaD(oR9C&nQ8B%mP7A$lO6YgJ2uXfI1tWeH0sVdG+rUcF-qTbE)pSaD*oR9C&nQ8B%mP7A$lO6z!kN5y#jM4xZiK3wYhJ2vXgI1uWfH0tVeG+sUdF-qTcE)pSbD(oRaC*nQ9B

59、&mP8A%lO7z$kN5y!jM4x#iL3wZhK2vYgJ1uXfI0tWeH+sUdG-rTcF)qSbE(pRaD*oQ9C&nP8A%mO7z$lN6y!kM5x#jL4wZiK3vYhJ2uXfI1tWeH0sVdG+rUcF-qTbE)pSaD*oR9C&nQ8B%mP7A$lO6z!kN5y#jM4xZiK3wYhJ2vXgI1uWfH0tVeG+sUdF-rTcE)pSbD(oRaC*nQ9B&mP8A%lO7z$kN5y!jM4x#iL3wZhK2vYgJ1uXfI0tWeH+sUdG-rTcF)qSbE(pRaD*oQ9C&nP8B%mO7z$lN6y!kM5x#jL

60、4wZiK3vYhJ2uXfI1tWeH0sVdG+rUcF-qTbE)pSaD(oR9C&nQ8B%mP7A$lO6z!kN5y#jM4xZiK3wYhJ2vXgI1uWfH0tVeG+sUdF-rTcE)pSbD(oRaC*nQ9B&mP8A%lO7z$kN6y!jM4x#iL3wZhK2vYgJ1uXfI0tWeH+sUdG-rTcF)qSbE(pRaD*oQ9C&nP8B%mO7z$lN6y!kM5x#jL4wZiK3vYhJ2uXgI1tWeH0sVdG+rUcF-qTbE)pSaD(oR9C&nQ8B%mP7A$lO6z!kN5y#jM4xZiL3wYhJ2vXgI1uWfH0tV

61、eG+sUdF-rTcE)pSbD(oRaC*nQ9B&mP8A%lO7z$kN6y!jM4x#iL3wZhK2vYgJ1uXfI0tWeH+sVdG-rTcF)q8A%lO7z$kN6y!jM4x#iL3wZhK2vYgJ1uXfI0tWeH+sUdG-rTcF)qSbE(pRaD*oQ9C&nP8B%mO7z$lN6y!kM5x#jL4wZiK3vYhJ2uXfI1tWeH0sVdG+rUcF-qTbE)pSaD(oR9C&nQ8B%mP7A$lO6z!kN5y#jM4xZiL3wYhJ2vXgI1uWfH0tVeG+sUdF-rTc-qTbE)pSaD(oR9C&nQ8B%mP7A$lO

62、6z!kN5y#jM4xZiK3wYhJ2vXgI1uWfH0tVeG+sUdF-rTcE)pSbD(oRaC*nQ9B&mP8A%lO7z$kN5y!jM4x#iL3wZhK2vYgJ1uXfI0nQ8B%mP7A$lO6z!kN5y#jM4xZiK3wYhJ2vXgI1uWfH0tVeG+sUdF-rTcE)pSbD(oRaC*nQ9B&mP8A%lO7z$kN5y!jM4x#iL3wZhK2vYgJ1uXfI0tWeH+sUdG-rTcF)qSbE(pRaD*oQ9C&nP8B%mO7z$lN6y!kM5x#jL4wZiK3vYhJ2uXfI1tWeH0sVdG+rUcF-qTbE)pS

63、aD(oR9C&nQ8B%mP7A$lO6z!kN5y#jM4xZiK3wYhJ2vXgI1uWfH0tVeG+sUdF-rTcE)pSbD(oRaC*nQ9B&mP8A%lO7z$kN6y!jM4x#iL3wZhK2vYgJ1uXfI0tWeH+sUdG-rTcF)qSbE(pRaD*oQ9C&nP8B%mO7z$lN6y!kM5x#jL4wZiK3vYhJ2uXgI1tWeH0sVdG+rUcF-qTbE)pSaD(oR9C&nQ8B%mP7A$lO6z!kN5y#jM4xZiL3wYhJ2vXgI1uWfH0tVeG+sUdF-rTcE)pSbD(oRaC*nQ9B&mP8A%lO7z$

64、kN6y!jM4x#9C&nP8B%mO7A$lN6z!kM5x#jL4wZiK3vYhJ2uXgI1tWfH0sVdG+rUcF-qTbE)pSaD(oR9C*nQ8B&mP7A$lO6z!kN5y#jM4xZiL3wYhK2vXgI1uWfH0tVeG+sUdF-rTcE)qSbD(pRaC*nQ9B&mP8A%lO7z$kN6y!jM5x#iL4wZhK2vYgJ1uXfI0tWeH+sVdG-rUcF)qSbE(pRaD*oQ9C&nP8B%mO7A$lN6z!kM5x#jL4wZiK3vYhJ2uXgI1tWfH0sVeG+rUcF-qTbE)pSaD(oR9C*nQ8B&mP7A$

65、lO6z!kN5y#jM4xZiL3wYhK2vXgJ1uWfH0tVeG+sUdF-rTcE)qSbD(pRaC*nQ9B&mP8A%lO7z$kN6y!jM5x#iL4wZhK2vYgJ1uXfI0tWeH+sVdG-rUcF)qTbE(pRaD*oQ9C&nP8B%mO7A$lN6z!kM5x#jL4wZiK3vYhJ2uXgI1tWfH0sVeG+rUcF-qTbE)pSaD(oR9C*nQ8B&mP7A%lO6z!kN5y#jM4xZiL3wYhK2UcF-qTbE)pSaD(oR9C*nQ8B&mP7A$lO6z!kN5y#jM4xZiL3wYhK2vXgJ1uWfH0tVeG+s

66、UdF-rTcE)qSbD(pRaC*nQ9B&mP8A%lO7z$kN6y!jM5x#iL4wZhK2vYgJ1uXfI0tWeH+sVdG-rUcF)qTbE(pRaD*oQ9C&nP8B%mO7A$lN6z!kM5x#jL4wZiK3vYhJ2uXgI1tWfH0sVeG+rUcF-qTbE)pSaD(oR9C*nQ8B&mP7ZiK3vYhJ2uXgI1tWfH0sVdG+rUcF-qTbE)pSaD(oR9C*nQ8B&mP7A$lO6z!kN5y#jM4xZiL3wYhK2vXgJ1uWfH0tVeG+sUdF-rTcE)qSbD(pRaC*nQ9B&mP8A%lO7z$kN6y!

67、jM5x#iL4wZhK2vYgJ1uXfI0tWeH+sVdG-rUcF)qSbE(pRaD*oQ9C&nP8B%mO7A$lN6z!kM5x#jL4wZiK3vYhJ2uXgI1tWfH0sVeG+rUcF-qTbE)pSaD(oR9C*nQ8B&mP7A$lO6z!kN5y#jM4xZiL3wYhK2vXgJ1uWfH0tVeG+sUdF-rTcE)qSbD(pRaC*oQ9B&mP8A%lO7z$kN6y!jM5x#iL4wZhK2vYgJ1uXfI0tWeH+sVdG-rUcF)qTbE(pRaD*oQ9C&nP8B%mO7A$lN6z!kM5x#jL4wZiK3vYhJ2uXgI1tWfH0sVeG+rUcF-qTbE)pSaD(oR9C*nQ8B&mP7A%lO6z!kN5y#jM4xZiL3wYhK2vXgJ1TbE)pSaD(oR9C*nQ8B&mP7A$lO6z!kN5y#jM4xZiL3wYhK2vXgJ1uWfH0tVeG+sUdF-rTcE)qSbD(pRaC*nQ9B&mP8A%lO7z$kN6y!jM5x#iL4wZhK2vYgJ1uXfI0tWeH+sVdG-rUcF)qTbE(pRaD*oQ9C