中考二次函数结合动点解题技巧大全38805

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1、- 中考二次函数压轴题解题通法研究 二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题， 同时在省级， 国家级数学竞赛中也有二次函数大题，在市的拔尖人才考试中同样有二次函数大题，在， ，泸县二中等地的外地招生考试中也有二次函数大题， 很多学生在有限的时间都不能很好完成。 由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关， 学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否， 直接关系到未来数学的学习。 所以二次函数综合题自然就成了相关出题教师和专家的必选容。我通过近年的研究，思考和演算了上 1000 道二次函数大题，总结出了解决二次函数压轴题的通法，供大家参考。 几个自定义概念： 三角形根本模型：有一

2、边在*轴或 Y 上，或有一边平行于*轴或 Y 轴的三角形称为三角形根本模型。 动点或不确定点坐标一母示：借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式，用一个字母把该点坐标表示出来，简称设横表纵。如：动点 P 在 y=2*+1 上， 就可设 Pt, 2t+1.假设动点在2321xx，则可设为，2321tt当然假设动点 M 在*轴上，则设为t, 0.假设动点 M 在轴上，设为， 动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动三角形。 动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。 定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。 定直

3、线： 其函数关系式是确定的， 不含参数的直线称为定直线。 如： 。 *标，Y 标：为了记忆和阐述*些问题的方便，我们把横坐标称为*标，纵坐标称为 y标。 直接动点：相关平面图形如三角形，四边形，梯形等上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标一母示是针对直接动点坐标而言的。 1.求证两线段相等的问题： 借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来； 然后看两线段的长度是什么距离即是点点距离，还是点轴距离，还是点线距离，再运用两点之间的距离公式或点到*轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进展化简，即可证得两线段相等。 、平行于

4、y 轴的动线段长度的最大值的问题： 由于平行于 y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为 t ，借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母 t 的代数式表示出来，再由两个端点的上下情况， 运用平行于 y 轴的线段长度计算公式-yy下上， 把动线段的长度就表示成为一个自变量为 t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3、求一个点关于一条直线的对称点的坐标问题： 先用点斜式或称 K 点法求出过点，且与直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。 4、抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大的问

5、题： 方法 1先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线- 的解析式注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率k相等 ，再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母 y 消掉，得到一个关于*的的一元二次方程，由题有=2b-4ac=0因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以2b-4ac=0从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出*、y 的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。 方法 2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点

6、到直线的距离公式，求出其最大距离。 方法 3先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定直线的斜率时， 求出的点的坐标即为符合题意的点， 其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。 5.常数问题： 1点到直线的距离中的常数问题： 抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个 固定常数的问题： 先借助于抛物线的解析式， 把动点坐标用一个字母表示出来， 再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。 2三角形面积中的常数问题： 抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角

7、形的面积等于一个定常数的问题： 先求出定线段的长度，再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。 3几条线段的齐次幂的商为常数的问题： 用 K 点法设出直线方程，求出与抛物线或其它直线的交点坐标，再运用两点间的距离公式和根与系数的关系，把问题中的所有线段表示出来，并化解即可。 6.在定直线常为抛物线的对称轴，或*轴或 y 轴或其它的定直线上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小的问题： 先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标， 再把该对

8、称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度应用两点间的距离公式计算即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出利用求交点坐标的方法 。 7.三角形周长的最值(最大值或最小值)问题： 在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小的问题简称一边固定两边动的问题 ： 由于有两个定点，所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算 ，只需另两边的和最小即可。 在抛物线上是否存在一点，使之到定直线的垂线，与 y 轴的平行线和定直线，这三线构成的动直角三角形的周长最大的问题简称三边均动的问题 ： 在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三

9、角形， 在动点坐标一母示后， 运用=CC动动定定斜边斜边，把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解。 - 8.三角形面积的最大值问题： 抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大的问题简称一边固定两边动的问题 ： (方法 1)先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面的方法，求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式 12 底高。即可求出该三角形面积的最大值，同时在求解过程中，切点即为符合题意要求的点。 方法 2过动点向 y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点，从而把动三角形分割成两个根本模型的三角形，动点坐标一母示后，进一步可得到

10、1(-)-x2Syy动三角形上（动）下（动）右（定） 左（定）（x）， 转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值。 三边均动的动三角形面积最大的问题简称三边均动的问题 ： 先把动三角形分割成两个根本模型的三角形有一边在*轴或 y 轴上的三角形，或者有一边平行于*轴或 y 轴的三角形，称为根本模型的三角形面积之差，设出动点在*轴或 y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形 。利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比 可表示出分割后的一个三角形的高。 从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次

11、函数关系式，相应问题也就轻松解决了。 9.一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题： 由于该四边形有三个定点， 从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形 连结两个定点，即可得到一个定三角形的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与 7 一样。 10、定四边形面积的求解问题： 有两种常见解决的方案： 方案一 ：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和； 方案二 ：过不在*轴或 y 轴上的四边形的一个顶点，向*轴或 y 轴作垂线，或者把该点与原点连结起来， 分割成一个梯形 常为直角梯形 和一

12、些三角形的面积之和 或差 ，或几个根本模型的三角形面积的和差 11.两个三角形相似的问题： 两个定三角形是否相似： （1）有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出角的两条夹边，看看是否成比例？假设成比例，则相似;否则不相似。 （2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看看是否成比例？假设成比例，则相似;否则不相似。 一个定三角形和动三角形相似： （1）有一个角相等的情形： 先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来一母示 ，然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比

13、例要注意是否有两种情况 ，列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。 2不知道是否有一个角相等的情形： - 这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出*一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标一母示后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标， 从而转化为有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了， 只需再验证角的两边是否成比例？假设成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的

14、点不存在。简称找特角，求动点标，再验证。或称为一找角，二求标，三验证。 2.、*函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形的问题： 首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。 假设*边底，则只有一种情况；假设*边为腰，有两种情况；假设只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况 。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标一母示 ，按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意 。 3、*图象上是否存在一点，使之与另外三个

15、点构成平行四边形问题： 这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标一母示分别设出余下所有动点的坐标假设有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来一母示出动点坐标 ，任选一个点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线显然最多有 3 条 ，此时与之对应的另一条对角线也就确定了， 然后运用中点坐标公式， 求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。 进一步有： 假设是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形， 再验证两条对角线相等否？假设相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。 假设是否存在这样

16、的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形， 再验证任意一组邻边相等否？假设相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。 假设是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形， 再验证任意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等？假设都相等， 则所求动点能构成正方形， 否则这样的动点不存在。 4、 抛物线上是否存在一点， 使两个图形的面积之间存在和差倍分关系的问题：此为单动问题即定解析式和动图形相结合的问题 ，后面的 19 实为本类型的特殊情形。 先用动点坐标一母示的方法设出直接动点坐标，分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积 ，然后由题意

17、建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。 注意去掉不合题意的点 ，如果问题中求的是间接动点坐标，则在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。 5、*图形直线或抛物线上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形的问题： 假设夹直角的两边与 y 轴都不平行：先设出动点坐标一母示 ，视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线没有与 y 轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1 ，得到一个方程，解之即可。 假设夹直角的两边中有一边与 y 轴平行，此时不能使用斜率公式。补救措施是：过余下的那一个点没在平行于 y 轴的那条直线上的点直接向平行于 y 的直线作垂线或过直

18、角点作平行于 y 轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定。 6、*图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形的问题。 - 假设定点为直角顶点，先用 k 点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在，根据定直角点，可以直接写出另一直角边所在直线的方程 ，利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组， 求出交点坐标， 再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否？假设等，该交点合题，反之不合题，舍去。 假设动点为直角顶点：先利用 k 点法求出定线段的中垂线的解析式，再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组， 求出交点坐标， 再分别计算出该点与两定点所在的两条直

19、线的斜率，把这两个斜率相乘，看其结果是否为-1？假设为-1，则就说明所求交点合题；反之，舍去。 7、题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度等的问题： 题中含有两角相等， 则意味着应该运用三角形相似来解决， 此时寻找三角形相似中的根本模型A或*是关键和突破口。 18.在相关函数的解析式或易求出的情况下，题中又含有*动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数，求相关点的坐标或线段长的问题： 此为单动问题即定解析式和动图形相结合的问题 ，本类型实际上是前面 14 的特殊情形。 先把动图形化为一些直角梯形或根本模型的三角形有一边在*轴或轴上，或者有一边平行于*轴或 y 轴面积的和或差，设出相关点的

20、坐标一母示 ，按化分后的图形建立一个面积关系的方程，解之即可。一句话，该问题简称单动问题，解题方法是设点动点标，图形转化分割 ，列出面积方程。 19.在相关函数解析式不确定系数中还含有*一个参数字母的情况下，题中又含有动图形 常为动三角形或动四边形 的面积为定常数， 求相关点的坐标或参数的值的问题： 此为双动问题即动解析式和动图形相结合的问题 。 如果动图形不是根本模型， 就先把动图形的面积进展转化或分割 转化或分割后的图形须为根本模型 ， 设出动点坐标 一母示 ， 利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程 或方程组 。解此方程，求出相应点的横坐标，再利用该点所在函数图象的解析式，表示出该点的

21、纵坐标注意，此时，一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式，这样会把所有字母消掉 。 再注意图中另一个点与该点的位置关系 或其它关系， 方法是常由或利用 2问的结论，从几何知识的角度进展判断，表示出另一个点的坐标，最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式， 得到仅含一个字母的方程， 解之即可。 如果动图形是根本模型，就无须分割或转化了，直接先设出动点坐标一母式 ，然后列出面积方程，往下操作方式就与不是根本模型的情况完全一样。一句话，该问题简称双动问题，解题方法是转化分割 ，设点标，建方程，再代入，得结论。 常用公式或结论： 1横线段的长 = 横标之差的绝对值 = -xx大小=-x x

22、右左 纵线段的长=纵标之差的绝对值=-yy大小=-y y下上 2点轴距离： 点 P0x ，0y到*轴的距离为0y，到 Y 轴的距离为ox。 3两点间的距离公式： 假设 A11,x y,B(2,2x y), 则 - AB=221212()()xxyy 4点到直线的距离： 点 P00,xy到直线 A*+By+C=0 (其中常数 A,B,C 最好化为整系数，也方便计算)的距离为： 或0021kxybdk 5中点坐标公式: 假设 A(1,1x y)，B22,xy ，则线段 AB 的中点坐标为1212,22xxyy 6直线的斜率公式： 假设 A11,x y ，B22,xy12xx，则直线 AB 的斜率为

23、： 1212=AByykxx,1212,AByxxxx注：当时，直线与 轴平行，斜率不存在 7两直线平行的结论： 直线111222:,:;lyk xb lyk xb 假设1212;llkk 假设112212,kkbbl l且 8两直线垂直的结论： 直线111222:,:;lyk xb lyk xb 假设1212.1;llk k 假设1212.1.k kll 9由特殊数据得到或猜测的结论： 点的坐标或线段的长度中假设含有23、等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。 在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，假设有特殊角出现，那很多问题就好解决。 还要高度关注或求出的直线解析

24、式中的斜率 K 的值，假设3K=3，则直线与*- 轴的夹角为030；假设K=1；则直线与*轴的夹角为045；假设K=3，则直线与*轴的夹角为060。这对计算线段长度或或点的坐标或三角形相似等问题创造条件。 二次函数根本公式训练： _破解函数难题的基石 1横线段的长度计算： 【特点：两端点的 y 标相等，长度=-xx大小】 。 假设 A2,0 ，B10,0 ，则 AB=。 假设 A-2,0 ，B-4,0 ，则 AB=。 假设 M-3,0 ，N10,0 ，则 MN=。 假设 O0,0 ，A6,0 ，则 OA=。 假设 O0,0 ，A-4,0 ，则 OA=。 假设 O0,0 ，A(t,0),且 A

25、在 O 的右端，则 OA=。 假设 O0,0 ，A(t,0),且 A 在 O 的右端，则 OA=。 假设 A(-2t,6),B(3t,6),且 A 在 B 的右端，则 AB=。 假设 A4t,m,B(1-2t,m),且 B 在 A 的左端，则 AB=。 假设 P2m+3,a,M(1-m,a),且 P 在 B 的右端，则 PM=。 注意：横线段上任意两点的 y 标是相等的，反之 y 标相等的任意两个点都在横线段上。 2纵线段的长度计算： 【特点：两端点的*标相等，长度=-yy大小】 。 (假设 A(0,5)，B0,7 ，则 AB=。 假设 A0，-4 ，B0，-8),则 AB=。 假设 A0,2

26、 ，B0，-6 ，则 AB=。 假设 A0,0 ，B0，-9),则 AB=。 假设 A(0,0)，B(0,-6)，则 AB=。 假设 O(0,0)，A(0,t),且 A 在 O 的上端，则 OA=。 假设 O0,0 ，A0，t),且 A 在 O 的下端，则 OA=。 假设 A6，-4t),B(6,3t),且 A 在 B 的上端，则 AB=。 假设 Mm,1-2t),N(m,3-4t),且 M 在 N 的下端，则 MN=。 假设 Pt,3n+2),M(t,1-2n),且 P 在 M 的上端，则 PM=。 注意：纵线段上任意两点的*标是相等的，反之*标相等的任意两个点都在纵线段上。 3点轴距离：

27、一个点(xy标标， ）到*轴的的距离等于该点的 y 标的绝对值即y标 ，到 y轴的距离等于该点的*标的绝对值即x标 。 点-4,-3)到*轴的距离为，到 y 轴的距离为。 假设点 A1-2t,223tt)在第一象限，则点 A 到*轴的距离为，到 y 轴的距离为_。 假设点 Mt,243tt)在第二象限，则点 M 到*轴的距离为，到 y轴的距离为。 - 假设点 A-t,2t-1)在第三象限，则点 A 到*轴的距离为，到 y 轴的距离为。 假设点 Nt，223tt)点在第四象限，则点 N 到*轴的距离为，到 y 轴的距离为。 假设点 Pt ,223tt)在*轴上方，则点到轴的距离为。 假设点，22

28、6tt在轴下方，则点到轴的距离为。 假设点，245tt在轴左侧，则点到轴的距离为。 假设点，在轴的右侧，则点到轴的距离为。 假设动点，223tt在轴上方，且在轴的左侧，则点到轴的距离为，到轴的距离为。 11 假设动点，223tt在轴上方，且在轴的右侧，则点到轴的距离为，到轴的距离为。 12 假设动点，223tt在轴下方，且在轴的左侧，则点到轴的距离为，到轴的距离为。 13 假设动点，223tt在轴下方，且在轴的右侧，则点到轴的距离为，到轴的距离为。 注意：在涉及抛物线，直线，双曲线等上的动点问题中，在动点坐标一母示后，还要高度关注动点运动变化的区域例如：动点在抛物线223xx上位于轴下方，轴右

29、侧的图象上运动 ，以便准确写出动点坐标中参数字母的取值围，以及点轴距离是等于相应x标标（或 y）的相反数，还是其本身。 中点坐标的计算： 假设【11,x y ，22,xy ，则线段的中点坐标为1212,22xxyy 】 假设， ， ，则中点为 。 假设 M0，-6 ，N6，-4 ，则 MN 的中点坐标为 。 假设 P1-32， ，Q1 13 2， ，则 PQ 的中点坐标为 。 假设 A(1,2),B(-3,4),且 B 为 AM 的中点，则 M 点的坐标为。 - 假设 A(-1,3),B(0,2),且 A 为中点，则点坐标为 。 点,关于直线的对称点的坐标为 。 点,关于直线的对称点的坐标为_

30、. 点,关于直线的对称点的坐标为 _。 点,关于直线的对称点的坐标为。 点，关于直线的对称点的坐标为。 11 点，关于直线的对称点的坐标为。 12 点,关于直线的对称点的坐标为。 13 点，关于直线的对称点的坐标为。 14 点，关于轴的对称点的坐标为。 15 点,关于轴的对称点的坐标为。 (5)由两直线平行或垂直，求直线解析式。 【两直线平行，则两个 k 值相等；两直线垂直，则两个 k 值之积为-1.】 *直线与直线 y=2*+3 平行，且过点1，-1 ，求此直线的解析式。 *直线与直线 y=12*+1 平行，且过点2，3 ，求此直线的解析式。 *直线与直线 y=253x平行，且过点-3，0

31、，求此直线的解析式。 *直线与 y 轴交于点 P0,3 ，且与直线 y=112x平行,求此直线的解析式。 *直线与*轴交于点 P-2,0 ，且与直线 y=142x平行，求此直线的解析式。 *直线与直线 y=2*-1 垂直，且过点2,1 ，求此直线的解析式。 *直线与直线 y=-3*+2 垂直，且过点3,2 ，求此直线的解析式。 *直线与直线 y=213x垂直，且过点2，-1 ，求此直线的解析式。 *直线与直线 y=142x垂直，且过点1，-2 ，求此直线的解析式。 *直线与*轴交于点 P-4,0 ，且与直线 y=253x垂直，求此直线的解析式。 (6)两点间的距离公式： 1122( ,)B,)

32、,A x yxy若， （则 AB=221212()( - )xxy y 假设 A-2,0 ，B0，3 ，则 AB=。 假设 P-2,3 ，Q1，-1 ，则 PQ=。 假设 M0,2 ，N-2,5 ，则 MN=。 - 假设 P1,02 ，Q10,3 ，则 PQ=。 假设 A1, 32),B(-1,12),则 AB=。 假设 P(3 1,4 2),B(1, 14),则。 假设 P(3 1,4 2),B(1, 14),则=。 假设 P(1 2,4 3)，M(1,12)，则 PM=。 假设2 1,5 3 ，12,53 ，则。 假设2,13 ，11,2 ，则。 11 假设, ，, ，则。 12 假设 P

33、(0，-4)，Q(0，-2)，则 PQ=。 13 假设 P(3,0)，Q(4,0)，则 PQ=。 14 假设 P(1，-4)，Q(2,0)，则 PQ=。 （7）直线的斜率公式： 【注：所谓斜率，就是一次函数 y=k*+b 中 k 的值；可由两个点的坐标直接求得：假设 A(11,x y)，B(22,xy)12xx ，则1212AByykxx， y 标之差除以对应的*标之差 】 例题：假设 A(2，-3)，B(-1,4)，则ABk - 解：A(2，-3)，B(-1,4)， ABk=( 3)472( 1)3 A(0,2)B(3 0)kAB若，则。 A(1,-2)B(-3)kAB若，1 ，则。 MNM

34、(-3,1)N(-2 - )k若， 4，则。 (1 -4)(-1)kPQ若P ， ，Q ，2，则。 11(-1)(-)k23CQ若C ，1 ，Q，- ，则。 211()(-)k332EF若E ，-1 ，F，- ，则。 211(-)(-1)k532MQ若M，- ，Q ，- ，则。 231(-)(-1)k344PQ若P，- ，Q ，- ，则。 (8)点到直线的距离公式： 00P（x点,y ）到直线 A*+By+C=0为了方便计算，A,B,C 最好化为整系数的距离公式为：0022+CA +BAxByd；运用该公式时，要先把一次函数 y=k*+b 化为一般式A*+By+C=0 的形式即：先写*项，再写

35、 y 项，最后写常数项，等号右边必须是 0 。 例题：求点 P(2,-3)到直线1223yx的距离。 解：先把直线1223yx化为一般式 3*-6y-4=0 - 所以2236 () 44533( 6)23d 00AxByC注：的值就是把点00(,)xy对应代入代数式 A*+By+C 中。 或者把ykx b通过移项化为0kx y b 同样要先写*项，再写 y项，最后写常数项，等号右边必须是 0 。 从而0021kxybdk 另解：因为1223yx，P(2,-3) 所以2122( 3)()423=5311 ( )2d (注：由于系数中有分数，计算比拟繁杂)。 求点Q （1,-4）到直线y=2x-1

36、的距离。 12求点A （1,2）到直线y=x-1的距离。 13求点M （0,-3）到直线y=x-1的距离。 1124求点P （-2,0）到直线y=x-的距离。 求点K （-3,-2）到直线y=1-3x的距离。 1123求点P （-3,-1）到直线y=x- 的距离。 - 111232求点P （- ,-1）到直线y=x+的距离。 11312342求点Q （- ,- ）到直线y=x-的距离。 23313424求点P （- ,-）到直线y=x-的距离。 31122323求点N （- ,- ）到直线y=- x+的距离。 11 2 3115 423求点D （- ,）到直线y=x- 的距离。 12 3231

37、5324求点E （- ,-）到直线y=- x 的距离。 在一个题中设计假设干常见问题： 223yxx如图示，已知抛物线 与 y 轴交于点 B， 与* 轴交于 C,DC 在 D 点的左侧 ，点 A 为顶点。 Y C O D * 判定三角形 ABD 的形状？并说明理由。 Y 0 D * B A 【通法：运用两点间的距离公式，求出该三角形各边的长】 三角形 ABD 与三角形 BOD 是否相似？说明理由。 Y O* D B A 【通法：用两点间的距离公式分别两个三角形的各边之长，再用相似的判定方法】 在*轴上是否存在点 P，使 PB+PA 最短？假设存在求出点 P 的坐标，并求出最小值。假设不存在，请

38、说明理由。 Y - * O B 【通法：在两定点中任选一个点为了简单起见，常常取轴上的点 ，求出该点关于题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标，再把此对称点与余下定点相连】 在 y 轴上是否存在点 P， 使三角形 PAD 的周长最小？假设存在， 求出点 P 的坐标，并求出周长的最小值;假设不存在，请说明理由。 Y D * A 【通法：注意到 AD 是定线段，其长度是个定值，因此只需最小】 在对称轴上是否存在点， 使三角形是等腰三角形？假设存在， 求出点的坐标；假设不存在，请说明理由。 Y C O * B *1 【通法：对动点的坐标一母示，后，分三种情况，假设为顶点，则；假设 B 为顶点，

39、则 BP=；假设为顶点，则。分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度】 。 假设平行于轴的动直线与直线交于点，与抛物线交于点 P，假设三角形ODF 为等腰三角形，求出点 P 的坐标. Y O * D l F P B 【通法：分类讨论，用两点间的距离公式】 。 在直线 BD 下方的抛物线上是否存在点 P，使PBDs的面积最大？假设存在，求出点 P 的坐标，假设不存在，请说明理由。 Y O D * P B 【通法：1(-)-x2PBDSyy上（动） 下（动）右（定） 左（定）（x）】 - 在直线 BD 下方的抛物线上是否存在点 P，使四边形 DOBP 的面积最大？假设存在，求出点 P 的坐标，

40、并求出四边形面积的最大值；假设不存在，请说明理由。 Y O D * P B 【通法：DOBDBPDOBPS=S+S四边形或BOPDPODOBPS=S+S四边形】 在直线 BD 下方的抛物线上，是否存在点 P，使四边形 DCBP 的面积最大？假设存在，求出点 P 的坐标，并求出四边形面积的最大值；假设不存在，请说明理由. Y C D * O P B 【通法：DCBDBPDCBPS=S+S四边形】 在直线下方的抛物线上， 是否存在点， 使点到直线 BD 的距离最大？假设存在，求出点 P 的坐标，并求出最大距离；假设不存在，请说明理由。 Y O D B P 【通法：因为是定线段，点到直线的距离最大，

41、意味着三角形的面积最大】 11 在抛物线上，是否存在点，使点到直线 BD 的距离等于2，假设存在，求出点 P 的坐标；假设不存在，请说明理由。 Y O D * B 【通法：在动点坐标一母示后，用点到直线的距离公式，列出方程，求解即可】 。 12 在抛物线上是否存在点 P，使PBCS=2ABDS，假设存在，求出点 P 的坐标；假设不存在，请说明理由。 Y O D * - 3在直线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是平行四边形，假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由。 Y C O D * A （二）【2012 凉山州中考】如图，在平面直角坐标系中，直线 y=*+4 与*轴，y 轴分别交

42、于 A,B,两点，抛物线2yxbxc 经过 A,B,两点，并与*轴交于另一点 C点 C 在点 A 的右侧 ，点 P 是抛物线上一动点。 (1)求抛物线的解析式及点 C 的坐标. (2)假设点 P 在第二象限，过点 P 作 PD*轴于 D，交 AB 于点 E.当点 P 运动到什么位置时，线段 PE 最长？此时等于多少？ (3)如果平行于轴的动直线与抛物线交于点，与直线交于点，点为的中点，则是否存在这样的直线，使得三角形是等腰三角形？假设存在，请求出点的坐标；假设不存在，请说明理. （三）【2012 市中考】 在平面直角坐标系*Oy 中，AB*轴于点 B，AB=3，tanAOB=3/4。将OAB绕

43、着原点 O 逆时针旋转 90o，得到OA1B1；再将OA1B1绕着线段 OB1的中点旋转 180o，得到OA2B1，抛物线 y=a*2+b*+ca0经过点 B、B1、A2。 1求抛物线的解析式； 2在第三象限，抛物线上的点P 在什么位置时，PBB1的面积最大？求出这时点 P 的坐标； 3在第三象限，抛物线上是否存在点 Q，使点 Q 到线段 BB1的距离为22？假设存在， 求出点 Q 的坐标；假设不存在，请说明理由。 （四）【2012 中考】如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为m，m ，点 B 的坐标为n，n ，抛物线经过 A、O、B 三点，连接 OA、OB、AB，线段AB 交 y 轴于点

44、 C实数 m、nmn分别是方程*22*3=0 的两根 1求抛物线的解析式； 2假设点 P 为线段 OB 上的一个动点不与点 O、B 重合 ，直线 PC 与抛物线交于 D、E 两点点 D 在 y 轴右侧 ，连接 OD、BD 当OPC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标； Y * O B P C A - 求BOD 面积的最大值，并写出此时点 D 的坐标. （五）【2012 中考】如图，在平面直角坐标系*Oy 中，一次函数54yxm (m为常数)的图象与*轴交于点 A(3，0)，与 y 轴交于点 C以直线*=1 为对称轴的抛物线2yaxbxc (abc， ， 为常数，且a0)经过 A，C 两点，并与*

45、轴的正半轴交于点B 1求m的值及抛物线的函数表达式； 2设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点，过点 E 作直线 AC 的平行线交*轴于点 F是否存在这样的点 E，使得以 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求出点 E 的坐标及相应的平行四边形的面积；假设不存在，请说明理由； 3假设 P 是抛物线对称轴上使ACP 的周长取得最小值的点，过点 P 任意作一条与 y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()xy， ，222M ()xy，两点， 试探究2112PPMMM M 是否为定值，并写出探究过程 （六）【2012 黄冈中考】如图，抛物线的方程1C：1(2)()yxxmm m0)与*

46、轴相交于点 B、C，与 y 轴相交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧。 （1）假设抛物线1C过点 M(2,2)，数 m 的值。 （2）在(1)的条件下，求三角形 BCE 的面积。 （3）在1的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使 BH+EH 最小，并求出点的坐标。 （4）在第四象限，抛物线1C上是否存在点，使得以点,为顶点的三角形与三角形 BCE 相似？假设存在，求 m 的值；假设不存在，请说明理由。 Y E B C * O 七 【2013 中考】如图，抛物线24yaxbxa经过 A-1,0 ，C(0,4)两点，与*轴交于另一点 B。 1求抛物线的解析式； 2点 D(m,m+1)在第一象

47、限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标； 3在2的条件下，连接 BD，点 P 为抛物线上一点，且45DBP求点 P的坐标。 Y C A O B * - 八 【2013 中考】如图，抛物线213442yxx与*轴交于 A,B,两点点 B 在点A 的右侧 ，与 y 轴交于点 C，连接 BC，以 BC 为一边，点 O 为对称中心作棱形 BDEC，点 P 是*轴上的一个动点，设点 P 的坐标为m,0,过点 P 作*轴的垂线 l 交抛物线于点 Q. 1求点 A,B,C 的坐标. 2当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD，BC 于点 M，N.试探究 m 为何值时，四边形

48、CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由. 3当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使三角形 BDQ 为直角三角形？假设存在，请直接写出点 Q 的坐标;假设不存在，请说明理由. Y D * E A O B C 九 【2013 中考】如图，对称轴为直线*=-1 的抛物线2yaxbxca0与 *轴交于 A,B 两点，其中点 A 的坐标为-3,0. 1求点 B 的坐标； 2a=1,C 为抛物线与 y 轴的交点. 假设点 P 在抛物线上，且4POCBOCSS，求点 P 的坐标； 设点 Q 是线段 AC 上的动点，QDx作轴抛物线于点 D，求线段 QD 长度的

49、最大. *=-1 Y A O B * C 十 【2013 市中考】抛物线 y=(*-3) (*+1)与*轴交于 A,B,两点点 A 在点 B 左侧 ，与 y 轴交于点 C，点 D 为顶点. （1）求点 B 及点 D 的坐标. （2）连接 BD，CD，抛物线的对称轴与*轴交于点 E. 假设线段 BD 上一点 P，使DCPBDE ，求点 P 的坐标. 假设抛物线上一点 M，作MNCD，交直线 CD 于点 N，使CMNBDE ，求点 M 的坐标. Y Y A O E B * A O E B * C C D D 【备 用 图】 十一 【2013 市中考】如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点，分别是一

50、次函数334yx 的图象与轴，轴的交点，点在二次函数- 218yxbxc的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形 （）试求，的值，并写出该二次函数的表达式 （）动点从到，同时动点从到都以每秒个单位的速度运动，问： 当点运动到何处时，有PQAC 当点运动到何处时， 四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？ (十二) 【2013 市中考】 如图， 二次函数y=a*2+b*+c的图象的顶点C的坐标为 0， -2 ，交*轴于A、B两点，其中A-1，0 ，直线l：*=mm1与*轴交于D。 1求二次函数的解析式和B的坐标； 2在直线l上找点PP在第一象限 ，使得以P、D、B为顶点的三

51、角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标用含m的代数式表示 ； 3在2成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限的点Q，使BPQ 是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。 BB 十三 【2013 市中考】如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为-2,0 ，点 B 的坐标为(1,3)，抛物线2yaxbxc0a 经过三点 A,B,OO 为原点. (1)求抛物线的解析式. (2)在该抛物线的对称轴上，是否存在点 C，使三角形 BOC 的周长最小.假设存在，求出点的坐标，假设不存在，请说明理由 (3)如果点是该抛物线上轴上方的一个动点，则三角形是否有

52、最大面积假设有，求出点的坐标及三角形的最大面积；假设没有，请说明理由 注意：此题中的结果均保存根号 Y A * 十四 【2013 市中考】如图，抛物线 y=a*2+b*2a0与*轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，直线 BD 交抛物线于点 D，并且 D2，3 ，tanDBA= 1求抛物线的解析式； 2点 M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点 B、M、C、A，求四边形BMCA 面积的最大值； A C D O * Y l - 3在2中四边形 BMCA 面积最大的条件下，过点 M 作直线平行于 y 轴，在这条直线上是否存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆？假设存在，求出圆心 Q 的坐标；假设不存在，请说明理由 十五 【2013 市中考】如图，抛物线2yaxbxc经过点 A(-3,0)，B(1,0)，C(0，-3). （1）求抛物线的解析式。 （2）假设点 P 为第三象限抛物线上的点，记三角形 PAC 的面积为 S，求 S 的最大值并求出此时点 P 的坐标。 3设抛物线的顶点为 D，DEx轴于点 E，在 y 轴上是否存在点 M，使得三角形ADM 是直角三角形？假设存在，请直接写出点 M 的坐标；假设不存在，请说明理由。 Y E B * A O C D