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1、 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY第四章例题及习题 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点
2、处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有因此所求曲线为第一节Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例2. 求求解解: 原式 =例例3. 求解解: 原式=Evaluation only.Created
3、 with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例4. 求解解: 原式 =Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师
4、范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例5. 求求解解: 原式 =例例6. 求解解: 原式 =Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例7. 求求解解: 原式 =E
5、valuation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY思考与练习思考与练习1. 证明 2. 若提示提示:提示提示:Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copy
6、right 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY3. 若的导函数为则的一个原函数是 ( ) .提示提示:已知求即B?Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大
7、 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY4. 求下列积分:提示提示:Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY5. 求不定积分解：解：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Cli
8、ent Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例1. 求解解: 令则故原式原式 =注注: 当时第二节Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UN
9、IVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例2. 求解解:令则想到公式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例3. 求想到解解:(直接凑微分)Evaluation only.Created with Aspos
10、e.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例4. 求解解:类似Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI N
11、ORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例5. 求解解: 原式原式 =Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY常用的几种配元形式常用的几种配元形式: 万能凑幂法Evaluation only.Cr
12、eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例6. 求解解: 原式 =Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广
13、 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例7. 求解解: 原式 =例例8. 求解解: 原式 =Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例9. 求解法解法1解
14、法解法2 两法结果一样Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例10. 求解法解法1 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright
15、 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY解法解法 2 同样可证或Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY
16、例例11. 求解解: 原式 =Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例12 . 求解解:Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyrig
17、ht 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例13. 求解解:原式 =Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVER
18、SITY例例14. 求解解: 原式=分析分析: Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例15. 求解解: 原式原式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.
19、2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY小结小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-
20、2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY思考与练习思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同?Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UN
21、IVERSITY2. 求提示提示:法法1法法2法法3Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例16. 求解解: 令则 原式(切记变量还原)Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client
22、 Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例17. 求解解: 令则 原式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师
23、范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例18. 求解解:令则 原式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY令于是Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client P
24、rofile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY原式例例19. 求解解: 令则原式当 x 0 时, 类似可得同样结果 .（倒代换）Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI N
25、ORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY小结小结:1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: 令令令或令或令或第四节讲Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY2. 常用基本积分公式的补充 (P
26、205)(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换倒代换 令Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITYEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Co
27、pyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY解解: 原式(P205公式 (20) )例例20. 求例例21. 求解解:(P205公式 (23) )Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL U
28、NIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例22. 求解解: 原式 =(P205 公式 (22) )例例23. 求解解: 原式(P205 公式 (22) )Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例24. 求解
29、解: 令得原式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例25. 求解解: 原式令Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 20
30、04-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY思考与练习思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?令令令Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI
31、 NORMAL UNIVERSITY2. 求下列积分:Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY3.求不定积分解：解：利用凑微分法 ,原式 =令得Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Clie
32、nt Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY分子分母同除以4.求不定积分解解: 令原式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY
33、 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例1. 求解解: 令则 原式思考思考: 如何求提示提示: 令则原式第三节Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例2. 求解解: 令则原式 =思考思考: 如何求Evaluation on
34、ly.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例3. 求解解: 令则 原式思考思考: 如何求Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 As
35、pose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例4. 求解解: 令, 则 原式再令, 则故 原式 =说明说明: 也可设为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广
36、西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY解题技巧解题技巧:把被积函数视为两个函数之积 ,按“ 反对幂指三反对幂指三”的顺序, 前者为 后者为例例5. 求解解: 令, 则原式 =反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学
37、GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例6. 求解解: 令, 则原式 =Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例7. 求解解: 令则原式令Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.
38、5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例8. 求解解:原式原式= 原式 =Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVER
39、SITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例9. 求解解(法一法一): 令 原式 =Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例9. 求解解(法二法二):令则 原式 =Evaluation only.Created wit
40、h Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例10. 求解解: 令则得递推公式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师
41、范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY说明说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例11. 证明递推公式证证:注注:或Eva
42、luation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY说明说明:分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推
43、公式 .Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例12. 求解解: 令则可用表格法求多次分部积分uv求导积分Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.
44、0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例13. 求解解: 令则原式原式原式原式 =Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUA
45、NGXI NORMAL UNIVERSITY例例1. 将下列真分式分解为部分分式 :解解: (1) 用拼凑法第四节Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY(2) 用待定系数法故对比分子系数，解得Evaluation only.Created with Aspose
46、.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY原式 =（3）Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL
47、 UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例2. 求解解: 已知Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例3. 求解解: 原式思考思考: 如何求提示提示: 变形方法同例3, 并利用上一节例9 . Evalu
48、ation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Cli
49、ent Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例4. 求求解解: 原式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师
50、范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例5. 求求解解: 原式注意本题技巧注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法较繁Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例6. 求求解解: 令则Evaluation only.Created with A
51、spose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITYEvaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL U
52、NIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例7. 求解解: 令则原式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例8. 求解解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,则有原式令
53、Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例9. 求解解: 令则原式原式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-20
54、11 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .简便 , Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004
55、-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: 分子变为 再分项积分 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI
56、 NORMAL UNIVERSITY习题课一、 求不定积分的基本方法二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法 第四章 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY重点：重点：不定积分的概念及性质、不定积分不定积分的概念及性质、不定积分的基本公式以及不定积分的换元积分法
57、和的基本公式以及不定积分的换元积分法和分部积分法。分部积分法。难点：难点：不定积分的计算。不定积分的计算。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY一、一、 求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1. 直接积分法通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分
58、的方法 .2. 换元积分法 第一类换元法 第二类换元法(注意常见的换元积分类型) (代换: )Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY3. 分部积分法分部积分法使用原则:1) 由易求出 v ;2)比好求 .一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,排
59、前者取为 u , 排后者取为计算格式: 列表计算Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例1. 求解: 原式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.
60、0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例2. 求解:原式分析: Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORM
61、AL UNIVERSITY例例3. 求解 :原式分部积分Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例4. 设解: 令求积分即而Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profil
62、e 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例5. 求解:Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NO
63、RMAL UNIVERSITY例例6. 求解: 取说明: 此法特别适用于如下类型的积分: Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例7. 设证:证明递推公式:Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET
64、3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例8. 设 解:为的原函数,且求由题设则故即, 因此故又Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI N
65、ORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分1. 一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学G
66、UANGXI NORMAL UNIVERSITY2. 需要注意的问题需要注意的问题(1) 一般方法不一定是最简便的方法 ,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合使用各种基本积分法, 简便计算 . 因此不一定都能积出.例如 , Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL U
67、NIVERSITY例例9. 求解: 令则原式Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例10. 求不定积分解: 原式 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY 广 西 师 范 大 学GUANGXI NORMAL UNIVERSITY例例11. 求解:( n 为自然数)令则Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
