模糊数学 7孙舒杨孙舒杨Email. Email. sysun@sysun@1吉林大学计算机科学与技术学院 内容回顾内容回顾n普通关系普通关系模糊关系模糊关系n有限论域上，布尔矩阵有限论域上，布尔矩阵模糊矩阵模糊矩阵n模糊关系（模糊矩阵）的运算模糊关系（模糊矩阵）的运算2吉林大学计算机科学与技术学院 3-5 模糊关系的合成模糊关系的合成3吉林大学计算机科学与技术学院 经典关系的合成经典关系的合成nX表示人群表示人群n兄弟关系兄弟关系Q：：XX，，父子关系父子关系R：：XX，叔侄关系，叔侄关系S：：XXn问：问：Q,R,S这三个关系之间存在着什么这三个关系之间存在着什么关系？关系？4吉林大学计算机科学与技术学院 叔侄关系叔侄关系nx,z存在叔侄关系存在叔侄关系（（x是是z的叔叔或伯的叔叔或伯伯）伯）？？n存在一个存在一个y，，y是是x的兄弟，且的兄弟，且y是是z父父亲亲nxSz存在存在y∈∈X,使使xQy且且yRzn称叔侄关系称叔侄关系S是兄弟关系是兄弟关系Q和父子关和父子关系系R的的合成合成，记为，记为S=QоR5吉林大学计算机科学与技术学院 关系合成的定义关系合成的定义n设设Q∈P(U∈P(U××V),R∈P(VV),R∈P(V××W), W), S∈P(US∈P(U××W)W)n若若( (u,w)∈Su,w)∈S存在存在v v∈V∈V, ,使使( (u,v)∈Qu,v)∈Q且且( (v,w)∈Rv,w)∈R，则称关系，则称关系S S是由关系是由关系Q Q与关系与关系R R合成合成的，记作的，记作S=QоR6吉林大学计算机科学与技术学院 合成关系的表示合成关系的表示n关系关系Q和关系和关系R的合成可以表示为的合成可以表示为7吉林大学计算机科学与技术学院 经典关系合成经典关系合成模糊关系合成模糊关系合成n设设Q∈F(U∈F(U××V),R∈F(VV),R∈F(V××W),W),所谓所谓Q Q对对R R的合成，就是从的合成，就是从U U到到W W的一个模糊关系，的一个模糊关系，记作记作QоR，其隶属函数，其隶属函数为为8吉林大学计算机科学与技术学院 R2=？？n若若R∈∈F(U×U),记记R2 = RоRnRn = Rn-1оR9吉林大学计算机科学与技术学院 模糊关系的合成模糊关系的合成——例例1n设设R R1 1为为X X××Y Y上的模糊关系上的模糊关系, ,其隶属函数满其隶属函数满足足 设设R R2 2为为Y Y××Z Z上的模糊关系上的模糊关系, ,其隶属函数满足其隶属函数满足试求试求R R1 1、、 R R2 2的合成。
的合成10吉林大学计算机科学与技术学院 例例1的答案的答案n把把y当作变量，把当作变量，把x和和z都当作常量都当作常量11吉林大学计算机科学与技术学院 例例1的答案的答案12吉林大学计算机科学与技术学院 模糊关系的合成模糊关系的合成——例例2n设设R为模糊关系为模糊关系“x远大于远大于y”，其隶属，其隶属函数如下，则合成关系函数如下，则合成关系RоR应该为应该为“x远远远远大于大于y”，，试问试问其隶属函数是什么其隶属函数是什么？？13吉林大学计算机科学与技术学院 例例2答案答案14吉林大学计算机科学与技术学院 例例2答案答案n同例同例1一样，首先把一样，首先把y作为变量，作为变量，x和和z均当作常量，画出对应的曲线均当作常量，画出对应的曲线15吉林大学计算机科学与技术学院 例例2答案答案n求出交点的横坐标求出交点的横坐标z*n求得交点的纵坐标，即为合成关系求得交点的纵坐标，即为合成关系RоR的隶属函数的隶属函数16吉林大学计算机科学与技术学院 模糊关系合成的矩阵表示模糊关系合成的矩阵表示n对于有限论域上的模糊关系，可表对于有限论域上的模糊关系，可表示称模糊矩阵示称模糊矩阵n模糊关系的合成模糊关系的合成模糊矩阵的合成模糊矩阵的合成17吉林大学计算机科学与技术学院 模糊矩阵合成模糊矩阵合成18吉林大学计算机科学与技术学院 19吉林大学计算机科学与技术学院 模糊矩阵的乘积模糊矩阵的乘积20吉林大学计算机科学与技术学院 模糊矩阵乘积模糊矩阵乘积vs.经典矩阵乘积经典矩阵乘积n实数相乘实数相乘“××” 实数取小实数取小“∧∧”n实数相加实数相加“+ +” 实数取大实数取大“∨∨”21吉林大学计算机科学与技术学院 课题作业：计算课题作业：计算RоS22吉林大学计算机科学与技术学院 模糊关系合成的性质模糊关系合成的性质1,2(1)结合律结合律 (QоR)оS=Qо(RоS)(2) 0-1律律 0оR=Rо0=0IоR=RоI=R23吉林大学计算机科学与技术学院 模糊关系合成的性质模糊关系合成的性质3,4(3) Q⊆ ⊆R⇒ ⇒ QоS⊆ ⊆RоS Q⊆ ⊆R⇒ ⇒ Qm⊆ ⊆Rm(4) 分配律（分配律（对对∪∪分配）分配）(Q∪∪R)оS=(QоS)∪∪(RоS)Sо(Q∪∪R) =(SоQ)∪∪(SоR)24吉林大学计算机科学与技术学院 请计算请计算25吉林大学计算机科学与技术学院 模糊关系合成的性质模糊关系合成的性质合成运算的交运算的分配律不成立！合成运算的交运算的分配律不成立！注意注意26吉林大学计算机科学与技术学院 模糊关系合成的性质模糊关系合成的性质5,6(5) (QоR) λ= Qλо Rλ推推论论 (Rn) λ= (Rλ)n(6) (QоR) T= QTо RT推推论论 (Rn) T= (RT)n27吉林大学计算机科学与技术学院 课后作业课后作业28吉林大学计算机科学与技术学院 3-7 模糊等价关系及聚类图模糊等价关系及聚类图29吉林大学计算机科学与技术学院 模糊关系的三个概念模糊关系的三个概念n自反性自反性n对称性对称性n传递性传递性30吉林大学计算机科学与技术学院 自反性自反性n若模糊关系若模糊关系R满足满足R(u,u)=1或或I⊆ ⊆R，，则称则称R具有自反性具有自反性n模糊自反矩阵模糊自反矩阵nrii = 1n例如：例如：31吉林大学计算机科学与技术学院 自反矩阵的定理自反矩阵的定理定理定理. 设模糊矩阵设模糊矩阵 A ∈∈Mn×n是自反矩阵，是自反矩阵，则有则有I ⊆ ⊆ A⊆ ⊆A2 ⊆ ⊆ A3 ⊆ ⊆…⊆ ⊆ An-1 ⊆ ⊆An⊆ ⊆…证明证明:32吉林大学计算机科学与技术学院 对称性对称性n若模糊关系若模糊关系R满足满足R(u,v)=R(v,u)，则称，则称R具有对称性具有对称性n模糊对称矩阵模糊对称矩阵nrij = rjin例如：例如：33吉林大学计算机科学与技术学院 传递性传递性n若模糊关系若模糊关系R满足满足RоR⊆ ⊆R，则称，则称R具具有传递性有传递性n模糊传递矩阵模糊传递矩阵34吉林大学计算机科学与技术学院 模糊传递矩阵模糊传递矩阵——例例35吉林大学计算机科学与技术学院 模糊传递矩阵的定理模糊传递矩阵的定理定理定理. 设模糊矩阵设模糊矩阵 Q ∈∈Mn×n是传递是传递矩阵，则有矩阵，则有Q ⊇ ⊇Q2 ⊇ ⊇ Q3 ⊇ ⊇… ⊇ ⊇Qn-1 ⊇ ⊇Qn ⊇ ⊇…证明证明:36吉林大学计算机科学与技术学院 模糊等价关系模糊等价关系定义定义. 模糊关系模糊关系R∈∈F(U××U) ) , 满足满足（（1）自反性：）自反性：R (u,u)=1;（（2）对称性：）对称性：R(u,v)=R(v,u);（（3）传递性：）传递性：R2 ⊆ ⊆R则称则称R为为模糊等价关系模糊等价关系37吉林大学计算机科学与技术学院 模糊等价矩阵模糊等价矩阵n若论域若论域U是有限论域，则是有限论域，则U上的模糊上的模糊等价关系等价关系R可表示为模糊等价矩阵可表示为模糊等价矩阵n模糊等价矩阵模糊等价矩阵n自反性自反性 rii = 1n对称性对称性 rij = rjin传递性传递性38吉林大学计算机科学与技术学院 R是否为模糊等价矩阵？是否为模糊等价矩阵？设论域设论域U={x1, x2}，，39吉林大学计算机科学与技术学院 等价布尔关系等价布尔关系n一个布尔矩阵具有如下特性，则称一个布尔矩阵具有如下特性，则称其为等价的布尔矩阵，对应一个普其为等价的布尔矩阵，对应一个普通的等价关系通的等价关系n自反性自反性n对称性对称性n传递性传递性40吉林大学计算机科学与技术学院 。