第二章第二章 刚体刚体2.1 2.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动2.2 2.2 刚体定轴转动定律及其应用刚体定轴转动定律及其应用2.3 2.3 对定轴转动的角动量守恒对定轴转动的角动量守恒2.4 2.4 刚体定轴转动的功和能刚体定轴转动的功和能 2.1 2.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动2.1.1 2.1.1 平动和转动平动和转动一、刚体（一、刚体（rigid body）） 特殊的质点系，运动中形状、大小不变，理特殊的质点系，运动中形状、大小不变，理想模型二、刚体运动的几种形式二、刚体运动的几种形式刚体的平动通常用刚体刚体的平动通常用刚体质心质心的运动的运动来代表 1.1.平动平动 刚体上所有点运动均相同各点刚体上所有点运动均相同各点a, v r 也相同定轴转动定轴转动：运动中刚体上：运动中刚体上各质点均作圆周运动各质点均作圆周运动，且各，且各 圆心都在同一条固定的直线（转轴）上圆心都在同一条固定的直线（转轴）上 如门窗，电扇风叶的转动等如门窗，电扇风叶的转动等 定点转动：定点转动：运动中刚体上运动中刚体上只有一点固定不动只有一点固定不动，整个，整个 刚体绕过该固定的某一瞬时轴线转动。
刚体绕过该固定的某一瞬时轴线转动 如陀螺的运动等如陀螺的运动等2.2.转动转动 刚体不受限制的任意运动称为刚体的一般运动刚体不受限制的任意运动称为刚体的一般运动它可以视为以下两种刚体基本运动的叠加：它可以视为以下两种刚体基本运动的叠加：oΔΔ ΔΔ ·oo′′o′′3.3.平面平行运动平面平行运动刚体上各点都平行于刚体上各点都平行于某一固定平面某一固定平面的运动称为刚体的运动称为刚体的平面运动，又称刚体的平面平行运动的平面运动，又称刚体的平面平行运动如如 车轮直线滚动车轮直线滚动4.4.一般运动一般运动1））随基点随基点O的平动；的平动；2））绕通过基点绕通过基点O的瞬时的瞬时 轴的定点转动轴的定点转动 P P点线速度点线速度P P点线加速度点线加速度旋转加速度旋转加速度向轴加速度向轴加速度v ωωrrP×× 基点基点O刚体刚体刚体绕刚体绕O O点的转动其转轴是点的转动其转轴是可以改变的，为了反映转动可以改变的，为了反映转动的方向及转动快慢，引入的方向及转动快慢，引入角速度矢量角速度矢量 和角加速和角加速度矢量度矢量瞬时轴瞬时轴转动平面转动平面2.1.2 2.1.2 角速度和角加速度角速度和角加速度 刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动 OvP××ω,ω,βrr定轴定轴刚体刚体 参参考考方方向向θθz定轴转动定轴转动 可用代数量表示可用代数量表示当当相同相同, 2.1.3 2.1.3 定轴转动刚体的转动惯量定轴转动刚体的转动惯量dmrmJ J 反映刚体转动惯性的大小反映刚体转动惯性的大小（（1 1）与刚体的）与刚体的质量质量有关。
如铁盘与木盘有关如铁盘与木盘（（2 2）在质量相同的情况下，与）在质量相同的情况下，与质量的分质量的分布布有关，如：圆盘与圆环有关，如：圆盘与圆环3 3）与）与转轴的位置转轴的位置有关一、转动惯量的定义一、转动惯量的定义 例例1 1：均匀圆环：均匀圆环( (m,R) )对于中心垂直轴的转动惯量对于中心垂直轴的转动惯量 （（1）） 选取微元选取微元 dm（（2）求）求 d J（（3）求）求 J二、几种典型刚体的转动惯量二、几种典型刚体的转动惯量RmCdm相当于质量为相当于质量为m的质点对轴的的质点对轴的J 例例2 2：求均匀圆盘：求均匀圆盘(m,R)对于中心垂直轴的转动惯量对于中心垂直轴的转动惯量（（1）） 选微元选微元d m(2)求求 d J利用上题结果利用上题结果 dJ = r2 dm(3) 求求 J解：可视圆盘由许多小圆环组成解：可视圆盘由许多小圆环组成 解解: :问问: 1)圆盘边缘有一质量为圆盘边缘有一质量为m1的小块的小块(很小很小)脱落了脱落了, 求对过中心垂直轴的求对过中心垂直轴的转动惯量转动惯量? rdrdSd 例例2 2：求均匀圆盘：求均匀圆盘(m,R)对于中心垂直轴的转动惯量对于中心垂直轴的转动惯量 例例3:3:求均匀细杆求均匀细杆( (m,L) )对质心轴及边缘轴的转动对质心轴及边缘轴的转动惯量惯量CAmL2L2xxdx可见，质量相同，形状相同，转轴不同，可见，质量相同，形状相同，转轴不同，J不同。
不同0对质心轴：对质心轴：对边缘轴：对边缘轴：对质心轴对质心轴 三三. .关于关于J的几条规律的几条规律1.对同一轴对同一轴J具有可叠加性具有可叠加性J =Jiå å Jm rzi ii= =å å 22.2.平行轴定理平行轴定理JJmdc= =+ +2 CdOmJCJ平行平行说明说明 1.1.由由平平行行轴轴定定理理可可见见，，在在各各平平行行的的转转轴轴之之中中，，通通过过质质心心的的转转轴轴对对应应的的转转动动惯量最小惯量最小2.2.两两个个都都不不通通过过质质心心的的平平行行转转轴轴之之间间不存在类似关系不存在类似关系 又如求均匀圆盘对于通过其边缘一点又如求均匀圆盘对于通过其边缘一点 O 的的平行轴的转动惯量平行轴的转动惯量: : R C mO由前面例由前面例3 3中结果中结果 【【用鼠标左键点击图中公式可出现用鼠标左键点击图中公式可出现8 8个演示动画个演示动画】】常见形状转动惯量【动画演示】常见形状转动惯量【动画演示】 竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？ 2.1.4 2.1.4 定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量 转轴转轴 miri一、刚体的角动量一、刚体的角动量（（angular momentum) 若质量连续分布若质量连续分布 2.2 2.2 刚体的定轴转动定律及应用刚体的定轴转动定律及应用 2.2 .1 2.2 .1 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律一一﹑力矩力矩外力对刚体转动的影响，不仅与力的大小有关，而且外力对刚体转动的影响，不仅与力的大小有关，而且与力的作用点的位置和方向都有关。
即，只有力矩才与力的作用点的位置和方向都有关即，只有力矩才能改变刚体的转动当能改变刚体的转动当M M=0=0时，刚体匀速转动或静止时，刚体匀速转动或静止rfmf⊥⊥f11应理解为在转动平面内应理解为在转动平面内 大小：大小：方向方向:沿沿 二二﹑转动定律转动定律把刚体看成由把刚体看成由N N个质点组成的质点系个质点组成的质点系利用牛顿第二定律利用牛顿第二定律 θθ ω, ,β定轴定轴刚体刚体zFimiΔΔrifi Fi ---外力，刚体外其他物体对外力，刚体外其他物体对mi 的合力的合力 fi ---内力，刚体内其他质点对内力，刚体内其他质点对mi的合力的合力 对对mi 对转轴的力矩为零对转轴的力矩为零 对所有质点列出此式，并求和对所有质点列出此式，并求和 刚体的转动惯量刚体的转动惯量 内力矩成对出现，且大小相等内力矩成对出现，且大小相等方向相反，作用在一条直线上方向相反，作用在一条直线上J 反映刚体转动惯性的大小反映刚体转动惯性的大小 上式上式 2.2.定轴下可不写角标定轴下可不写角标 zMFJma~~~βì ìí íï ïî îï ï4.4.与牛顿第二定律比较与牛顿第二定律比较与与 方向相同的力矩取正方向相同的力矩取正与与 方向相反的力矩取负方向相反的力矩取负 力矩的正方向：力矩的正方向：刚体所受的对于某固定转轴的合外力矩等于刚体刚体所受的对于某固定转轴的合外力矩等于刚体对同对同一转轴一转轴的转动惯量与它所获得的角加速度的乘积。
的转动惯量与它所获得的角加速度的乘积刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律讨论讨论瞬时关系瞬时关系3.3. β ∝∝ M，，方向相同，瞬时关系，对同一轴方向相同，瞬时关系，对同一轴 只适用于惯性系只适用于惯性系是对是对z轴外力矩的代数和轴外力矩的代数和 2.2.2 转转动定律应用举例动定律应用举例 解题步骤解题步骤: : 1.1.认刚体认刚体; 2.; 2.定转轴定转轴, ,找运动找运动; ; 3.3.分析力和力矩分析力和力矩; 4.; 4.定转向定转向, ,列方程 特别注意特别注意: : 1.1.明确明确转动轴转动轴位置2.2.选定转动的选定转动的正方向正方向, ,注意力矩、角速度、角注意力矩、角速度、角加速度的正负加速度的正负 3.3.同一方程式中所有量都必须相对同一方程式中所有量都必须相对同一转轴同一转轴两类问题两类问题: :（（1 1）由角量运动）由角量运动, ,求力矩 (微分法微分法) )（（2 2）由力矩及初始条件）由力矩及初始条件, ,求刚体运动求刚体运动 (积分法积分法) ) 对轮：对轮：对对m :定轴定轴O·Rthmv0=0绳绳解：轮与解：轮与m为联结体为联结体,轮为定轮为定轴转动、轴转动、m为平动为平动,但二者用但二者用绳联系起来。
绳联系起来m的速度大小与的速度大小与轮边缘线速度大小相等轮边缘线速度大小相等mgT ' = - Tm例例1.己己知知：：定定滑滑轮轮上上绕绕一一细细绳绳，，绳绳一一端端固固定定在在盘盘上上，，另另一一端端挂挂重重物物m绳绳与与轮轮无无相相对对滑滑动动，，绳绳不不可可伸伸长长轮轮半半径径R=0.2m，，m=1kg, m下下落落时时间间 t = 3 s，，v0=0, h=1.5m求：轮对求：轮对O轴轴 J = ? 运动学关系：运动学关系：联立解得：联立解得：(3)(4)定轴定轴O·Rthmv0=0绳绳 例例2：如图，设滑块：如图，设滑块A，重物，重物B及滑轮及滑轮C的质量分别为的质量分别为MA，，MB，，MC滑轮滑轮C是半径为是半径为 r 的的均匀圆板均匀圆板滑块A与桌面之与桌面之间，滑轮与轴承之间均无摩擦，轻绳与滑轮之间无滑动间，滑轮与轴承之间均无摩擦，轻绳与滑轮之间无滑动 求求:（（1））滑块滑块A的加速度的加速度a （（2）滑块）滑块A与滑轮与滑轮C之间绳的张力之间绳的张力T1，， （（3）滑轮）滑轮C与重物与重物B之间绳的张力之间绳的张力T2。
ABCT2MBgT1MAgNT2′ T1′ N′ MCg解：解：AB ABC选正方向选正方向解方程得解方程得列方程：列方程：其中其中 例例3：某飞轮直径：某飞轮直径 d=50cm, 绕中心垂直轴转动，绕中心垂直轴转动，转动惯量转动惯量 J=2.4千克千克·米米2, 转速转速n0=1000转转/分，若分，若制动时闸瓦对轮的压力为制动时闸瓦对轮的压力为 N=490牛，闸瓦与轮牛，闸瓦与轮间的滑动摩擦系数间的滑动摩擦系数 =0.4问：制动后飞轮转过多少圈停止？问：制动后飞轮转过多少圈停止？fd(1) 求求 β由转动定律由转动定律(以向外为正以向外为正) （（2 2）求圈数）求圈数 m O例例4.己知：质量为己知：质量为m、半、半径为径为R的的均匀圆盘均匀圆盘初角速度初角速度 ,绕中心轴逆时针转动空气对圆盘表面单位面积的摩擦力绕中心轴逆时针转动空气对圆盘表面单位面积的摩擦力正比其线速度正比其线速度,即即 不计轴承处的摩擦不计轴承处的摩擦 求：圆盘在停止转动时所转过的圈数求：圆盘在停止转动时所转过的圈数N=?1. 取取刚体刚体m为研究对象，轴为为研究对象，轴为O。
2. 取逆时针转为正方向取逆时针转为正方向r解：解：3. 用积分法求力矩用积分法求力矩在半径为在半径为r、、宽度为宽度为dr的面积元的面积元dS上的质元上的质元具有相同的线速度具有相同的线速度v则则dS上阻力的大小为上阻力的大小为:dSr不同时，不同时，v不同，力不同，力不同，力不同，力臂也不同，需要划分微元求臂也不同，需要划分微元求M 考虑盘的上下表面，故阻力矩大小为考虑盘的上下表面，故阻力矩大小为总阻力矩总阻力矩mOrdS 利用刚体定轴转动定律利用刚体定轴转动定律分离变量分离变量 2.3 对定轴转动的角动量守恒对定轴转动的角动量守恒 一、质点系角动量定理一、质点系角动量定理分量式：分量式：质点系对质点系对某轴某轴的角动量随时间的变化率等于质点的角动量随时间的变化率等于质点系中各质点所受外力对系中各质点所受外力对同一轴同一轴的力矩的代数和的力矩的代数和质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒定律对于有限时间对于有限时间 质点系角动量定理同样适用于刚体质点系角动量定理同样适用于刚体刚体对刚体对某轴某轴的冲量矩等于该段时间内刚体的冲量矩等于该段时间内刚体对对同一轴同一轴角动量的增量角动量的增量刚体定轴转动的角动量定理：刚体定轴转动的角动量定理：二、刚体的角动量定律二、刚体的角动量定律 在在t1到到t2的时间内，角动量由的时间内，角动量由L1变到变到L2:是刚体对是刚体对z轴的角动量轴的角动量 三、三、 刚体角动量守恒定律刚体角动量守恒定律当合外力矩当合外力矩------刚体角动量守恒定律刚体角动量守恒定律角动量守恒情况如下几种角动量守恒情况如下几种: :(a) J, ω都不变，所以都不变，所以L=Jω=const(b) J, ω都变化都变化，，但是但是L=Jω=const(c) (c) 刚体组角动量守恒刚体组角动量守恒如：花样滑冰，芭蕾舞，体操，跳水等运动项目的动作如：花样滑冰，芭蕾舞，体操，跳水等运动项目的动作若刚体由几部分组成，且都若刚体由几部分组成，且都绕同一固定轴转动绕同一固定轴转动这时角动量可以在刚体组内部传递这时角动量可以在刚体组内部传递 美国航天局科学家理查德美国航天局科学家理查德·格格罗斯表示，里氏罗斯表示，里氏9 9级的日本大级的日本大地震导致当天地球的自转时地震导致当天地球的自转时间减少了间减少了1.81.8微秒，即每天的微秒，即每天的时间减少了时间减少了1.81.8微秒微秒。
地震与地球自转地震与地球自转 例：质量为例：质量为M，半径为，半径为R的水平放置的的水平放置的均匀圆盘均匀圆盘，以角，以角速度速度 1绕垂直于圆盘并通过盘心的光滑轴，在水平面内绕垂直于圆盘并通过盘心的光滑轴，在水平面内转动时，有一质量为转动时，有一质量为m的小物块以速度的小物块以速度v垂直落在垂直落在圆圆盘的盘的边沿上，并粘在盘上，求：（边沿上，并粘在盘上，求：（1）小物块粘在盘上后，）小物块粘在盘上后，盘的角速度盘的角速度 2=？（？（2））小物块在碰撞过程中受到的冲量小物块在碰撞过程中受到的冲量 I 的方向及大小的方向及大小mvRM 解：以解：以 m, M为一个系统，过程中其为一个系统，过程中其所受和外力矩为零，角动量守恒所受和外力矩为零，角动量守恒碰前碰前m对轴的角动量为零，但其动量不为零对轴的角动量为零，但其动量不为零 （（2））求求 I 应用动量定理应用动量定理碰撞前后碰撞前后 m 动量方向不同，分方向讨论动量方向不同，分方向讨论讨论：讨论：1 1）碰撞过程中动能是否守恒？）碰撞过程中动能是否守恒？2 2）角动量守恒时，动量不一定守恒角动量守恒时，动量不一定守恒。
方向向上方向向上方向沿切线方向沿切线平行于轴平行于轴垂直于轴垂直于轴 方向与方向与 方向相同方向相同进动：高速自旋的物体的转轴在空间转动的现象进动：高速自旋的物体的转轴在空间转动的现象重力矩：重力矩： M=mgr角动量定理角动量定理: :2.3.3 回转仪回转仪dt 时间内轴时间内轴 沿沿 方向方向转过转过 角角 vvvvMdLdt= =dLMdtMvvvvvv= =∥∥进动实例：陀螺进动进动实例：陀螺进动即即：： ®® ¯ ¯W W ，， 以上只是近似讨论，因为当旋进发生后：以上只是近似讨论，因为当旋进发生后：只有高速自转只有高速自转 >>>> W W 时，时，这时才有这时才有才有才有当考虑到当考虑到 vvW W 对对 的贡献时，的贡献时， 自转轴在旋进自转轴在旋进时还会出现时还会出现微小的上下的周期摆动，微小的上下的周期摆动， 这种运动叫这种运动叫章动章动 (nutation) 陀螺仪和常平架陀螺仪和常平架陀螺仪不受重力的力矩，且能在空间任意取向陀螺仪不受重力的力矩，且能在空间任意取向 前轮教你学自行车前轮教你学自行车 GyrowheelGyrowheel轮内装着一个轮内装着一个陀螺仪陀螺仪装置，这是个以最高装置，这是个以最高每分钟每分钟2 2千转快速旋转的飞轮，巧妙地借用了陀螺仪的千转快速旋转的飞轮，巧妙地借用了陀螺仪的“进动进动”特性来稳定自行车。
这个飞轮旋转时与自行车特性来稳定自行车这个飞轮旋转时与自行车轮子是相互独立的当一个力（这里是指骑车人的倾斜轮子是相互独立的当一个力（这里是指骑车人的倾斜跌落）作用在高速旋转飞轮上的时候，陀螺仪并不跌落，跌落）作用在高速旋转飞轮上的时候，陀螺仪并不跌落，而只是朝跌落的方向进动，帮助而只是朝跌落的方向进动，帮助GyrowheelGyrowheel保持稳定保持稳定 2.4 2.4 刚体定轴转动的功和能刚体定轴转动的功和能 内力矩的功内力矩的功 2.4.12.4.1力矩的功力矩的功力矩的空间积累效应力矩的空间积累效应(M应理解为合外力矩应理解为合外力矩) ) 力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率 d zxωω ·轴轴 2.4.2 2.4.2 定轴转动刚体的机械能定轴转动刚体的机械能1.1.动能动能刚体的转动动能刚体的转动动能：：刚体的刚体的转动动能转动动能就是组成刚体的各质点就是组成刚体的各质点平动动能平动动能之和，他们是动能的不同表达形式之和，他们是动能的不同表达形式质点系动能：质点系动能： 2.2.刚体的重力势能刚体的重力势能各质元重力势能的总和，就是刚体的重力各质元重力势能的总和，就是刚体的重力势能。
势能刚体的重力势能等于其质量集中在质心时刚体的重力势能等于其质量集中在质心时所具有的重力势能所具有的重力势能××ChchimiΔΔEp=0 定轴转动动能定理定轴转动动能定理: : 2.4.3 定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理 1.1.动能定理动能定理转动定律转动定律 2.2.定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：质点系功能原理对刚体仍成立：若体系是一个包含刚体、质点、弹簧等复杂系统时若体系是一个包含刚体、质点、弹簧等复杂系统时五、机械能守恒定律五、机械能守恒定律对于包括刚体在内的体系，若只有保守内力作功对于包括刚体在内的体系，若只有保守内力作功则系统机械能守恒则系统机械能守恒应包括系统中所有物体的势能应包括系统中所有物体的势能 初始：初始：令令末态：末态：则：则：(1)解：杆解：杆+地球系统，只有重力作功，地球系统，只有重力作功，E守恒守恒【【例例】】已知：均匀直杆质量已知：均匀直杆质量m,长长l,初始水平静止初始水平静止,轴轴光滑光滑,AO=l/4。
求：杆下摆求：杆下摆θ角后，角速度角后，角速度ω是多少？是多少？ 轴对杆作用力的大小和方向？杆作用力的大小和方向？ 由平行轴定理由平行轴定理 (2)由（由（1）、（）、（2）得：）得：质心运动定理：质心运动定理： (3)方向：方向： (4)方向：方向：(1) 由由(3)(4)(5)(6)可解得：可解得： (5) (6) 利用动能定理解该题：利用动能定理解该题： = = 267glsin 例：已知圆盘半径为例：已知圆盘半径为R，质量为，质量为M，在垂直平面内可，在垂直平面内可绕过中心水平轴转动，将跨在圆盘上的轻绳分别联接绕过中心水平轴转动，将跨在圆盘上的轻绳分别联接倔强系数为倔强系数为k的弹簧和质量为的弹簧和质量为m的物体，设轮轴光滑，的物体，设轮轴光滑，绳不伸长，绳与轮间无相对滑动，今用手托住绳不伸长，绳与轮间无相对滑动，今用手托住m使弹使弹簧保持原长，然后静止释放求簧保持原长，然后静止释放求（（1 1））m 下落下落 h 距离距离时的速度时的速度2 2）弹簧的最大伸长量弹簧的最大伸长量解：取解：取 m + M + 绳绳 + 弹簧弹簧 + 地球地球 为一系统为一系统hmMRk外力：轴承支承力和地面对外力：轴承支承力和地面对弹簧的支承力功为零。
弹簧的支承力功为零内力：重力，弹性力为保守力内力：重力，弹性力为保守力, ,绳不伸长，张力功为零绳与轮绳不伸长，张力功为零绳与轮间无相对滑动，摩擦力功为零间无相对滑动，摩擦力功为零 系统机械能守恒，系统机械能守恒，设下落设下落h处势能为零处势能为零hmMRk（（1））m下落下落h时的速度时的速度 YmMRk（（2）弹簧的最大伸长量弹簧的最大伸长量系统机械能守恒，系统机械能守恒，设下落设下落Y处势能为零处势能为零 解解：：例：如图，一匀质圆盘例：如图，一匀质圆盘(M,R)可在竖直平面内绕光滑可在竖直平面内绕光滑的中心垂直轴旋转，初始时，圆盘处于静止状态，一的中心垂直轴旋转，初始时，圆盘处于静止状态，一质量为质量为m的粘土块从的粘土块从h高度处自由落下，与圆盘碰撞后高度处自由落下，与圆盘碰撞后粘在一起，之后一起转动已知：粘在一起，之后一起转动已知：M=2m , =600（（1）） m自由下落自由下落求：碰撞后瞬间盘的求：碰撞后瞬间盘的P转到转到x轴时盘的轴时盘的碰前碰前m速度：速度：(1) 碰撞碰撞 t 极小，对极小，对 m +盘系统，冲力远大于重盘系统，冲力远大于重力，故重力对力，故重力对O力矩可忽略，力矩可忽略，角动量守恒：角动量守恒：对对m+M+地球系统，地球系统，只有重力做功，只有重力做功，E 守恒守恒，，令令P,x 重合时重合时, ,Ep=0（（4）） （（5）） (1)（（2）） （（3）） 由由(3)、、(4)、、(5)得：得： 质点力学与刚体力学物理量和物理规律对比质点力学与刚体力学物理量和物理规律对比11. 仅保守内力做功仅保守内力做功机械能守恒机械能守恒角位置，角速度，角加速度角位置，角速度，角加速度转动惯量转动惯量力矩力矩转动定律转动定律角动量角动量角动量定理角动量定理角动量守恒角动量守恒力矩的功力矩的功转动动能转动动能转动动能定理转动动能定理 。