中考考点——二次函数知识点汇总(全)

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1、2v1.0可编辑可修改内容： 1、一元一次函数；2、一元二次函数；3、反比例函数二次函数知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如y axbxca，b，c（a 0，而是常数， a0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数2.二次函数 y ax数是 22b，c可以为零二次函数的定义域是全体实数bxc的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，的最高次xa，b，c是常数，是二次项系数，ab是一次项系数，是常数项c二、二次函数的基本形式：1.二次函数基本形式：二次函数hy ax2bx c用配方法可化成：y a xhk2的形式，其中b， k2 a4

2、acb24 a.2. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： yax2； yax2k； ya xh2； ya xh2k； yax2bxc三、二次函数的性质：1、yax2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。开口方向a的符号顶点坐标对称轴性质x 0时，随的增大而增大； x0 ，0yx0时，随ya0向上y轴有最小值x 0yxxy时，随的增大而减小；0时， 随x的增大而减小；x 0时，y0a0向下0 ，0y轴x的增大而增大；x 0时，有最大值y02.y ax2c的性质：上加下减。- 1 -第- 1 -页 共 22 页v1.0可编辑可修改a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时，随 x 的增

3、大而增大； x 0时，随y轴yya0向上0 ，cx的增大而减小；时，有最小值yyycx 0ycx0时，随 x 的增大而减小； x 0时，随y轴a0向下0 ，cx的增大而增大； x 0时，有最大值3.ya xh2的性质：左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x h时，随 x 的增大而增大； x h时，随yya0向上h ，0X=hx的增大而减小；时， 有最小值 时，x hy0x ha02随的增大而减小；时，随x hy0yxx hy向下h ，0X=hx4.y a x hk的性质：的增大而增大；时， 有最大值 a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x h时，随 x 的增大而增大； x h时，随yya

4、0向上h，kX=hx的增大而减小；时， 有最小值 时，x hykx ha0随的增大而减小；时，随yyxx hy向下h，kX=hx的增大而增大； x h时，有最大值 k5. 顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.6. 求抛物线的顶点、对称轴的方法y ax(1)公式法：2bx c a xb2a24ac b4a2（，顶点是2ab 4ac b2，）xb2a.4a，对称轴是直线(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为ya x h2- 2 -第- 2 -页 共 22 页k的形式，得到顶点为( , ) ，对称轴是h

5、 kv1.0可编辑可修改xh.(3) 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.四、二次函数图象的平移：21. 平移步骤：方法一： 保持抛物线将抛物线解析式转化成顶点式h，ky a x hk，确定其顶点坐标h ，k ；yax2的形状不变，将其顶点平移到2处，具体平移方法如下：2向上 (k0)【或向下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0) 【或下 (k0) 】平移 |k|个单位y=a (x-h) +k2.平移规律：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移

6、”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：yax2bxc沿轴平移 : 向上（下）平移m个单位，yy ax2bxc变成yax2bxc2m（或 y ax2bxcm） y axbx c沿 轴 平 移 ： 向 左 （ 右 ） 平 移个 单 位 ，myax2bx c变 成ya( xm)2b( x m)2c（或 ya( x m)2b(xm) c）五、二次函数ya x hk与 y ax2bxc2的比较从解析式上看，ya xh24ack与 yax2bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，y axbb2h，其中b2，k4ac b4a即2a4a2a六、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项

7、系数a二次函数y ax2bxc中，a 作为二次项系数，显然a0- 3 -第- 3 -页 共 22 页v1.0可编辑可修改 当 a0时，抛物线开口向上，大；a的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越小，反之aa的值越小，开口越 当 a0时，抛物线开口向下，大aa的值越大，开口越总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小 在2. 一次项系数：在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴baba 0的前提下，当b0b时，2ab0，即抛物线的对称轴在yy轴左侧；当bb0时， 2a0，即抛物线的对称轴就是y轴；当 b00时，2 a，即抛物线对称轴在轴的右侧 在

8、a 0的前提下，结论刚好与上述相反， 即当bb0时，2ab0，即抛物线的对称轴在yy轴右侧；当b0b0时，2 a总结起来，在，即抛物线的对称轴就是y0轴；当 b0时，2a，即抛物线对称轴在轴的左侧a确定的前提下，bx决定了抛物线对称轴的位置b（ 3）ab的符号的判定：对称轴“左同右异”2a在轴左边则ab 0，在轴的右侧则ab 0，概括的说就是yy3.常数项： 当cc 0时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当yxyc0时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为yy0； 当 cc0时，抛物线与y轴的交点在轴下方，即抛物线与a，b，cxy轴交点的纵坐标为负总

9、结起来，决定了抛物线与y轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点x式七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于 x轴对称：y ax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；- 4 -第- 4 -页 共 22 页v1.0可编辑可修改22y a xhk关于轴对称后，得到的解析式

10、是y2xya x hk；22.关于轴对称：2yaxbx c关于轴对称后，得到的解析式是2yyaxbxc；y a xhk关于轴对称后，得到的解析式是yax2yya xhk；y3. 关于原点对称：2bx c关于原点对称后，得到的解析式是2ax2bxc；y a4.x hk关于原点对称后，得到的解析式是ya x hk；关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转ax180）：yax2bxc关于顶点对称后，得到的解析式是y2bxcb2222a；ya x hk关于顶点对称后，得到的解析式是2yax hk5. 关于点ya xh 2mm，n对 称 ： y a x h2k关于点m，n对称后，得到的解析式是2nk根据对称的

11、性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程 ax2bx c0是二次函数当b2yax2bxc当函数值xy0时的特殊情况 .图象与轴的交点个数：2x4ac0时，图象与轴交于两点A x ，0 ，B1x2，0 (x1b24acx2 )，其中的x1，xAB x2

12、 x1是一元二次方程时，图象与ax2bx c0 a 0的两根这两点间的距离a. 当0轴只有一个交点；x 当0时，图象与轴没有交点 .0；0x1当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有yy2当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有22.抛物线 y axbx c的图象与轴一定相交，交点坐标为- 5 -第- 5 -页 共 22 页y(0， c)；v1.0可编辑可修改3.二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数yax2bx c中 a

13、 ，b， c 的符号，或由二次函数中a， b，的符号判c断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个x2 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax bx c(a 0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以 a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系0抛物线与两个交点x轴有轴只轴无二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点0抛物线与交点x九、函数的应二次三项式的值恒为正一元

14、二次方程无实数根 .用刹车距离最大面积是多少何时获得最大利润二次函数考查重点与常见题型1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x为自变量的二次函数y(m 2) x2m2m 2的图像经过原点，则m的值是（）。2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数数y kx b的图像在第一、二、三象限内，那么函ykx2bxy1的图像大致是（yy）y- 6 -第- 6 -页 共 22 页v1.0可编辑可修改10 xA1o-1 xBC0 x0 -1 xD3、考查用待定系数法求二次函数的解析

15、式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性x的综合题，如：已知一条抛物线经过53，求这条抛物线的解析式。(0,3) ， (4,6) 两点，对称轴为4、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线y ax2bxc（ a 0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、 3，与 y 轴交点的纵坐标是32（ 1）确定抛物线的解析式；（ 2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。.【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号c例 1 （ 1）二次函数A第一象限yax2M (b, )bx c的图像如图1

16、，则点a在（）D 第四象限B第二象限 C 第三象限（ 2）已知二次函数y=ax2+bx+c （ a0）的图象如图 2 所示， ?x=3 时，函数值相等；则下列结论： a、 b 同号；当 x=1 和4a+b=0；当 y=-2 时， x 的值只能取 0. 其中正确的个数是（）A1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个(1)(2)a， b， c 之间的关系，是解决问题的关键【点评】弄清抛物线的位置与系数例 2. 已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于点 (-2 ， O)、(x1 ，0) ，且 1x12，与 y 轴的正半轴的交点在点 (O，2) 的下方 下列结论： abO； 4a+cO

17、，其中正确结论的个数为( )A 1个B. 2个C. 3个 D 4 个例 3. 已知：关于x 的一元二次方程线 x=2，则抛物线的顶点坐标为( )答案： D会用待定系数法求二次函数解析式ax2+bx+c=3 的一个根为x=-2 ，且二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴是直- 7 -第- 7 -页 共 22 页v1.0可编辑可修改A(2， -3) B.(2， 1) C(2，3) D(3 ，2)答案： C例 4. 已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a交 y半 于C 点，且 足的 象 点P(4，10)，交x于A( x ,0) B( x ,0)1，2两点(x1x )2，3AO=OB(1) 求二

18、次函数的解析式；(2) 在二次函数的 象上是否存在点M，使 角 MCO ACO 若存在， 你求出M点的横坐 的取 范 ；若不存在， 你 明理由(1) 解：如 抛物 交 x 于点 A(x1 ， 0) ， B(x2 ， O)，x1 x2=30，又 x1O， x1O， 30A=OB， x2=-3x1 x1x2=-3x12=-3 x12=1.x10， x1=-1 x2=3点 A(-1 ， O)， P(4 ， 10) 代入解析式得解得二次函数的解析式(2) 存在点 M使 MC0ACOa=2 b=3y-2x2-4x-6 (2) 解：点 A 关于 y 的 称点 A (1 ， O)，直 A，C 解析式 y=6

19、x-6直 AC 与抛物 交点 (0 ， -6) ，(5， 24) 符合 意的 x 的范 -1x0 或 Ox5当点 M 的横坐 足 -1xO 或 Ox ACO例 5、 某 品每件成本 10 元，段每件 品的 售价系如下表：x（元） ? 与 品的日 售量y（件）之 的关x（元）1520203010y（件）25若日 售量 y 是 售价 x 的一次函数（ 1）求出日 售量 y（件）与 售价 x（元）的函数关系式；（ 2）要使每日的 售利 最大，每件 品的 售价 定 多少元? 此 每日 售利 是多少元- 8 -第- 8 -页 共 22 页v1.0可编辑可修改15k b【解析】（ 1）设此一次函数表达式为

20、 y=kx+b则25,2kb20解得 k=-1 ， b=40，? 即一次函数表达式为 y=-x+40 （ 2）设每件产品的销售价应定为2+225产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元： w=（ x-10）（ 40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）25 元，此时每日获得最大销售利润为225 元二次函数知识点汇总用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失2 y ax9.抛物线bx c中， a, b, c的作用ax2中的完全一样 . 由于抛物线(1)a决定开口方向及开口大小，这与和ya(2)b共同决定抛物线对称轴的位置ybay ax bx2cyxb的对称轴是

21、直线2a, 故： b0时，对称轴为轴；0a0( 即、b同号 ) 时 , 对称轴在a轴左侧；ba( 即、异号 ) 时 , 对称轴在轴右侧 .aby(3)c的大小决定抛物线当 xy ax2bxc2与轴交点的位置 .y0时，y c，抛物线cyaxbxc与轴有且只有一个交点 (0 ， ) ：ycc 0，抛物线经过原点 ; 0 , 与轴交于正半轴；yc0 , 与轴交于负半轴 .yb以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则a0.函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yyax2当a0时x0(y轴)(0,0)ax2k2开口向上当x0(y轴)(

22、0,k)ya x h ya x ha20时xxhh(h ,0)开口向下k( ,k)h- 9 -第- 9 -页 共 22 页v1.0可编辑可修改y ax2bx cxb2ab4ac，(2ab24a)11. 用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：yyax2bx2c . 已知图像上三点或三对x、的值，通常选择一般式 .y(2)顶点式：a xhk . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3) 交点式：已知图像与12. 直线与抛物线的交点x轴的交点坐标1、2，通常选用交点式：xxy a x xx x12.(1)y轴与抛物线yax2bx c得交点为 (0 , c)(2)与y轴平行的直线 xh与抛

23、物线yax2bxcc有且只有一个交点 (h ,ah2bh c).(3)抛物线与轴的交点：二次函数2一元二次方程axbx cxyax2bx的图像与轴的两个交点的横坐标xxx1、2，是对应0的两个实数根 . 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根x的判别式判定：有两个交点0抛 物 线 与 x轴 相 交 ； 有 一 个 交 点 ( 顶 点 在 x轴上 )0抛物线与轴相切；没有交点x0抛物线与轴相离 .x(4) 平行于轴的直线与抛物线的交点同 (3) 一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，x两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个

24、实数根 .(5) 一次函数ykx n k0的图像 l与二次函数yax2bxc a0的图像的交点，由方程组Gyykxnax2bxc的解的数目来确定：lG方程组有两组不同的解时方程组只有一组解时与有两个交点 ;lG与只有一个交点；方程组无解时y2lG与没有交点 .(6)抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线xaxbxcx与xx12ba轴两交点为ca2A x ，B x ，1020，由于,xx1x1、x2是方程ax2bx c0的两个根，故2ba2ABx1x2x1x22x1 x24x1 x24cab24acaa- 10 -第- 10 - 页 共 22 页v1.0可编辑可修改13二次函数与一元二次方程的关

25、系：(1) 一元二次方程y(2)二次函数二次函数次方程 axax22bx cc就是二次函数y ax2bx c当函数 y 的值为 0 时的情况yax2bx的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当y0xyaxbxc的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当x时自变量的值，即一元二x2bxc0的根轴有两个交点时，则一元二次方程y ax有两个不y axcx相 等 的 实 数 根 ； 当 二 次 函 数bx的 图 象 与轴 有 一 个 交 点 时 ， 则 一 元 二 次 方 程(3)当二次函数yax2bx c的图象与x2bx c2ax2bx c次方程 ax20有两个相等的实数根；当二

26、次函数y ax2bx c的图象与轴没有交点时，则一元二xbxc0没有实数根14. 二次函数的应用：(1) 二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大( 小 ) 值；(2) 二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大( 小 ) 值15. 解决实际问题时的基本思路：(1) 理解问题； (2) 分析问题中的变量和常量； (3) 用函数表达式表示出它(5) 检验结果的合理性，对问题加以拓展等们之间的关系； (4) 利用二次函数的有关性质进行求解；黄冈中学“没有学不好滴数学”系列之十二二次函数知识点详解（最新

27、原创助记口诀）知识点四，正比例函数和一次函数1、一般地，如果ykxbkx（k， b 是常数， k 0），那么 y 叫做 x 的一次函数。特别地， 当一次函数yb中的 b 为 0 时，ykx（ k 为常数， k 0）。这时， y 叫做 x 的正比例函数。2、一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数ykxb的图像是经过点（0， b）的直线；正比例函数ykx的图像是经过原点（0，0）的直线。k 的符号b 的符号函数图像图像特征- 11 -第 - 11 -页共 22 页yv1.0可编辑可修改图像经过一、二、三象限，b00xy 随 x 的增大而增大。

28、k0y图像经过一、三、四象限，b0y 随 x的增大而减小0xK0y图像经过二、三、四象限，b0 时，图像经过第一、三象限，（ 2）当 k0 时， y 随 x 的增大而增大（2）当 k0k (k 0)xk0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随 x 的增大而减小。当 k00)a0图像yy- 15 -第- 15 - 页 共 22 页v1.0可编辑可修改0x0x（ 1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（ 1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；bb2a，bb2a，（ 2）对称轴是 x=2a（ 2）对称轴是 x=2a，顶点坐标是（，顶点坐标是（4acb2）；4acb24a）；4ab

29、b（ 3）在对称轴的左侧，即当x2a时， y 随（ 3）在对称轴的左侧，即当x2axb2a时， y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；时， y 随 x 的增大而减小，简记左增右b（ 4）抛物线有最低点，当x=减；2a时， y 有最小by最小值值，4acb2（ 4）抛物线有最高点，当 x=y最大值大值，2a时， y 有最4a4ac b24a2、二次函数yax2bxc(a,b,c是常数，a 0)中， a、 b、c的含义： a表示开口方向： a0时，ba0 时，图像与 x=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0)【或向下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0) 【

30、或下 (k0) 】平移 |k|个单位y=a (x-h) +k2平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）特别记忆 - 同左上加异右下减( 必须理解记忆)y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在Y 轴右侧异右说明函数中 ab 值同号，图像顶点在向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减。k直线斜率：tany2x2y1x1b为直线在 y 轴上的截距4、直线方程：两点由直线上两点确定的yy kx1b (tan )xby2y1x( xx )1直线

31、的两点式方程，简称两式 :x2x1此公式有多种变形牢记；点斜yykx(x x )11；斜截直线的斜截式方程，简称斜截式: y kx b(k 0)- 17 -第- 17 - 页 共 22 页v1.0可编辑可修改xayb1截距由直线在 x轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：y5、设两条直线分别为，l1：yk1 x b1l2：yk2 x b2若l1/ l2，则有l1 / l2k1 k2且b1 b2。d若 l1l2k1k21，点P（ x0 ， y0 ）到直线y=kx+b( 即： kx-y+b=0)的距离 :kx0y0bkx0y0bk2( 1)2抛物线k21yax2bxc中， a b c,

32、的作用（ 1）决定开口方向及开口大小，这与（ 2）和共同决定抛物线对称轴的位置xayax2中的完全一样 .abab.由于抛物线 y ax2bxc的对称轴是直线b0b2aa，故：b0时，对称轴为轴；bxya（即、同号）时，对称轴在同左异右ab0y轴左侧；a（即、异号）时，对称轴在轴右侧 .（ 3）的大小决定抛物线y当by口诀 -cax2c与轴交点的位置 .yx0时，yc，抛物线yax2bxc与轴有且只有一个交点（ 0，yc）： c 0，抛物线经过原点 ; c0, 与轴交于正半轴； cy0, 与轴交于负半轴 . 以上三点中， 当结论和条件互换时，yb仍成立 . 如抛物线的对称轴在十一、初中数学助记

33、口诀y0.轴右侧，则a( 函数部分 )特殊点坐标特征 : 坐标平面点 (x,y),横在前来纵在后； (+,+),(-,+),(-,-)和 (+,-),四个象限分前后； X 轴上 y 为 0,x 为 0 在 Y 轴。对称点坐标 : 对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆，X 轴对称 y 相反 ,Y 轴对称 ,x 前面添负号； 原点对称最好记 , 横纵坐标变符号。自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式写成y=k （ x+0） +b、二次函数的解析式写成同左上加异右下减y=a（ x+h）2+k 的形式，则用下面后

34、的口诀“左右平移在括号, 上下平移在末稍,一次函数图像与性质口诀: 一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单- 18 -第- 18 - 页 共 22 页, 经过原点一直线；两个v1.0可编辑可修改系数 k 与 b, 作用之大莫小看，k 是斜率定夹角,b 与 Y 轴来相见 ,k 为正来右上斜 ,x 增减 y 增减； k 为负来左下展 , 变化规律正相反；k 的绝对值越大, 线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀: 二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点, 它们确定图象现；开口、a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同, 纵标函数最值见。大小由 a 断,c 与 Y 轴来

35、相见 ,b 的符号较特别，符号与右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴若求对称轴位置, 符号反 , 一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀: 反比例函数有特点, 双曲线相背离的远;k为正 , 图在一、三( 象 ) 限 ,k为负 , 图在二、四 ( 象 ) 限; 图在一、 三函数减 , 两个分支分别减。图在二、 四正相反 , 两个分支分别添 ; 线越长越近轴,永远与轴不沾边。正比例函数是直线，图象一定过圆点，k 的正负是关键，决定直线的象限，负k 经过二四限， x 增大 y 在减，上下平移k 不变，由引得到一次线，向上加是关键。b 向

36、下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数反比例函数双曲线，待定只需一个点，正变，对称轴是角分线x、 y 的顺序可交换。k 落在一三限， x 增大 y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不二次函数抛物线，选定需要三个点，a、 b 同号轴左边抛物线平移1a 的正负开口判， c 的大小 y 轴看，的符号最简便， x 轴上数交点，a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。对称点坐标 :对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆，X 轴对称 y 相反 , Y 轴对称 ,x 前面添负号；原点对称最好记 , 横纵坐标变符号。cx关于轴对称后，得到的解析式y2x关于轴对称yax2bx是2ax2

37、bxc；y a x hk关于轴对称后，得到的解析式是2xya xhk；y2关于 y轴对称y ax2bxc关于轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；y a x h关于原点对称k关于轴对称后，得到的解析式是yya xhk；- 19 -第- 19 - 页 共 22 页v1.0可编辑可修改yax2bxc2关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc；2ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是yax hk关于顶点对称2yax2bxc2b22a ；2yax2bxc关于顶点对称后，得到的解析式是ya x h关于点k关于顶点对称后，得到的解析式是yax hkm，n对称2ya x hk关于点m，n对称后，得

38、到的解析式是ya x h2m2nka根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式口诀 - - Y反对 X， X 反对 Y，都反对原点2自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成二次函数的解析式写成y=k（ x+0）+b，y=a（x+h） 2+k 的形式，则用下面后的口诀：“左右

39、平移在括号一次函数图像与性质口诀, 上下平移在末稍 , 左正右负须牢记 , 上正下负错不了”。, 经过原点一直线；两个: 一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单系数 k 与 b, 作用之大莫小看， k 是斜率定夹角 ,b左下展 , 变化规律正相反；二次函数图像与性质口诀与 Y 轴来相见 ,k 为正来右上斜 ,x 增减 y 增减； k 为负来k 的绝对值越大 , 线离横轴就越远。: 二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点, 它们确定图象限；开口、大小由 a 断 ,c 与 Y 轴来相见 ,b 的符号较特别， 符号与 a 相关联； 顶点位置先找见， Y 轴作为参考线，左同右异中为

40、 0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴, 纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反 , 一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀:- 20 -第- 20 - 页 共 22 页v1.0可编辑可修改反比例函数有特点, 双曲线相背离的远;k 为正 , 图在一、三 ( 象 ) 限； k 为负 , 图在二、四 ( 象 ) 限 ;图在一、 三函数减 , 两个分支分别减； 图在二、 四正相反 , 两个分支分别添 ; 线越长越近轴 , 永远与轴不沾边。函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过原点，k 的正负是关键，决定直线的象限，负k 经过二四限， x

41、增大 y 在减，上下平移k 不变，由引得到一次线，向上加b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键；反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k 落在一三限， x 增大 y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、 y 的顺序可交换；a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x 轴上数交点，二次函数抛物线，选定需要三个点，a、 b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。求定义域：求定义域有讲究，四项原则须留意。负数不能开平方，分母为零无意义。指是分数底正数，数零没有零次幂。 限制条件不唯一，满足多个不等式。求定义域

42、要过关，四项原则须注意。负数不能开平方，分母为零无意义。分数指数底正数，数零没有零次幂。限制条件不唯一，不等式组求解集。解一元一次不等式：先去分母再括号，移项合并同类项。系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。先去分母再括号，移项别忘要变号。同类各项去合并，系数化“1”注意了。同乘除正无防碍，同乘除负也变号。a 正开口它解一元二次不等式：首先化成一般式，构造函数第二站。判别式值若非负，曲线横轴有交点。向上，大于零则取两边。代数式若小于零，解集交点数之间。方程若无实数根，口上大零解为全。小于零将没有解，开口向下正相反。用公式法解一元二次方程：要用公式解方程，首先化成一般式。调整系数随其后，使其成为最

43、简比。确定参数 abc，计算方程判别式。判别式值与零比，有无实根便得知。有实根可套公式，没有实根要告之。用常规配方法解一元二次方程：左未右已先分离，二系化“1”是其次。一系折半再平方，两边同加没问题。左边分解右合并，直接开方去解题。该种解法叫配方，解方程时多练习。用间接配方法解一元二次方程：已知未知先分离，因式分解是其次。调整系数等互反，和差积套恒等式。完全平方等常数，间接配方显优势。【注】恒等式解一元二次方程：方程没有一次项，直接开方最理想。如果缺少常数项，因式分解没商量。b 、c 相等都为零，等根是零不要忘。b 、 c 同时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方。一量表示另

44、一量，有没有。若有再去看取值，正比例函数的鉴别：判断正比例函数，检验当分两步走。- 21 -第- 21 - 页 共 22 页v1.0可编辑可修改全体实数都需要。区分正比例函数，衡量可分两步走。一量表示另一量，体实数都要有。正比例函数的图象与性质：左低右边高，同大同小向爬山。一次函数：是与否。若有还要看取值，全正比函数图直线，经过和原点。 K 正一三负二四，变化趋势记心间。K 正K 负左高右边低，一大另小下山峦。点。 K 正左低右边高，越走越高向爬山。一次函数图直线，经过K 负左高右边低，越来越低很明显。 K 称斜率 b 截距，截距为零变正函。反比例函数：反比函数双曲线，经过点。 K 正一三负二

45、四，两轴是它渐近线。K 正左高右边低，一三象限滑下山。 K 负左低右边高，二四象限如爬山。二次函数：二次方程零换 y，二次函数便出现。全体实数定义域，图像叫做抛物线。抛物线有对称轴，两边单调正相反。 A 定开口及大小， 线轴交点叫顶点。顶点非高即最低。上低下高很显眼。如果要画抛物线，左加右减括A 定开平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。列表描点后连线，平移规律记心间。号内，号外上加下要减。二次方程零换y，就得到二次函数。图像叫做抛物线，定义域全体实数。口及大小，开口向上是正数。绝对值大开口小，开口向下A 负数。抛物线有对称轴，增减特性可看图。线轴交点叫顶点， 顶点纵标最值出。如果要画抛物线，描点平移两条路。提取配方定顶点，平移描点皆成图。列表描点后连线，三点大致定全图。若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随基础。【注】基础抛物线列方程解应用题：列方程解应用题，审设列解双检答。审题弄清已未知，设元直间两办法。列表画图造方程，解方程时守章法。检验准且合题意，问求同一才作答。平面任意两两点间距离公式：同轴两点求距离，大减小数就为之。与轴等距两个点，间距求法亦如此。差方相加开平方，距离公式要牢记。个点，横纵标差先求值。- 22 -第- 22 - 页 共 22 页