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1、第二章第二章 均值向量和协方差均值向量和协方差阵的检验阵的检验一、均值向量检验一、均值向量检验1.1.均值比较的意义均值比较的意义2.2.单一样本检验单一样本检验3.3.独立样本检验独立样本检验4.4.方差分析：一元和多元方差分析：一元和多元二、协方差阵检验二、协方差阵检验1.均值比较的意义均值比较的意义在抽样调查中，按随机原则从总体中抽取一定数在抽样调查中，按随机原则从总体中抽取一定数量的样本，然后根据样本的数量特征来推断总体量的样本，然后根据样本的数量特征来推断总体的数量特征。由于样本中个体的差异性，样本所的数量特征。由于样本中个体的差异性，样本所得到的样本统计量与总体参数之间是存在差异的
2、。得到的样本统计量与总体参数之间是存在差异的。例如：推断样本是否来自同一总体例如：推断样本是否来自同一总体 情形一：有两个样本，其均值不等；情形一：有两个样本，其均值不等； （并不能断定它们不是来自同一总体）（并不能断定它们不是来自同一总体） 情形二：有两个样本，其均值相等；情形二：有两个样本，其均值相等； （并不能据此断言它们是来自同样的总体）（并不能据此断言它们是来自同样的总体） 这就需要用到均值比较的方法这就需要用到均值比较的方法2.单一样本检验单一样本检验已知某校大三学生的平均身高是已知某校大三学生的平均身高是163cm。现从某院大三学生中随机抽取现从某院大三学生中随机抽取20个测量出
3、个测量出其身高。检验该院大三学生的身高与该校其身高。检验该院大三学生的身高与该校大三学生的身高平均值是否相等。大三学生的身高平均值是否相等。建立一个原假设：建立一个原假设：H0：假设该院大三学生：假设该院大三学生的身高与该校大三学生的平均身高相等。的身高与该校大三学生的平均身高相等。这属于单个变量的均值与已知常数的比较这属于单个变量的均值与已知常数的比较统计量 基本性质：在一元统计中，基本性质：在一元统计中，若统计量若统计量t t(n-1)分布，当假设为真分布，当假设为真时，统计量时，统计量t2F1,n-1分布，其否定域分布，其否定域为为 t2 F1,n-1（）（）在多元统计中在多元统计中T2
4、也具有类似的性质。也具有类似的性质。当假设成立时， 实例实例3.独立样本检验独立样本检验即对相互独立的两个样本的均值进行比较，看二者是否有即对相互独立的两个样本的均值进行比较，看二者是否有显著的差异。与单一样本显著的差异。与单一样本T检验的原理相同，采用小概率检验的原理相同，采用小概率反证法。反证法。首先假设：首先假设：H0两个样本来自同一总体两个样本来自同一总体,u1=u2独立样本独立样本t检验的前提：检验的前提：（）两个样本相互独立（）两个样本相互独立（）两个样本来自正态总体（）两个样本来自正态总体若违反这一假设，应采用非参数检验或变换变量使适应条件若违反这一假设，应采用非参数检验或变换变
5、量使适应条件（）比较的两个样本有实际意义（）比较的两个样本有实际意义如一个关于产品重量的样本和一个关于产价格的样本均值比如一个关于产品重量的样本和一个关于产价格的样本均值比较无意义。较无意义。3、两个、两个p维正态总体均值的检验维正态总体均值的检验（2）协方差不相等的情况（见书P25）当假设0H成立时，2T21,-+pmnpT，从而 2)2(1Tpmnpmn-+-+ 1,-+pmnpF 4.方差分析方差分析进行两组及多组间样本平均数的比较进行两组及多组间样本平均数的比较如在医学研究中，分析几中药物对某种疾如在医学研究中，分析几中药物对某种疾病的疗效；病的疗效；为什么多样本均值检验不采用两两样为
6、什么多样本均值检验不采用两两样本的本的t检验，而一定要采用方差分析检验，而一定要采用方差分析统计结论都是概率性的。假设实际情况是统计结论都是概率性的。假设实际情况是H0成立，那么根据设置的显著性水平如成立，那么根据设置的显著性水平如0.05, 平均每平均每100次检验中有次检验中有5次会得出拒绝次会得出拒绝H0的错误结论。的错误结论。设有设有4个样本，若采用两两样本的个样本，若采用两两样本的t检验，共要进检验，共要进行行4！/2！（！（4-2）！）！=6次，次， 每次不犯第一类错误的概率是每次不犯第一类错误的概率是0.95, 则整个实验不犯第一类错误的概率是则整个实验不犯第一类错误的概率是0.
7、956=0.735,整个实验犯第一类错误的概率是整个实验犯第一类错误的概率是1-0.735=0.265，这要远远大于一般的显著性水平这要远远大于一般的显著性水平0.05。另外，另外，t检验每次只用两组，统计量的自由度小。检验每次只用两组，统计量的自由度小。统计量的可靠性也降低。统计量的自由度越大，统计量的可靠性也降低。统计量的自由度越大，所对应的统计量的可靠性就高。所对应的统计量的可靠性就高。方差分析的思想方差分析的思想方差分析认为，不同样本间的均值差异来方差分析认为，不同样本间的均值差异来源于两个方面：源于两个方面：总变异随机误差由于不同的实验条件总变异随机误差由于不同的实验条件导致的误差导
8、致的误差总变异组内差异组间差异总变异组内差异组间差异量化量化随机误差：由于测量导致。随机误差：由于测量导致。用变量在各组每个取值与该组的变量用变量在各组每个取值与该组的变量均值的离差平方和的总和表示。均值的离差平方和的总和表示。不同的实验条件导致的差异：意思是样本不同的实验条件导致的差异：意思是样本抽自不同的总体而导致的差异。抽自不同的总体而导致的差异。用各组的均值与总体均值的离差平方用各组的均值与总体均值的离差平方和表示和表示一元正态总体均值向量的检验一元正态总体均值向量的检验多元方差分析多元方差分析应用前提 与一元方差分析一样，多元方差分析要满足独立性、正态性、方差齐性（各组方差协方差矩阵
9、相等）。 多元方差分析对正态性是稳健的，即总体稍微偏离正态，对结论的影响不大。因此，在样本量充分大的情况下，也能够对偏态总体的均值作出推断。多元方差分析的特点：多元分析具有概括和全面考虑的综合能力和特多元方差分析的特点：多元分析具有概括和全面考虑的综合能力和特点，而一元分析能发现各指标各组间的关系和差异。两者结合起来会点，而一元分析能发现各指标各组间的关系和差异。两者结合起来会更丰富。更丰富。维尔克斯统计量维尔克斯统计量二、协方差阵的检验二、协方差阵的检验1 1、提出待检验的假设、提出待检验的假设H0H0和和H1H12 2、给出检验的统计量及它服从的分布、给出检验的统计量及它服从的分布3 3、
10、给定检验水平、给定检验水平 ，查统计量的分布表，确，查统计量的分布表，确定临界值，从而得到否定域定临界值，从而得到否定域4 4、根据样本观测值计算出统计量的值，看是、根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设检验做否落入否定域中，以便对待判假设检验做出决策（拒绝或接受）。出决策（拒绝或接受）。检验的基本步骤：检验的基本步骤： 各种检验的计算步骤类似，关键在于给不同的检验给出各种检验的计算步骤类似，关键在于给不同的检验给出 不同的统计量，而有关统计量的给出大多用似然比方法得不同的统计量，而有关统计量的给出大多用似然比方法得到。到。例例2.1 2.1 我国我国3535家来自
11、不同行业的上市公司运家来自不同行业的上市公司运营能力的分析营能力的分析分析的问题分析的问题（1 1）不同行业的上市公司运营能力有无显著）不同行业的上市公司运营能力有无显著差异。差异。（2 2）若有差异，差异来自哪些行业，作不同）若有差异，差异来自哪些行业，作不同行业的运营能力的比较分析。行业的运营能力的比较分析。(3)(3)各行业（总体）协方差阵相等的检验。各行业（总体）协方差阵相等的检验。解决哪些实际问题？解决哪些实际问题？1 1、单个、单个P P维总体维总体（1 1）考察某工业行业的生产经营状况，今年）考察某工业行业的生产经营状况，今年与去年相比与去年相比P P项指标的平均水平有无差异。项
12、指标的平均水平有无差异。若有差异，进一步分析差异主要在哪些指若有差异，进一步分析差异主要在哪些指标上。（标上。（均值向量是否相等的检验均值向量是否相等的检验）（2 2）各生产经营指标当前的波动幅度与过去）各生产经营指标当前的波动幅度与过去的情形相比有无显著差异。（的情形相比有无显著差异。（协方差阵检协方差阵检验验）2 2、两个或多个总体、两个或多个总体（1 1）在研究职工工资构成时，按行业分组，）在研究职工工资构成时，按行业分组，研究不同组之间工资总额构成有无显著差研究不同组之间工资总额构成有无显著差异。（异。（两个总体的均值向量是否相等检验两个总体的均值向量是否相等检验）（2 2）不同行业间工资总额的构成存在波动，）不同行业间工资总额的构成存在波动，研究波动是否存在显著的差异，即研究不研究波动是否存在显著的差异，即研究不同总体的平均水平波动的幅度。（同总体的平均水平波动的幅度。（行业间行业间协方差阵相等性的检验协方差阵相等性的检验）
