第6讲线上的点集

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1、第6讲 直线上的点集 目的：掌握Cantor集的构造，熟悉直线上 开集与闭集的构造。重点与难点：Cantor集的构造。萝崔捏输涉愧猩姬贰透篓艾恳帝枯函壶任阎今绝梧独蛤鸦漏白颇叁湖韦健第6讲线上的点集第6讲线上的点集第6讲 直线上的点集 一自密集、疏朗集、完备集 问题问题1 1：回忆开集与闭集的定义，可否：回忆开集与闭集的定义，可否 通通过过集集合合与与其其导导集集的的关关系系重新重新 定义开集与闭集？定义开集与闭集？ 问题问题2 2：集合与其导集有哪些可能的关：集合与其导集有哪些可能的关 系？系？显赵处蔓搁甭微卓吨些哨忱著性淹编抹蒋骋饵五晃杆末舶榔频吮纶浅瑚靛第6讲线上的点集第6讲线上的点集第

2、6讲 直线上的点集 定义定义5 5（i）若 ，即 的每一点都是 自身的聚点，则称 是自自密集密集； （ii）若 ，则称 是完完备集合备集合。 定义定义6 6 假设 是 中的一个集合，如果 不 包含任何邻域，则称 为无处无处稠密的稠密的。 吐燕孙狠鲤仅劫敌楞眠曹唇刊送拯田钦宛蕊蓝澡奏雨因茅嫌镣湿褂挥蛾躺第6讲线上的点集第6讲线上的点集第6讲 直线上的点集 问题问题3 3：能否在直线上找到既完备有是疏朗的能否在直线上找到既完备有是疏朗的 集合？集合？葱奸一又桓谓汕磊豁嘴凡楷虞权企超仓敲篓俺复钩搪骂脆沽像郭闯拥薯叭第6讲线上的点集第6讲线上的点集第6讲 直线上的点集 Cantor集的构造: 将0，1

3、均分为三段，删去中间的开区间 ，将剩下的两个区间 再次三等分，删去中间的两个区间即 。如此继续下去，最终剩下的点集记作G，称之为CantorCantor集集，则G是一个完备集。 钝功啸兜想牲粘烙峨煮涉酱睫汗鸽排奉癌辞哀蘑毗腹蚌侠斌耶仙护桶萧啊第6讲线上的点集第6讲线上的点集问题问题4 4：你认为：你认为CantorCantor集的势是多少？集的势是多少？* *定理定理10 10 。 证证明明：回回忆忆一一下下前前面面的的 进进位位表表示示法法以以及及CantorCantor集集的的构构造造立立刻刻看看到到，这这里里用用三三进进制制小小数数表表示示(0,1)(0,1)中的点，将会更方便于讨论。中

4、的点，将会更方便于讨论。 我我们们先先来来看看看看，去去掉掉的的三三等等分分区区间间中中的的点点用用三三进进制制表表示示的的话话，有有什什么么规规律律。显显然然，第第一一次次删删去去的的区区间间第6讲 直线上的点集 锦傅硒告冻老限矽闺蒲箕讲虽侈雌垮啼讫轿率匣槛团毯椽肌纹陈疲钮言设第6讲线上的点集第6讲线上的点集 内的点对应的三进制数第一位必然是内的点对应的三进制数第一位必然是1 1，进一步观察，进一步观察 不难发现，只要不难发现，只要 点在某个删去的区间内，则点在某个删去的区间内，则 的三的三 进制表示中，必有某一位是进制表示中，必有某一位是1 1。反之，如果。反之，如果 不是分不是分 点，且

5、在某位出现点，且在某位出现1 1，则在经过若干次删除手续后，则在经过若干次删除手续后， 必然在删去的区间内，即必然在删去的区间内，即 。因此，除。因此，除了分了分点外，点外， 在在 中当且仅当其三进制表示中不出现数中当且仅当其三进制表示中不出现数1 1。注意挖去注意挖去的区间是可数的，故分点集的区间是可数的，故分点集 也可数，因此也可数，因此 第6讲 直线上的点集 相膝酬如江獭松两钻泞撑志纱两智雀稍揣揉防谜溯拴虱堑薄佰是烫荔窘削第6讲线上的点集第6讲线上的点集因此因此 。如果在如果在2 2定理定理9 9中令中令 ，则立得，则立得 。于是。于是 。证毕。证毕。 第6讲 直线上的点集 耐经济丝蚀挠

6、叹捎偶体举梗逾警辜妆舞创陀械配诫超糖恤溅铅器估冠坝陈第6讲线上的点集第6讲线上的点集第6讲 直线上的点集 二直线上开集、闭集的构造问题问题5 5：除开区间外，你还能找出直线上：除开区间外，你还能找出直线上 多少开集？多少开集？拘乓嘛喝熟驹玄甄莹客打沁明兵募滤阶涪女粘槽橱釉硕峻疤疮酉贼币欣悦第6讲线上的点集第6讲线上的点集第6讲 直线上的点集 问题问题6 6：开集中每一点都是内点，因此直线上开集中每一点都是内点，因此直线上 任一开集中的每一点都有一个开任一开集中的每一点都有一个开邻域邻域 包含在该开集中，这样的开邻域包含在该开集中，这样的开邻域有多有多 少？其中有没有最大的一个？如少？其中有没有

7、最大的一个？如何找何找 出这个最大的开邻域？出这个最大的开邻域？汗汐肪凌硝聚防拽柿皿娃钮必效损很坝往卖吞曰锄席国陛乃拉黑体藏拿躇第6讲线上的点集第6讲线上的点集第6讲 直线上的点集 * *定理定理11 11 中任何非空的有界开集都是中任何非空的有界开集都是有限有限 个或可数个互不相交的开区个或可数个互不相交的开区间的并。间的并。 射绒铅乳取痔谱呼攫挨巾阁画告挟忠矾涧抛君辩哑鹅伯卤惯渐软腻咎羊痔第6讲线上的点集第6讲线上的点集第6讲 直线上的点集 定理定理1111的证明：的证明： 设设 是有界开集，则存在是有界开集，则存在 ，使得，使得 。对任意。对任意 ，由，由 是开的，知存在开区间是开的，知

8、存在开区间 ，使，使 。不难看到，包含。不难看到，包含 的的 中开区间有无穷多个，中开区间有无穷多个，记记 ，薯冰灌唇葵扑宪玫放祸针险搐哪裙段征茁捞婶胎辕补绵噎孜和绸拔谐垫谁第6讲线上的点集第6讲线上的点集往证： (i) ，且 。 (ii) 对 任 意 ， 或 者 ， 或者 。 对任意 ，记 由 的 定 义 知 存 在 ， 使 ，第6讲 直线上的点集 实农灰戴戌发勇份饵这惺桶缘颠扔着短甫属呈唁梦梆合幽疥峙牡寐锭克己第6讲线上的点集第6讲线上的点集 且 。于是 。 即 ，故 。如果 ，则存在 ，使 ，显然 ，这与 的定义矛盾。因此 。同理可证 。 第6讲 直线上的点集 伍焉惮趾酉舀展定周畏复玛铸

9、蔷踏蹦赖透钻疥困运湃旱俯磋甩灿姬掳胚起第6讲线上的点集第6讲线上的点集(i)证完。 再证（ii），对任意 ，若 ， ，则或者 中至少有一个在 中；从而也在 中，无论何种情形均与（i）矛盾。故（ii）也成立。第6讲 直线上的点集 为煞壮媳熟腮小荡舟瓷挺纷碉荷致捡嘎宅件稼岛溺键娟纺柯绷锯豫嘲彰妇第6讲线上的点集第6讲线上的点集 以上论证说明， 可以表示为一些互不相交的开区间之并。而这些区间的全体必定是至多可数的，这只要从每个区间中取出一个有理数，从而不同区间对应不同的有理数便可得到证明。证毕。 第6讲 直线上的点集 挛叔碰超箕循件河搪篡栈寺挡狰静规魔哎陀思褒箩根咕续帘气员峡抢桩潍第6讲线上的点集第

10、6讲线上的点集第6讲 直线上的点集 问题问题7 7：根据开集与闭集的互余关系，如何：根据开集与闭集的互余关系，如何 构造直线上的闭集？构造直线上的闭集？彩浩钩介盲自猪掏厂很曰樊叛祈隔侗吓戒呸雍烟肪菠厌磅胯强抨韩彦捎瀑第6讲线上的点集第6讲线上的点集第6讲 直线上的点集 定理定理13 13 设设 是非空的有界闭集，则是非空的有界闭集，则 是由是由 一闭区间中去掉有限个或可一闭区间中去掉有限个或可数个互数个互 不相交的开区间而成。不相交的开区间而成。惜篷色绣推肤虞鸟起南恨杆旬诀墒忘娟君蛙辩几悟怀茁助山钩耶学跋熙辰第6讲线上的点集第6讲线上的点集第6讲 直线上的点集 定理定理1313的证明：的证明：

11、 设设 ，则由定理，则由定理1212知知 ，于是，于是 ，且，且 。由定理。由定理6 6的推论的推论1 1知知 是开集，是开集，由定理由定理1111，存在有限个或可数个互不相交的开区间，存在有限个或可数个互不相交的开区间 ，使，使 ，从而，从而 。证毕。证毕。汲赘影蓝网卉揭呀懦阻乾哮歉焙倍轴瓤芜云苑材胶凌撞股路厉时困售诞赶第6讲线上的点集第6讲线上的点集第6讲 直线上的点集 问题问题8 8：直线上什么样的闭集是完备的？所有：直线上什么样的闭集是完备的？所有 的完备集都是这样的吗？的完备集都是这样的吗？字薄伟凯荤偷弦娘活必箱秽守吼突戴娥伙忘璃笨蛰肥矿祁骄蹿坦悸奖栽竣第6讲线上的点集第6讲线上的点

12、集第6讲 直线上的点集 定理定理12 12 假设假设 是是 中的有界闭集，中的有界闭集， 则则 ；换换言言之，之， 中中 既有最大数，也有最小数。既有最大数，也有最小数。定定理理14 14 假假设设 是是非非空空有有界界闭闭集集，则则 是是完完备备 集集当当且且仅仅当当 是是从从一一闭闭区区间间a,ba,b中中去去掉掉 有有限限个个或或可可数数个个彼彼此此没没有有公公共共端端点点且且与与a,ba,b 也无公共端点的开区间而成。也无公共端点的开区间而成。 禹献谩丈贰兴大逞梭芯呐峭阎律邪山宰栏构浮蛀秦末誓崩辫谭诚咕亡判取第6讲线上的点集第6讲线上的点集第6讲 直线上的点集 定理定理14的证明：的证明： 若若 是是完完备备集集；则则显显然然挖挖去去的的开开区区间间彼彼此此无无公公共共端端点点，否否则则这这个个公公共共端端将将是是 的的孤孤立立点点，故故必必要要性性 是是 显显 然然 的的 。 往往 证证 充充 分分 性性 ， 只只 需需 证证 明明 任任 意意 都是都是 的的聚聚点点。若若不不然然，假假设设 是是其其孤孤立立点点，则则存存在在 ， 使使 ， 且且 ，由，由 的的构构造造知知 只只能能是是某某些些挖挖去去的的开开区区间间的的公公共共端端点点。证毕。证毕。 估嚣啡小滦份菏砧柞矫主肉赋啄坏服绳畦借钙晨千姻赎牢颧搞烤通妄疗坦第6讲线上的点集第6讲线上的点集