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1、第五章第五章 系统的变换域系统的变换域分析分析数字系统的表示方法数字系统的表示方法 差分方程差分方程 冲激响应冲激响应 频率响应频率响应对偶对偶对偶对偶 数学表述数学表述 无系统结构、难求解无系统结构、难求解系统时域特性系统时域特性 求解不直观求解不直观系统频域特性系统频域特性 求解不直观求解不直观 流图流图系统结构清晰系统结构清晰 没有数学表达式没有数学表达式系统的结构系统的结构信号的时域信号的时域信号的频域信号的频域系统的时域系统的时域 优点优点 缺点缺点线性线性/差分方程差分方程目的：寻找理论完善的数学分析方法目的：寻找理论完善的数学分析方法多项式多项式(代数方程代数方程)信号到系统信号
2、到系统两种工具都能用于系统分析两种工具都能用于系统分析流图流图x(n)y(n)z-1z-1z-1h(-3) 多项式多项式实现系统的多项式描述实现系统的多项式描述x(z)y(z)h(-2)h(-1)h(0)差分方程差分方程n多项式多项式( (代数方程代数方程) )有完善的分析理论有完善的分析理论公元前公元前18世纪世纪 巴比伦巴比伦 巴比伦泥板巴比伦泥板记载记载二次方程二次方程公元公元3世纪世纪 中国中国 赵爽赵爽 求面积问题给出二次方程一个根求面积问题给出二次方程一个根公元公元7世纪世纪 印度印度 婆罗摩笈婆罗摩笈 给出二次方程的一个根公式给出二次方程的一个根公式公元公元9世纪世纪 阿拉伯阿拉
3、伯 花拉子米花拉子米 一元二次方程一般解法一元二次方程一般解法1247年年 中国中国 秦九韶秦九韶 数学九章数学九章发表一元三次方程求根公式发表一元三次方程求根公式 16世纪世纪 法国韦达、英国牛顿法国韦达、英国牛顿 根与系数之间的关系根与系数之间的关系Vieta定理定理16世纪世纪 意大利意大利 冯塔纳冯塔纳 一元三次方程根式解一元三次方程根式解 卡尔丹发表卡尔丹发表Cardano公式公式1629年年 荷兰荷兰 吉拉尔吉拉尔 断言：断言：任意一个任意一个n次方程有次方程有n个根个根1799年年 德国德国 高斯高斯 给出吉拉尔断言的第一个实质性证明给出吉拉尔断言的第一个实质性证明19世纪世纪
4、挪威阿贝尔、法国伽罗瓦挪威阿贝尔、法国伽罗瓦 五次以上方程不能用公式求解五次以上方程不能用公式求解 开创了群论开创了群论使用多项式如何分析系统？使用多项式如何分析系统？求根求根因式分解因式分解子系统串联子系统串联多项式可分解多项式可分解流图流图-反馈反馈多项式多项式实现系统的多项式描述实现系统的多项式描述差分方程差分方程x(n)y(n)z-1-2z-1-3z-1123z-1z-1z-1- x(z)y(z)多项式可分解多项式可分解子系统并联子系统并联留数分解留数分解好处好处判断稳定性判断稳定性系统分解等系统分解等nZ变换的定义变换的定义为什么是为什么是 的多项式，不是的多项式，不是Z的？的？Z变
5、换更适用于分析信号还是分析系统？变换更适用于分析信号还是分析系统？求右边序列求右边序列 n=0 的的Z变换变换例例1解：解：序列不同，序列不同，Z变换可能相同变换可能相同 例例2求左边序列求左边序列 nRX-收敛域为收敛域为|z|RX+收敛域为收敛域为RX- |z| RX+ X(z)才收敛才收敛双边序列的收敛域双边序列的收敛域Z变换的收敛域变换的收敛域(8)例例4两收敛域无交集两收敛域无交集 un的的Z变换不存在变换不存在常用常用Z变换对变换对l 实际实际LTI系统的系统的Z变换变换Z的的有理函数有理函数 多项式相除多项式相除有理有理Z变换（变换（1）如何与差分方程对应？如何与差分方程对应？因
6、式分解因式分解根：分子根：分子零点零点/分母分母极点极点有理有理Z变换变换(2)方便控制系统性能方便控制系统性能有理有理Z变换变换(3) 求求 零极点图零极点图例例极零图极零图(pole-zero plot )：在复在复z平面平面(z plane)上用上用”表示极表示极点，点，”表示零点表示零点Z变换的性质变换的性质(1)线性线性上述线性关系是否总能成立？上述线性关系是否总能成立？Z变换的性质变换的性质(2)时移Z变换的性质变换的性质(3)特例：特例：d=1 延时器延时器z-1Z变换的性质变换的性质(4)指数相乘微分Z变换的性质变换的性质(5)反序Z变换的性质变换的性质(6)Z变换的性质变换的
7、性质(7)共轭xn初值Z变换的性质变换的性质(8)卷积例例5例例6lZ变换变换l逆逆Z变换变换l系统与逆系统系统与逆系统l传递函数和频率响应传递函数和频率响应l系统的有理传递函数系统的有理传递函数l系统的分解系统的分解逆逆Z变换变换(1)逆逆Z变换的导出变换的导出Z正变换正变换序列到多项式序列到多项式已知已知xn求求X(z)逆逆Z变换变换多项式到序列多项式到序列已知已知X(z)求求xn逆逆Z变换变换(2)预备知识预备知识围线积分围线积分证明要点：证明要点：已知已知X(z),如何求解如何求解xn？逆逆Z变换变换(3)逆逆Z变换变换(4)逆逆Z变换的数学表达式变换的数学表达式逆逆Z变换变换(5)部
8、分分式展开法部分分式展开法长除法长除法 （幂级数展开法）（幂级数展开法）留数法留数法 实现逆实现逆Z变换的计算方法变换的计算方法逆逆Z变换变换(6) 留数法留数法该积分通常可用该积分通常可用 来求来求 留数定理留数定理逆逆Z变换变换(7)部分分式展开法部分分式展开法系统的并联分解系统的并联分解逆逆Z变换变换(8)分析真分式分析真分式对对D(Z)求根，若有求根，若有N个单重根，则个单重根，则单极点单极点系数如何求解？系数如何求解？系数求解系数求解逆逆Z变换变换例7逆逆Z变换变换(9)分析真分式分析真分式对D(Z)求根，假设有一个L重根，则多重极点多重极点系数如何求解？系数如何求解？两边求导两边求
9、导右边只剩下一项右边只剩下一项提示：根据提示：根据Z变换的微分性质变换的微分性质如何求如何求 的逆的逆Z变换？变换？单极点和多重极点同时存在的情况例例8逆逆Z变换变换(10)长除法长除法有理有理Z变换可采用长除法变换可采用长除法逆逆Z变换变换(11)例例9lZ变换变换l逆逆Z变换变换l系统与逆系统系统与逆系统l传递函数和频率响应传递函数和频率响应l系统的有理传递函数系统的有理传递函数l系统的分解系统的分解数字系统数字系统将将输入输入序列转变成序列转变成输出输出序列的唯一性变化或者运算序列的唯一性变化或者运算系系统统激激励励系系统统响响应应系系统统数字逆系统数字逆系统将将正系统的输出正系统的输出
10、序列还原成序列还原成输入输入序列的变化或者运算序列的变化或者运算系系统统激激励励系系统统响响应应逆逆系系统统逆系统逆系统 ( Inverse System)通信系统通信系统逆系统逆系统 若若h1n和和h2n满足下列关系，则它们互为满足下列关系，则它们互为逆系统逆系统因果因果LTILTI离散时间系统的离散时间系统的冲激响应函数冲激响应函数怎么求逆系统怎么求逆系统Z Z变换变换求求举例：通信系统举例：通信系统正系统正系统逆系统逆系统lZ变换变换l逆逆Z变换变换l正系统与逆系统正系统与逆系统l传递函数和频率响应传递函数和频率响应l系统的有理传递函数系统的有理传递函数l系统的分解系统的分解频率响应频率
11、响应vs传递函数传递函数h(n)x(n)y(n)频率响应频率响应传递函数传递函数Z变换变换传递函数的传递函数的零点零点(zero)和和极点极点(pole)增益增益零点零点极点极点极点：对数字极点：对数字系统特性影响大系统特性影响大零点：零点：调整数字系统特性调整数字系统特性，效果取决于它与极，效果取决于它与极点的相对位置。点的相对位置。零极点作用零极点作用单零点系统单零点系统 零极图零极图单零点系统单零点系统 频率响应频率响应单零点系统单零点系统 冲激响应冲激响应两共轭零点系统两共轭零点系统 零极图零极图两共轭零点系统两共轭零点系统 频率响应频率响应两共轭零点系统两共轭零点系统 冲激响应冲激响
12、应单极点系统单极点系统 零极图零极图单极点系统单极点系统 频率响应频率响应单极点系统单极点系统 冲激响应冲激响应两共轭极点系统两共轭极点系统 零极图零极图两共轭极点系统两共轭极点系统 频率响应频率响应两共轭极点系统两共轭极点系统 冲激响应冲激响应lZ变换变换l逆逆Z变换变换l正系统与逆系统正系统与逆系统l传递函数和频率响应传递函数和频率响应l系统的有理传递函数系统的有理传递函数l系统的分解系统的分解l系统的重构系统的重构传递函数传递函数 (transfer function)d0yn + d1yn-1 + d2yn-2 + + dNyn-N = p0xn + p1xn-1 + p2xn-2 +
13、 + pMxn-M 复习：差分方程复习：差分方程传递函数传递函数复习：冲激响应复习：冲激响应传递函数传递函数定义定义Z变换变换系统的系统的5种表示方法种表示方法频率响应频率响应信号变换域信号变换域冲激响应冲激响应信号时域信号时域传递函数传递函数系统变换域系统变换域差分方程差分方程系统时域系统时域系统流图系统流图 系统结构系统结构单零点系统单零点系统z-1-0.91xnyn幅频幅频相频相频冲激响应冲激响应零极点图零极点图两共轭零点系统两共轭零点系统z-10.51xnz-1yn0.8零极点图零极点图幅频幅频相频相频冲激响应冲激响应单极点系统单极点系统xn1z-1yn0.9零极点图零极点图冲激响应冲
14、激响应幅频幅频相频相频两共轭极点系统两共轭极点系统1xnz-1z-1yn-0.5-0.8零极点图零极点图冲激响应冲激响应幅频幅频相频相频低通低通高通高通带通带通带阻带阻理想滤波器理想滤波器传递函数分类：基于幅度特征传递函数分类：基于幅度特征任意传递函数滤波器的任意传递函数滤波器的DFTDFT谱谱传递函数分类：基于相位特征传递函数分类：基于相位特征1 1、零相位（理想情况）、零相位（理想情况）特点：无相位失真特点：无相位失真 因果因果的零相位传递函数：无法实现的零相位传递函数：无法实现零相位传递函数的零相位传递函数的非因果非因果实现实现零相位：零相位：H(eH(ej j) )为实数为实数方法一：
15、方法一：共轭共轭时反时反相乘相乘串联串联时反时反串联实现法：串联实现法：方法二：方法二：共轭共轭时反时反相加相加并联并联并联实现法：并联实现法：时反时反2 2、线性相位传递函数、线性相位传递函数 非因果零相位非因果零相位因果线性相位因果线性相位延时延时在在通带通带内相位函数为线性函数内相位函数为线性函数幅频幅频相频相频例：例：3阶阶FIR系统的特性系统的特性 线性相位线性相位零极图零极图对称对称冲激响应冲激响应根与幅频特性的关系：稳定性根与幅频特性的关系：稳定性 不稳定，发散振荡不稳定，发散振荡 临界稳定，等幅振荡临界稳定，等幅振荡 稳定，衰减振荡稳定，衰减振荡 不稳定，发散振荡不稳定，发散振
16、荡 临界稳定，等幅振荡临界稳定，等幅振荡根与稳定性的关系根与稳定性的关系 幅频幅频冲激响应冲激响应零极图零极图多重零点（多重根）系统多重零点（多重根）系统 频率响应频率响应根的重数越高，频率响应越尖锐根的重数越高，频率响应越尖锐 多重零点（多重根）系统多重零点（多重根）系统 冲激响应冲激响应多重共轭零点（多重共轭根）系统多重共轭零点（多重共轭根）系统 冲激响应冲激响应多重极点（多重根）系统多重极点（多重根）系统 频率响应频率响应多重极点（多重根）系统多重极点（多重根）系统 冲激响应冲激响应根的重数越高，冲激响应动态范围越大根的重数越高，冲激响应动态范围越大 多重共轭极点（多重共轭根）系统多重共
17、轭极点（多重共轭根）系统 冲激响应冲激响应【例例】听觉非线性：听觉非线性：听觉频率分辨率听觉频率分辨率 听觉非线性听觉非线性音频的子带处理音频的子带处理根与相位的关系根与相位的关系: :全通函数全通函数定义：定义：只影响相位只影响相位用途：相位矫正、传递函数稳定性检测等用途：相位矫正、传递函数稳定性检测等如何实现？如何实现？有理传递函数有理传递函数先考虑一阶全通的情况先考虑一阶全通的情况全通全通解解1 1：解解2 2：零阶全通零阶全通一阶全通一阶全通一阶全通传递函数一阶全通传递函数高阶全通：多个一阶全通的串联高阶全通：多个一阶全通的串联展开展开互为镜像互为镜像多项式多项式高阶全通的多项式表示高
18、阶全通的多项式表示全通函数的零极点全通函数的零极点从系数的角度证明全通滤波器从系数的角度证明全通滤波器全通系统全通系统如果如果D DM M（z z）因果，）因果， 则则D DM M（z z-1-1）非）非因果，怎么办？因果，怎么办？全通函数的相位全通函数的相位单调递减非单调递减非正正一阶和二阶全通滤波器的相位函数一阶和二阶全通滤波器的相位函数调节不同频率分量的延时调节不同频率分量的延时全通函数的相位的特点：全通函数的相位的特点：1 1、因果稳定全通函数去弯折后相位函数为因果稳定全通函数去弯折后相位函数为的的负连续函数负连续函数2 2、在、在 为单调递减函数为单调递减函数应用示例应用示例1 1相
19、位均衡器，用于实现线性相位相位均衡器，用于实现线性相位线性相位：相位失真线性相位：相位失真= =时延时延相同相同| |H(e H(e jj)|)|的一阶传递函数相位的一阶传递函数相位相同相同| |H(e H(e jj)|)|的一阶传递函数的一阶传递函数最小相位传递函数：最小相位传递函数：所有零点都在单位圆内的所有零点都在单位圆内的因果稳定系统因果稳定系统最小相位与最大相位系统最小相位与最大相位系统最大相位传递函数：最大相位传递函数：所有零点都在单位圆外的所有零点都在单位圆外的因果稳定系统因果稳定系统极点都在极点都在单位圆内单位圆内最小相位系统的逆系统总是否稳定？最小相位系统的逆系统总是否稳定？
20、求逆求逆原系统零点原系统零点新系统极点新系统极点零点在单位圆内零点在单位圆内因果因果逆系统逆系统稳定稳定逆系统逆系统非最小相位系统的逆系统是否稳定？非最小相位系统的逆系统是否稳定？有零点在单位圆外有零点在单位圆外因果因果逆系统逆系统不稳定不稳定求逆求逆最小相位传递函数：最小相位传递函数：正逆系统都稳定正逆系统都稳定最小相位与最大相位系统的特性最小相位与最大相位系统的特性最大相位传递函数：最大相位传递函数：正系统稳定、逆系统不稳定正系统稳定、逆系统不稳定求求正系统正系统H1(z)逆系统逆系统H2(z)例例通信中的信道均衡器通信中的信道均衡器信道均衡信道均衡零极点图零极点图通信系统求逆通信系统求逆
21、H2(z) 稳定否稳定否？不稳定如何处理不稳定如何处理？任意传递函数任意传递函数= = 最小相位最小相位 * * 全通全通 H(z) = Hin(z)Hap(z)保证逆系统稳定保证逆系统稳定定理：定理：有理传递函数的幅频特性一定可以有理传递函数的幅频特性一定可以用稳定的系统来实现用稳定的系统来实现任意传递函数任意传递函数= = 稳定系统稳定系统 * * 全通全通 H(z) = Hst(z)Hap(z)任意传递函数任意传递函数= =最小相位最小相位 * * 全通实部虚部任意传递函数任意传递函数实部虚部实部虚部+=最小相位最小相位全通全通?例例例例lZ变换变换l逆逆Z变换变换l正系统与逆系统正系统与逆系统l传递函数和频率响应传递函数和频率响应l系统的有理传递函数系统的有理传递函数l系统的分解系统的分解级联级联(因式分解因式分解)H2(z)X(z)H1(z)并联并联(留数分解留数分解)H1(z)H2(z)X(z)n系统的两种分解方法系统的两种分解方法n并联并联(留数分解留数分解)H1(z)H2(z)带通分解带通分解单极点：单极点： LPC预测，共振峰预测，共振峰(语音语音)听觉非线性听觉非线性音频的子带处理音频的子带处理
